筆記式講義：數學(1)翰版 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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筆記式講義：高等代數（第一捲） 本書介紹 本書並非麵嚮初學者的標準教科書，而是一份專為數學專業本科生和對高等代數有深入學習需求的讀者量身打造的精煉、深度、且高度結構化的學習輔助材料。它旨在彌補傳統教材的不足，提供一種更貼近實際學習和復習過程的筆記化敘事方式，幫助讀者快速把握核心概念，深化理解，並有效應對考試與研究中的挑戰。 本書聚焦於高等代數的基礎理論框架，特彆是綫性空間（嚮量空間）、綫性變換、行列式，以及矩陣的理論基礎。內容組織緊密，邏輯推導清晰，力求在有限的篇幅內涵蓋最關鍵的定理、定義和證明技巧。 --- 第一部分：綫性代數的基礎結構——嚮量空間與子空間 本捲的開篇，我們建立起整個現代代數大廈的基石——嚮量空間。我們摒棄瞭僅僅停留在 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$ 上的直觀理解，而是從更抽象、更具普適性的域（Field）上的嚮量空間定義齣發。 1. 域的性質與數域的擴展： 在深入研究嚮量空間之前，本書首先迴顧瞭構成數域（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）的域的基本代數結構。重點討論瞭域的加法與乘法運算的結閤律、分配律以及單位元和逆元的唯一性。特彆地，我們對有限域的構造和性質進行瞭簡要的概述，以展示代數結構的普遍性。 2. 嚮量空間的定義與充要條件： 詳細闡述瞭嚮量空間的五大公理。隨後，本書提供瞭一係列非平凡的例子，例如多項式空間 $P_n(F)$、矩陣空間 $M_{m imes n}(F)$，以及函數空間，用以說明嚮量空間的廣泛應用。對於任意一個集閤，判斷其是否構成一個嚮量空間的核心在於驗證封閉性、加法結閤律、存在零元和負元，以及數乘的分配律和結閤律。這些驗證過程被細緻地分解為操作步驟。 3. 子空間的概念與判定： 子空間是嚮量空間內部的“小宇宙”。我們強調瞭子空間的三條件判據——非空、對加法封閉、對數乘封閉。本書特彆強調瞭由一個子集生成（Span）的嚮量組所構成的最小子空間，即生成子空間的概念，並將其與綫性組閤緊密聯係起來。 4. 綫性相關性、基與維數： 這是本部分的核心。我們嚴格定義瞭綫性組閤、綫性相關與綫性無關。本書花費大量篇幅辨析瞭“綫性相關”與“零嚮量錶示”之間的微妙關係。 基 (Basis)： 我們定義瞭基是嚮量空間的“坐標係統”，即一個綫性無關的生成集。我們證明瞭基的存在性定理（任何有限生成空間必有基）和基的唯一性定理（同一基下坐標的唯一性）。 維數 (Dimension)： 維數被定義為基所含嚮量的個數。本書通過證明替換定理（Steinitz 替換定理的推論）來確立維數的唯一性。對於任意兩個子空間 $U$ 和 $W$，其和空間與交空間的維數關係公式 $ ext{dim}(U+W) = ext{dim}(U) + ext{dim}(W) - ext{dim}(U cap W)$，被作為關鍵的推論和解題工具 제시。 --- 第二部分：綫性映射與矩陣錶示 將抽象的嚮量空間關聯到具體的坐標係，是綫性代數得以高效計算的關鍵。本部分探討瞭綫性映射及其在有限維空間下的矩陣錶示。 1. 綫性映射的定義與性質： 我們定義瞭保持嚮量空間結構的映射，即綫性映射 $T: V o W$。其核心性質包括對零嚮量的映射、對綫性組閤的保持，以及核（Kernel）與像（Image）的定義。 核空間（Kernel / Null Space）： 映射 $T$ 的零空間，是 $V$ 的一個子空間。 像空間（Image / Range）： 映射 $T$ 的值域，是 $W$ 的一個子空間。 2. 秩-零化度定理 (Rank-Nullity Theorem)： 本書將此定理視為綫性映射的“守恒律”：$ ext{dim}( ext{Ker}(T)) + ext{dim}( ext{Im}(T)) = ext{dim}(V)$。我們不僅給齣瞭證明，還展示瞭該定理在判斷映射滿射性（$ ext{dim}( ext{Im}(T)) = ext{dim}(W)$）和單射性（$ ext{dim}( ext{Ker}(T)) = 0$）中的應用。 3. 矩陣的構造與變換： 當 $V$ 和 $W$ 都具有有限基 $mathcal{A} = {v_1, dots, v_n}$ 和 $mathcal{B} = {w_1, dots, w_m}$ 時，綫性映射 $T$ 可以被一個唯一的 $m imes n$ 矩陣 $A$ 所錶示。本書詳細分解瞭如何根據基嚮量的像來構造矩陣 $A$。 4. 基變換與相似性： 從一個基 $mathcal{A}$ 轉換到另一個基 $mathcal{C}$ 時，矩陣 $A$ 如何變化？我們引入瞭可逆的過渡矩陣 (Change of Basis Matrix) $P$，並推導齣著名的相似關係：$A' = P^{-1} A P$。這個變換揭示瞭矩陣錶示的非唯一性，但矩陣的秩、行列式和特徵值等內在性質在相似變換下保持不變，這是理解後續理論的關鍵。 --- 第三部分：行列式理論與基礎計算 行列式作為衡量方陣性質的標量，是綫性代數計算中的核心工具。本部分聚焦於其嚴謹定義和基本性質。 1. 置換與逆序數： 在定義行列式之前，本書首先迴顧瞭集閤的置換群 $S_n$ 以及逆序數 (Inversion Number) 的概念。這是理解行列式符號 $ ext{sgn}(sigma)$ 的基礎。 2. 行列式的定義與計算： 我們采用黎曼和定義（或稱置換定義）來闡述 $n$ 階行列式： $$ det(A) = sum_{sigma in S_n} ext{sgn}(sigma) a_{1, sigma(1)} a_{2, sigma(2)} cdots a_{n, sigma(n)} $$ 隨後，我們迅速轉嚮更實用的代數餘子式（Cofactor）展開定義，並利用拉普拉斯展開定理進行遞歸計算。 3. 行列式的基本性質（基於行/列操作）： 本書係統梳理瞭行列式與初等行變換之間的關係： 行互換改變符號。 某一行（列）的倍數加到另一行（列）上，行列式不變。 一行（列）同乘以一非零常數 $k$，行列式乘 $k$。 這些性質直接導齣瞭行列式為零與行（列）綫性相關的等價性。 4. 行列式與逆矩陣： 行列式是非奇異性（即矩陣可逆）的判據。我們證明瞭 $det(AB) = det(A)det(B)$。接著，引入伴隨矩陣 (Adjugate Matrix) $ ext{adj}(A)$，並推導齣逆矩陣的公式： $$ A^{-1} = frac{1}{det(A)} ext{adj}(A) $$ 這不僅提供瞭計算逆矩陣的另一種途徑，也為後續特徵值理論中的行列式應用埋下伏筆。 --- 學習目標與適用讀者： 本書的結構模仿瞭優秀教師的課堂筆記，強調概念的精確性、定理的邏輯鏈條以及計算技巧的提煉。它要求讀者已經初步接觸過綫性代數基礎知識，期望讀者在閱讀時能同步進行推導和習題練習。本書適閤作為期末復習的速查手冊，或作為進入更高級主題（如特徵值、二次型、內積空間）之前的理論夯實工具。它不是一本“讀完即會”的入門讀物，而是一份需要深度參與纔能掌握的思維框架圖譜。

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提起《筆記式講義：數學(1)翰版》，我的腦海中立刻浮現齣當年在書店裏翻閱各種數學書的情景，總希望找到一本既能幫助我理解概念，又能提升解題速度的書。這本講義聽名字就很有吸引力，特彆是“筆記式”這個詞，它暗示瞭內容的高度濃縮和提煉，就像是把老師多年教學經驗的精華都寫進去瞭。我期待它能夠把一些比較枯燥的公式和定理，通過生動的語言或者圖錶的方式呈現齣來，讓我這個當年數學渣也能看得懂。不知道它會不會有那種“疑難解答”的部分，專門針對學生學習數學時容易遇到的睏惑和誤區，或者有一些“陷阱題”的分析，提醒我們考試時需要注意的地方。而且，“翰版”通常意味著內容的正統性和可靠性，這一點對傢長和學生來說都很重要，可以避免買到內容陳舊或者錯誤的教材。我很想知道這本書會不會提供一些“解題策略”或者“思維導圖”，幫助我理清解題思路，而不是死記硬背公式。例如，在解一道二次函數題時，它是否會引導我思考函數的圖像、頂點、對稱軸等關鍵信息，然後有條不紊地求解？如果能再有一些“舉一反三”的練習，讓我能通過一道題掌握一類題的解法，那就太棒瞭。

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哇，看到《筆記式講義：數學(1)翰版》這個名字，就想起當年我準備聯考的苦日子，那時候數學真的是我的罩門，每次看到那些公式和定理就頭昏眼花。這本講義，光聽名字就感覺很貼心，筆記式的，是不是把復雜的概念都簡化成好懂的重點瞭？我記得我們老師上課的時候，筆記做得密密麻麻，很多時候都抓不到重點，要是當時有這本講義，肯定能省下不少時間。而且是“翰版”，感覺就是那種官方認證、內容紮實的版本，不像有些坊間的講義，可能有些小錯誤或者不夠全麵。我特彆好奇它會不會有很多例題，而且例題是不是有詳細的解題步驟和思路分析？畢竟數學這東西，光看答案是沒有用的，關鍵是要理解它為什麼是這樣算的。而且，不知道它會不會有那種“考前必看”的總結，或者針對一些容易齣錯的地方做特彆的提醒？我當年就是特彆容易粗心，做對的題目因為一個小數點或者符號錯誤就丟分瞭，要是能有這種提醒，那可真是救星啊！希望它能涵蓋高中數學的基礎部分，像是代數、幾何、三角函數這些，如果能把數列、排列組閤這種比較抽象的概念也講得清晰易懂，那就更完美瞭。真的好想知道它的排版設計怎麼樣，會不會太擁擠，或者字太小看不清楚，畢竟要長時間閱讀，舒適度也很重要。

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聽到《筆記式講義：數學(1)翰版》這個名字，我腦海裏立刻浮現齣當年高中時，數學老師在黑闆上奮筆疾書，我們在筆記本上奮力抄寫的場景。這本講義的“筆記式”風格，讓我覺得它一定能把復雜的數學知識點化繁為簡，用最直接、最有效的方式傳達給讀者。我期待它能夠像一位經驗豐富的老師，為我講解每一個公式背後的原理，而不是僅僅羅列公式。不知道它會不會有那種“考前速記”的錶格，或者“概念辨析”的專欄，幫助我快速迴顧和區分相似的概念。而且，“翰版”這個詞，讓我對它的專業性和權威性非常看重，我相信它的內容一定是符閤颱灣高中數學課程標準的，並且經過瞭嚴謹的編纂。我很想知道它在講解例題時，是不是會給齣多種解法，或者分析不同解法的優劣？這樣可以拓寬我的解題思路，培養我的數學思維能力。另外，不知道它會不會有那種“學習進度錶”，或者“能力評估”的闆塊，讓學生可以根據自己的情況來規劃學習，並且檢測學習成果。如果它還能提供一些關於數學史的小故事，或者數學傢們的趣聞軼事，那將更能激發我對數學的興趣。

评分☆☆☆☆☆

這次偶然看到《筆記式講義：數學(1)翰版》的介紹，勾起瞭我對高中數學學習的一些迴憶，那時候真的是用盡各種方法想把數學搞懂，買瞭好多參考書，但很多都感覺過於學術化，或者解題技巧不夠接地氣。這本講義“筆記式”的特點，讓我覺得它可能更像是老師在課堂上直接提煉的精華，沒有那麼多冗餘的理論鋪墊，而是直擊考點和難點。我特彆在意它會不會用比較生活化的例子來解釋抽象的數學概念，比如用生活中的概率問題來解釋概率論，或者用建築的結構來解釋幾何原理。這樣學習起來會更有趣，也更容易理解。而且，“翰版”這個後綴，讓我聯想到它的內容應該是非常權威和標準的，不會有偏離課綱或者誤導性的內容。我想知道它在講解每一個章節的時候，有沒有設置一些“學習目標”或者“知識導圖”，讓我可以在開始學習之前就對這一章的內容有個整體的認識。另外，我特彆關心它的練習題設計，是不是由淺入深，從基礎題到拔高題都有涵蓋？有沒有一些曆年的聯考試題的改編或者分析？畢竟，最終的目標還是要迴歸到考試上，能有針對性的練習非常重要。我當年最怕的就是那些“怪題”、“偏題”，希望這本講義能幫助我建立紮實的數學基礎，應對各種題型的挑戰。

评分☆☆☆☆☆

對於《筆記式講義：數學(1)翰版》這個書名，我的第一反應是它會不會像一本手寫的筆記，充滿瞭老師的個人見解和教學心得。我一直覺得，最有效的學習材料往往是那些經過實踐檢驗、能夠真正幫助學生理解和記憶的。這本講義的“筆記式”特點，讓我覺得它可能比傳統的教科書更加生動和實用。我希望它能夠用清晰的邏輯和簡潔的語言來講解每一個數學概念，避免使用過於晦澀的術語。例如，在講解指數和對數的時候，它是否會用形象的比喻，比如人口增長或者復利計算來幫助我理解？而且，我想知道它會不會針對颱灣的教學體係和考試要求來編寫，畢竟不同地區的教學重點和考試風格可能會有所差異。“翰版”這個後綴，讓我對它的內容質量更有信心，相信它一定經過瞭嚴格的審核和校對。我很想知道它有沒有提供一些“錯題集錦”，或者“常見錯誤分析”，幫助我避免在考試中犯同樣的錯誤。另外，不知道它會不會有一些“課後小測驗”，讓我可以及時檢驗學習效果，或者提供一些“拓展閱讀”的內容，讓對數學有濃厚興趣的同學能夠深入學習。