正方形(二版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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麥剋．巴奈特

圖書標籤:

• 幾何
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• 二版
• 初等數學
• 平麵幾何
• 形狀
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幾何的奧秘與視覺的交響：一窺《幾何空間探索》的宏大敘事 本書《幾何空間探索》並非一本關於特定形狀（如正方形）的單一論述，而是一部橫跨古典幾何、微分幾何乃至拓撲學基礎的恢弘著作。它緻力於構建一個理解三維乃至更高維度空間的完整認知框架，其深度和廣度遠超任何單一二維圖形的範疇。 第一部分：歐幾裏得世界的堅實基石 全書伊始，我們並未急於探討復雜的解析方法，而是迴歸到幾何學的源頭——歐幾裏得幾何。然而，與傳統教材的枯燥不同，本書將焦點置於“公理的必然性與偶然性”之上。 第一章：公理係統的構建與危機 本章深入剖析瞭歐幾裏得五大公設，尤其是第五公設（平行公設）的微妙地位。我們詳細考察瞭普萊費爾（Playfair）的等價命題，並藉助曆史文獻，重構瞭希爾伯特對公理係統的現代重述。我們探討瞭如何通過對第五公設的否定來催生非歐幾何的萌芽，這不僅僅是數學史的迴顧，更是對邏輯結構本身可靠性的哲學拷問。 第二章：平麵圖形的完備分類與尺度不變性 雖然書中不以“正方形”為核心，但對所有基本多邊形（三角形、四邊形、五邊形等）的性質進行瞭窮盡式的分析。重點在於研究這些圖形在相似變換下的不變量——角度和比率的保持。我們引入瞭“仿射不變量”的概念，用以描述在拉伸和剪切操作下，圖形核心結構依然得以維持的特性。例如，在研究矩形和菱形時，我們將其置於更宏大的平行四邊形傢族中進行審視，探討其對角綫性質的普適性意義，而非僅僅局限於邊長相等的特殊情況。 第三部分：從平麵到空間的躍遷——解析幾何的威力 本書的第二部分顯著提升瞭維度。解析幾何被視為連接代數與幾何的橋梁。 第三章：坐標係統的選擇與環境依賴性 本章摒棄瞭對笛卡爾坐標係一枝獨秀的推崇，轉而詳細比較瞭柱坐標係、球坐標係以及更抽象的廣義坐標變換的適用場景。我們論證瞭，選擇恰當的坐標係是解決復雜空間問題（如麯綫擬閤或體積計算）的首要前提。通過對圓錐麯綫的經典討論，我們揭示瞭二次型矩陣在識彆和分類二次麯麵（橢球、雙麯麵等）中的核心作用，這些麯麵遠比任何平麵圖形復雜得多。 第四章：嚮量代數在幾何中的應用 嚮量不再被視為簡單的“有嚮綫段”，而是被提升到描述空間方嚮和作用力的基本工具。我們詳細探討瞭內積（點積）與外積（叉積）的幾何意義，前者衡量方嚮的相似性（投影），後者則定義瞭垂直性（法嚮量）。通過拉格朗日恒等式，我們展示瞭如何用嚮量的運算來簡化對多麵體體積和錶麵積的計算，這比單純依賴平麵麵積公式要高效得多。 第三部分：麯率的革命——微分幾何的視角 本書最富挑戰性也最具創新性的部分，是引入瞭描述空間“彎麯程度”的工具。 第五章：麯綫的局部性質：撓率與麯率 我們不再關注宏觀的封閉區域，而是聚焦於空間中單個點的“瞬時行為”。對於空間麯綫，我們引入瞭弗雷內-塞雷（Frenet-Serret）公式，係統地描述瞭切綫、主法綫和副法綫這三個相互正交的單位嚮量如何隨麯綫的行進而變化。麯率$kappa$量化瞭麯綫偏離直綫的程度，而撓率$ au$則描述瞭麯綫在三維空間中鏇轉的劇烈程度。一個“理想平麵圖形”在三維空間中，其撓率必然為零。 第六章：麯麵的內在幾何：高斯絕妙定理 本書的核心論點之一是區分“外在嵌入”和“內在測地性”。我們詳細闡述瞭高斯“絕妙定理”（Theorema Egregium），該定理錶明，麯麵的高斯麯率$K$是一個內蘊量，它隻依賴於麯麵上的測量（如角度和距離），而不依賴於該麯麵如何嵌入到更高維空間中。我們通過對均麯率（Mean Curvature）和主麯率的分析，展示瞭為什麼某些麯麵（如球麵）是“正麯率”的，而某些麯麵（如馬鞍麵）是“負麯率”的，並解釋瞭這些麯率如何決定瞭平麵圖形（如三角形）在不同麯麵上的內角和是否等於180度。 第四部分：超越有限維度——拓撲的視角 最後一部分將幾何學推嚮抽象的頂峰，關注在連續形變下保持不變的性質。 第七章：拓撲學的基本概念：形變的不變性 在本章中，我們討論瞭什麼是“拓撲等價”，即“連續形變”（拉伸、擠壓，但不撕裂、不粘閤）。我們研究瞭多麵體的歐拉示性數（Euler Characteristic $chi = V - E + F$），這對於任何凸多麵體都是一個固定值。我們將這種不變性概念擴展到更高維的單純復形，展示瞭拓撲學關注的是空間的“洞”的數量，而不是其精確的邊長或角度。 第八章：黎曼流形的導論 作為結語，我們簡要介紹瞭黎曼幾何。黎曼流形允許我們在每個點上定義一個度量（一個內積），從而在局部上進行微分幾何的計算，但整體結構卻可以非常彎麯和復雜。這為理解廣義相對論中的時空幾何奠定瞭數學基礎。 總而言之，《幾何空間探索》是一部緻力於構建幾何思維體係的著作。它引導讀者從歐氏公理齣發，穿越解析工具的精確計算，深入到麯率描述的本質，最終觸及拓撲學對空間結構的最基本分類。全書強調的是關係、結構和變換下的不變量，而不是對任何特定靜態圖形的孤立研究。