因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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　　數學是【科學之母 】， 而數論更被尊為【數學之母】，數論亦包含因數與倍數，由此可知，因數與倍數在數學中的重要性，但學生已習慣四則運算的思考方式，進入高年級的因數與倍數多數學生常感到挫摺，甚緻放棄學習，編者有感於此，特彆設計係列專題引領學生深入學習。

　　本係列書籍分為〈因數和倍數的理解上、下冊〉，加強基本觀念，並教導許多解題的辨識法，另一冊，〈因數和倍數問題專輯〉則深入各類題型，協助學生分析與理解。上列三本書籍為搭配學習最完整的組閤。

特 色

★ 教導高效率的解題方法，增進學生的思考與解題速度。
★ 配閤生活性的應用問題，提高學生解決問題的能力。
★ 提供多樣化題型練習，纍積平時應考與答題能力。

適用指標

◎ 一般學生、資優學生。

◎ 訓練邏輯、思考、解題能力。

◎課內、課外輔助教材。

數學基礎構建係列：概念與邏輯的深度探索 【圖書名稱】 數學基礎構建係列：概念與邏輯的深度探索 【適用人群】 初中及以上數學學習者、緻力於夯實數學基礎的自學者、數學教育工作者。 【圖書特點】 本書聚焦於數學核心概念的嚴謹定義、邏輯推導的清晰展示以及數學思維的全麵培養。它不側重於特定知識點的應試技巧，而是緻力於打通知識間的內在聯係，引導讀者從本質上理解數學。 --- 第一章：數係與數的本質——從自然到復數的旅程 本章旨在為讀者建立一個穩固的數係認知框架，理解不同數係在數學發展中所扮演的角色及其內在聯係。 1.1 自然數的起源與皮亞諾公理體係的奠基 本節深入探討自然數的起源，追溯人類對計數的原始需求。我們將詳細介紹皮亞諾公理（Peano Axioms），分析這五條公理如何邏輯地構建起整個自然數係統。重點分析“後繼數”的概念及其在定義加法和乘法運算中的核心地位。討論有限集閤與無限集閤的初步概念，為後續引入序數和基數做鋪墊。 1.2 整數的拓展：負數的引入與運算的封閉性 研究整數集 $mathbb{Z}$ 如何通過引入負數和零來解決減法運算中的不封閉性問題。本節將嚴謹地構造整數，通常采用有序對（Ordered Pair）的方式定義，從而確保構造過程的數學嚴密性。詳細討論整數的序關係（<, >）的定義及其傳遞性、反對稱性和完全性。 1.3 有理數的構建：分數與等價類的精妙設計 本章的核心部分之一是深入解析有理數集 $mathbb{Q}$ 的構造。我們將從整數的比例關係齣發，引入等價類的概念來定義分數。重點剖析為什麼必須使用等價類（即分數的形式 $frac{a}{b}$ 實際上代錶的是一類具有相同比值的整數對），以及如何保證不同形式的分數（如 $frac{1}{2}$ 和 $frac{2}{4}$）在集閤論意義上被視為同一個有理數。討論有理數集的稠密性。 1.4 實數的完備性：無理數的“填空”與戴德金分割 本章的難點與精髓在於實數集 $mathbb{R}$ 的定義。我們將避開直觀的描述，轉而采用戴德金分割（Dedekind Cut）或柯西序列收斂的定義方式，精確地定義實數的“存在性”。重點解釋為什麼有理數係統在實數軸上存在“空隙”（即無理數），以及戴德金分割如何通過將實數軸劃分為兩個集閤來精確地“捕捉”到這些無理數。這部分內容將極大地提升讀者對數軸連續性的理解。 1.5 復數的幾何意義與代數結構 最後，我們將引入復數集 $mathbb{C}$，將其定義為形如 $a+bi$ 的數，並重點解析虛數單位 $i$ 的定義 $i^2 = -1$ 所帶來的代數結構上的革命。本節將側重於復數的幾何錶示（阿甘本平麵），討論復數的加減乘除運算在二維平麵上的對應幾何意義，以及歐拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的重要性。 --- 第二章：函數——數學世界的通用關係模型 本章旨在將函數從一個單純的計算工具提升為描述事物間相互依賴關係的通用數學語言。 2.1 函數的嚴格定義與符號約定 本書對函數進行最嚴格的定義：一個集閤 $A$ 到集閤 $B$ 的二元關係 $f$，滿足定義域內任一元素有且隻有一個像。我們將詳細區分函數、關係和映射這三個概念的區彆與聯係。同時，我們會統一梳理函數的各種錶示法，如解析式、錶格、圖形以及參數方程。 2.2 函數的分類與基本性質的深度解析 係統講解函數的關鍵性質：單射（一對一）、滿射（映上）和雙射（一一對應）。強調雙射在可逆性（反函數）中的關鍵作用。深入分析函數的奇偶性、周期性及其在對稱性方麵的幾何意義。 2.3 復閤函數與反函數的構造原理 復閤函數 $f(g(x))$ 的學習將側重於其運算的“嵌套”邏輯，而非單純的代數運算。反函數的討論將緊密結閤單射的定義，說明為何隻有雙射函數纔存在“唯一”的反函數。通過實例展示如何通過代數和幾何手段來確定反函數的解析式。 2.4 極限概念的嚴謹引入：$epsilon-delta$ 語言的初探 本章引入微積分的基石——極限。我們將摒棄直覺理解，重點介紹 $epsilon-delta$ 語言的精確含義，理解“任意小的 $epsilon$ 都能找到一個 $delta$”這一邏輯結構所蘊含的無限逼近的思想。討論函數在某點極限存在、單側極限以及無窮極限的條件。 --- 第三章：代數結構基礎——從運算到抽象空間的橋梁 本章聚焦於代數運算背後的規律和結構，為理解更高級的抽象代數做好準備。 3.1 運算的封閉性、結閤律與交換律的檢驗 係統迴顧加法和乘法運算在不同數係上的封閉性、結閤律和交換律的成立與失效情況（例如，矩陣乘法不滿足交換律）。強調這些公理化性質在代數推理中的基礎性作用。 3.2 恒等元與逆元：結構中的“錨點”與“消除者” 清晰界定加法單位元（零元）和乘法單位元（幺元）的概念，並解釋它們在數學結構中的“錨點”作用。重點分析在不同代數結構中（如整數模 $n$ 運算）逆元的存在性和唯一性，以及零因子（Zero Divisor）的概念。 3.3 多項式與有理函數的結構分析 將多項式視為係數域上的特定函數結構。深入探討多項式的根與係數之間的關係（如韋達定理的推廣）。對有理函數 $R(x) = frac{P(x)}{Q(x)}$ 進行結構性分析，重點關注其漸近綫（水平、垂直、斜漸近綫）的代數來源，並將其與極限概念相聯係。 3.4 矩陣的代數：綫性運算與變換的本質 本章引入矩陣作為一種描述綫性變換的工具。重點講解矩陣乘法的非交換性是如何反映幾何空間中復閤變換的順序依賴性。討論矩陣的秩、行列式（作為衡量綫性映射“體積”變化的指標），以及逆矩陣的存在條件（非奇異性）。 --- 第四章：邏輯與證明——數學思維的嚴密性訓練 本章旨在提升讀者的批判性思維和邏輯推理能力，使其能夠獨立構建和理解數學論證。 4.1 命題邏輯與量詞的使用規範 清晰界定命題的真值與復閤命題的真值錶（與、或、非、蘊含、等價）。重點講解全稱量詞（$forall$）和存在量詞（$exists$）的正確書寫和邏輯含義，特彆是帶有多個量詞的復雜命題的否定形式。 4.2 證明的三大基石：直接證明、反證法與數學歸納法 直接證明： 從已知公理或已證事實齣發，通過一係列邏輯步驟推導齣結論。 反證法（Proof by Contradiction）： 詳細分析其邏輯結構——假設結論不成立，導齣與已知事實的矛盾，從而證明原結論必真。通過經典例子（如證明 $sqrt{2}$ 是無理數）來展示其威力。 數學歸納法： 深入剖析其“奠基”和“遞推”兩步的邏輯必要性，並討論其適用範圍與誤用。 4.3 構造性證明與反例的構建 討論構造性證明（Constructive Proof）與非構造性證明（如某些反證法）的區彆。強調反例在推翻普遍猜想中的決定性作用，訓練讀者如何係統性地搜索和構建有效的反例。 --- 【本書價值】 本書避免瞭傳統教材中“知識點堆砌”的弊端，它是一本旨在“重建”讀者對數學知識體係認知的書籍。通過對數係構造的深度解析、函數作為關係模型的提煉、代數結構背後公理的探討，以及對邏輯證明方法的係統訓練，讀者將能建立起一個更加堅實、靈活且深刻的數學認知框架，為未來學習高等數學、離散數學及相關理工科領域打下無可替代的堅實基礎。

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這本《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》真的是為我這種對數學有點小恐懼的傢長救星！老實說，每次看到孩子問起因數倍數的問題，我就頭昏腦脹，腦袋裡的公式像打結的毛線球一樣理不清。翻開這本書，我纔驚覺，原來數學可以這麼有趣，這麼有條理！書裡的講解方式非常細緻，用瞭很多貼近生活化的例子，像是分糖果、排隊伍之類的，讓原本抽象的概念變得生動活潑。而且，它不像有些教科書死闆闆的，而是循序漸進，從最基礎的概念開始，一步一步帶領讀者建立觀念。最讓我印象深刻的是，它不會直接給答案，而是引導你去思考，去找齣解決問題的方法，這種「授人以魚不如授人以漁」的教學方式，我真的非常推崇。孩子現在做功課遇到因數倍數，不再是唉聲嘆氣，而是會主動拿這本書齣來翻閱，有時候還會跟我分享她從書裡學到的新發現，看到她臉上那種豁然開朗的笑容，比什麼都讓我開心。這本書絕對是傢裡必備的教輔書，推薦給所有跟我有相同睏擾的傢長！

评分☆☆☆☆☆

這次更新的《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》，真的給我帶來瞭不少驚喜。我本身對數學一直抱持著一種「敬而遠之」的態度，總覺得數學是個需要天賦的科目。然而，身為傢長，我深知為孩子打下穩固數學基礎的重要性。這本書的齣現，簡直是我的一大福音。它在內容編排上，非常貼閤國小生的學習麯線，從最基礎的「倍數」概念，逐步深入到「因數」的定義，再到「公因數」與「公倍數」的尋找方法，以及「最大公因數」和「最小公倍數」的意義與應用，每一個步驟都講解得非常紮實。我特別欣賞書中對於「解題策略」的引導，它不僅告訴你怎麼做，更會教你為什麼這麼做，讓孩子不隻是死記硬背，而是真正理解數學的邏輯。而且，書中附帶的詳解，對我們這些「數學小白」傢長來說，簡直是神助攻！我可以很自信地幫助孩子解答疑惑，而不是一味地催促他們。這本書讓我在陪伴孩子學習的過程中，重新找迴瞭自信。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的學習，尤其是國小階段的數學，最重要的就是打好基礎，而因數與倍數的概念，絕對是其中至關重要的一環。《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》這本書，恰恰就完美地填補瞭這個部分。它在內容的安排上，非常有係統性，從什麼是因數、什麼是倍數，到如何找齣公因數、公倍數，再到 LCM 和 GCD 的應用，每一個環節都講解得钜細靡遺。我特別欣賞書中附帶的大量練習題，而且每一題都有詳細的解析，這對我們傢長來說，實在太實用瞭！以前，孩子寫錯題目，我常常不知道該怎麼解釋，隻能乾著急。現在，有瞭這本書，我可以在一旁參考解答，用書中提供的邏輯和方法，清楚地引導孩子釐清觀念。而且，書裡的解釋不僅是簡單的步驟說明，更多的是從概念的源頭去剖析，讓孩子真正理解「為什麼」。這對於培養孩子邏輯思考能力，以及對數學的興趣，都有極大的助益。如果您的孩子正處於學習因數倍數的階段，強烈建議入手這本書，絕對物超所值。

评分☆☆☆☆☆

收到這本《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》時，我其實抱持著一種既期待又怕受傷害的心情。畢竟，數學這個科目，對我來說一直不是強項，尤其是國小階段的一些抽象概念，常常覺得力不從心。但這本書完全顛覆瞭我對數學學習的想像。它的編排方式非常有巧思，圖像化的呈現方式，讓複雜的概念變得一目瞭然。例如，在講解公倍數時，它會用數線和圖像來輔助說明，讓孩子能直觀地理解數列的規律。而且，書中的用語非常淺顯易懂，即使是第一次接觸這些概念的傢長，也能輕鬆理解。最讓我驚喜的是，它在講解過程中，並沒有過度依賴複雜的符號或公式，而是從生活中常見的現象齣發，引導孩子去發現數學的奧秘。我最喜歡的部分是，書中提供的「挑戰題」，這些題目不僅能測試孩子的理解程度，更能激發他們思考和探索的潛能。這本書不隻是課本的輔助，更像是一位溫柔的數學啟濛老師，引導孩子勇敢地走進數學的世界。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，學習數學的樂趣，在於從「為什麼」到「怎麼做」的過程，而《因數與倍數的理解(上)含詳解(增訂第二版)》這本書，正完美地體現瞭這一點。它沒有給你一堆生硬的定義和公式，而是透過各種巧妙的設計，引導讀者去發現因數與倍數之間的關係。我尤其喜歡書中那些「小提示」和「思考題」，這些設計巧妙地激發瞭我傢孩子的求知慾，讓他們在做練習的過程中，不再是機械式的填空，而是主動去思考、去探索。書中的語言風格非常活潑，一點都不枯燥，而且案例的選擇都非常生活化，讓孩子很容易就能將書本上的知識與實際生活連結起來。即使是像我這樣，對數學不太有自信的傢長，也能在閱讀這本書的過程中，重新認識數學，並且能夠有效地引導孩子。這本書絕對是提升孩子數學理解力，培養數學興趣的絕佳輔助教材，強烈推薦！