因数与倍数的理解(上)含详解(增订第二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　数学是【科学之母 】， 而数论更被尊为【数学之母】，数论亦包含因数与倍数，由此可知，因数与倍数在数学中的重要性，但学生已习惯四则运算的思考方式，进入高年级的因数与倍数多数学生常感到挫折，甚致放弃学习，编者有感于此，特别设计系列专题引领学生深入学习。

　　本系列书籍分为〈因数和倍数的理解上、下册〉，加强基本观念，并教导许多解题的辨识法，另一册，〈因数和倍数问题专辑〉则深入各类题型，协助学生分析与理解。上列三本书籍为搭配学习最完整的组合。

特 色

★ 教导高效率的解题方法，增进学生的思考与解题速度。
★ 配合生活性的应用问题，提高学生解决问题的能力。
★ 提供多样化题型练习，累积平时应考与答题能力。

适用指标

◎ 一般学生、资优学生。

◎ 训练逻辑、思考、解题能力。

◎课内、课外辅助教材。

数学基础构建系列：概念与逻辑的深度探索 【图书名称】 数学基础构建系列：概念与逻辑的深度探索 【适用人群】 初中及以上数学学习者、致力于夯实数学基础的自学者、数学教育工作者。 【图书特点】 本书聚焦于数学核心概念的严谨定义、逻辑推导的清晰展示以及数学思维的全面培养。它不侧重于特定知识点的应试技巧，而是致力于打通知识间的内在联系，引导读者从本质上理解数学。 --- 第一章：数系与数的本质——从自然到复数的旅程 本章旨在为读者建立一个稳固的数系认知框架，理解不同数系在数学发展中所扮演的角色及其内在联系。 1.1 自然数的起源与皮亚诺公理体系的奠基 本节深入探讨自然数的起源，追溯人类对计数的原始需求。我们将详细介绍皮亚诺公理（Peano Axioms），分析这五条公理如何逻辑地构建起整个自然数系统。重点分析“后继数”的概念及其在定义加法和乘法运算中的核心地位。讨论有限集合与无限集合的初步概念，为后续引入序数和基数做铺垫。 1.2 整数的拓展：负数的引入与运算的封闭性 研究整数集 $mathbb{Z}$ 如何通过引入负数和零来解决减法运算中的不封闭性问题。本节将严谨地构造整数，通常采用有序对（Ordered Pair）的方式定义，从而确保构造过程的数学严密性。详细讨论整数的序关系（<, >）的定义及其传递性、反对称性和完全性。 1.3 有理数的构建：分数与等价类的精妙设计 本章的核心部分之一是深入解析有理数集 $mathbb{Q}$ 的构造。我们将从整数的比例关系出发，引入等价类的概念来定义分数。重点剖析为什么必须使用等价类（即分数的形式 $frac{a}{b}$ 实际上代表的是一类具有相同比值的整数对），以及如何保证不同形式的分数（如 $frac{1}{2}$ 和 $frac{2}{4}$）在集合论意义上被视为同一个有理数。讨论有理数集的稠密性。 1.4 实数的完备性：无理数的“填空”与戴德金分割 本章的难点与精髓在于实数集 $mathbb{R}$ 的定义。我们将避开直观的描述，转而采用戴德金分割（Dedekind Cut）或柯西序列收敛的定义方式，精确地定义实数的“存在性”。重点解释为什么有理数系统在实数轴上存在“空隙”（即无理数），以及戴德金分割如何通过将实数轴划分为两个集合来精确地“捕捉”到这些无理数。这部分内容将极大地提升读者对数轴连续性的理解。 1.5 复数的几何意义与代数结构 最后，我们将引入复数集 $mathbb{C}$，将其定义为形如 $a+bi$ 的数，并重点解析虚数单位 $i$ 的定义 $i^2 = -1$ 所带来的代数结构上的革命。本节将侧重于复数的几何表示（阿甘本平面），讨论复数的加减乘除运算在二维平面上的对应几何意义，以及欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的重要性。 --- 第二章：函数——数学世界的通用关系模型 本章旨在将函数从一个单纯的计算工具提升为描述事物间相互依赖关系的通用数学语言。 2.1 函数的严格定义与符号约定 本书对函数进行最严格的定义：一个集合 $A$ 到集合 $B$ 的二元关系 $f$，满足定义域内任一元素有且只有一个像。我们将详细区分函数、关系和映射这三个概念的区别与联系。同时，我们会统一梳理函数的各种表示法，如解析式、表格、图形以及参数方程。 2.2 函数的分类与基本性质的深度解析 系统讲解函数的关键性质：单射（一对一）、满射（映上）和双射（一一对应）。强调双射在可逆性（反函数）中的关键作用。深入分析函数的奇偶性、周期性及其在对称性方面的几何意义。 2.3 复合函数与反函数的构造原理 复合函数 $f(g(x))$ 的学习将侧重于其运算的“嵌套”逻辑，而非单纯的代数运算。反函数的讨论将紧密结合单射的定义，说明为何只有双射函数才存在“唯一”的反函数。通过实例展示如何通过代数和几何手段来确定反函数的解析式。 2.4 极限概念的严谨引入：$epsilon-delta$ 语言的初探 本章引入微积分的基石——极限。我们将摒弃直觉理解，重点介绍 $epsilon-delta$ 语言的精确含义，理解“任意小的 $epsilon$ 都能找到一个 $delta$”这一逻辑结构所蕴含的无限逼近的思想。讨论函数在某点极限存在、单侧极限以及无穷极限的条件。 --- 第三章：代数结构基础——从运算到抽象空间的桥梁 本章聚焦于代数运算背后的规律和结构，为理解更高级的抽象代数做好准备。 3.1 运算的封闭性、结合律与交换律的检验 系统回顾加法和乘法运算在不同数系上的封闭性、结合律和交换律的成立与失效情况（例如，矩阵乘法不满足交换律）。强调这些公理化性质在代数推理中的基础性作用。 3.2 恒等元与逆元：结构中的“锚点”与“消除者” 清晰界定加法单位元（零元）和乘法单位元（幺元）的概念，并解释它们在数学结构中的“锚点”作用。重点分析在不同代数结构中（如整数模 $n$ 运算）逆元的存在性和唯一性，以及零因子（Zero Divisor）的概念。 3.3 多项式与有理函数的结构分析 将多项式视为系数域上的特定函数结构。深入探讨多项式的根与系数之间的关系（如韦达定理的推广）。对有理函数 $R(x) = frac{P(x)}{Q(x)}$ 进行结构性分析，重点关注其渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的代数来源，并将其与极限概念相联系。 3.4 矩阵的代数：线性运算与变换的本质 本章引入矩阵作为一种描述线性变换的工具。重点讲解矩阵乘法的非交换性是如何反映几何空间中复合变换的顺序依赖性。讨论矩阵的秩、行列式（作为衡量线性映射“体积”变化的指标），以及逆矩阵的存在条件（非奇异性）。 --- 第四章：逻辑与证明——数学思维的严密性训练 本章旨在提升读者的批判性思维和逻辑推理能力，使其能够独立构建和理解数学论证。 4.1 命题逻辑与量词的使用规范 清晰界定命题的真值与复合命题的真值表（与、或、非、蕴含、等价）。重点讲解全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）的正确书写和逻辑含义，特别是带有多个量词的复杂命题的否定形式。 4.2 证明的三大基石：直接证明、反证法与数学归纳法 直接证明： 从已知公理或已证事实出发，通过一系列逻辑步骤推导出结论。 反证法（Proof by Contradiction）： 详细分析其逻辑结构——假设结论不成立，导出与已知事实的矛盾，从而证明原结论必真。通过经典例子（如证明 $sqrt{2}$ 是无理数）来展示其威力。 数学归纳法： 深入剖析其“奠基”和“递推”两步的逻辑必要性，并讨论其适用范围与误用。 4.3 构造性证明与反例的构建 讨论构造性证明（Constructive Proof）与非构造性证明（如某些反证法）的区别。强调反例在推翻普遍猜想中的决定性作用，训练读者如何系统性地搜索和构建有效的反例。 --- 【本书价值】 本书避免了传统教材中“知识点堆砌”的弊端，它是一本旨在“重建”读者对数学知识体系认知的书籍。通过对数系构造的深度解析、函数作为关系模型的提炼、代数结构背后公理的探讨，以及对逻辑证明方法的系统训练，读者将能建立起一个更加坚实、灵活且深刻的数学认知框架，为未来学习高等数学、离散数学及相关理工科领域打下无可替代的坚实基础。

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這次更新的《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》，真的給我帶來了不少驚喜。我本身對數學一直抱持著一種「敬而遠之」的態度，總覺得數學是個需要天賦的科目。然而，身為家長，我深知為孩子打下穩固數學基礎的重要性。這本書的出現，簡直是我的一大福音。它在內容編排上，非常貼合國小生的學習曲線，從最基礎的「倍數」概念，逐步深入到「因數」的定義，再到「公因數」與「公倍數」的尋找方法，以及「最大公因數」和「最小公倍數」的意義與應用，每一個步驟都講解得非常紮實。我特別欣賞書中對於「解題策略」的引導，它不僅告訴你怎麼做，更會教你為什麼這麼做，讓孩子不只是死記硬背，而是真正理解數學的邏輯。而且，書中附帶的詳解，對我們這些「數學小白」家長來說，簡直是神助攻！我可以很自信地幫助孩子解答疑惑，而不是一味地催促他們。這本書讓我在陪伴孩子學習的過程中，重新找回了自信。

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這本《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》真的是為我這種對數學有點小恐懼的家長救星！老實說，每次看到孩子問起因數倍數的問題，我就頭昏腦脹，腦袋裡的公式像打結的毛線球一樣理不清。翻開這本書，我才驚覺，原來數學可以這麼有趣，這麼有條理！書裡的講解方式非常細緻，用了很多貼近生活化的例子，像是分糖果、排隊伍之類的，讓原本抽象的概念變得生動活潑。而且，它不像有些教科書死板板的，而是循序漸進，從最基礎的概念開始，一步一步帶領讀者建立觀念。最讓我印象深刻的是，它不會直接給答案，而是引導你去思考，去找出解決問題的方法，這種「授人以魚不如授人以漁」的教學方式，我真的非常推崇。孩子現在做功課遇到因數倍數，不再是唉聲嘆氣，而是會主動拿這本書出來翻閱，有時候還會跟我分享她從書裡學到的新發現，看到她臉上那種豁然開朗的笑容，比什麼都讓我開心。這本書絕對是家裡必備的教輔書，推薦給所有跟我有相同困擾的家長！

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我一直認為，數學的學習，尤其是國小階段的數學，最重要的就是打好基礎，而因數與倍數的概念，絕對是其中至關重要的一環。《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》這本書，恰恰就完美地填補了這個部分。它在內容的安排上，非常有系統性，從什麼是因數、什麼是倍數，到如何找出公因數、公倍數，再到 LCM 和 GCD 的應用，每一個環節都講解得鉅細靡遺。我特別欣賞書中附帶的大量練習題，而且每一題都有詳細的解析，這對我們家長來說，實在太實用了！以前，孩子寫錯題目，我常常不知道該怎麼解釋，只能乾著急。現在，有了這本書，我可以在一旁參考解答，用書中提供的邏輯和方法，清楚地引導孩子釐清觀念。而且，書裡的解釋不僅是簡單的步驟說明，更多的是從概念的源頭去剖析，讓孩子真正理解「為什麼」。這對於培養孩子邏輯思考能力，以及對數學的興趣，都有極大的助益。如果您的孩子正處於學習因數倍數的階段，強烈建議入手這本書，絕對物超所值。

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收到這本《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》時，我其實抱持著一種既期待又怕受傷害的心情。畢竟，數學這個科目，對我來說一直不是強項，尤其是國小階段的一些抽象概念，常常覺得力不從心。但這本書完全顛覆了我對數學學習的想像。它的編排方式非常有巧思，圖像化的呈現方式，讓複雜的概念變得一目了然。例如，在講解公倍數時，它會用數線和圖像來輔助說明，讓孩子能直觀地理解數列的規律。而且，書中的用語非常淺顯易懂，即使是第一次接觸這些概念的家長，也能輕鬆理解。最讓我驚喜的是，它在講解過程中，並沒有過度依賴複雜的符號或公式，而是從生活中常見的現象出發，引導孩子去發現數學的奧秘。我最喜歡的部分是，書中提供的「挑戰題」，這些題目不僅能測試孩子的理解程度，更能激發他們思考和探索的潛能。這本書不只是課本的輔助，更像是一位溫柔的數學啟蒙老師，引導孩子勇敢地走進數學的世界。

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我一直認為，學習數學的樂趣，在於從「為什麼」到「怎麼做」的過程，而《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》這本書，正完美地體現了這一點。它沒有給你一堆生硬的定義和公式，而是透過各種巧妙的設計，引導讀者去發現因數與倍數之間的關係。我尤其喜歡書中那些「小提示」和「思考題」，這些設計巧妙地激發了我家孩子的求知慾，讓他們在做練習的過程中，不再是機械式的填空，而是主動去思考、去探索。書中的語言風格非常活潑，一點都不枯燥，而且案例的選擇都非常生活化，讓孩子很容易就能將書本上的知識與實際生活連結起來。即使是像我這樣，對數學不太有自信的家長，也能在閱讀這本書的過程中，重新認識數學，並且能夠有效地引導孩子。這本書絕對是提升孩子數學理解力，培養數學興趣的絕佳輔助教材，強烈推薦！