國中康軒新挑戰新命題焦點數學二下{111學年} pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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康軒編輯部

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跨越思維的藩籬：高中數學精選範例解析與高階概念探討 書籍定位與目標讀者： 本書旨在為高中階段，特別是對於數學有志於深入探究、準備迎接更嚴峻學術挑戰的學生，提供一套全面且深入的輔助學習資源。內容聚焦於高中數學課程中的核心概念、進階技巧的闡釋，以及歷年來重要競賽或升學考試中經常出現的經典題型分析。我們的目標讀者群主要涵蓋： 1. 高一銜接高二的學生： 針對國中階段數學知識的扎實基礎，引導學生平順過渡至更抽象、更依賴邏輯推理的高中數學體系，特別是函數、三角、數列等章節的初步建構。 2. 高二學生： 深入探討微積分基礎（如極限、導數的幾何與物理意義）、向量的代數與幾何應用，以及機率與統計的進階推論。 3. 準備學科能力測驗 (學測) 或分科測驗 (分科測驗) 的學生： 提供大量高難度、需要整合多個單元知識才能解決的綜合題型解析，強化解題的策略性思維。 4. 對數學抱持濃厚興趣的自學者： 內容編排上兼顧基礎回顧與前瞻性發展，讓有心深入學習者能找到清晰的脈絡。 內容架構與特色詳述： 本書共分為五大部分，每一部分皆以詳盡的理論闡述、步驟化的解題示範，以及「思維拓展」專欄作為補充。 --- 第一部分：代數結構與數系擴展 (Foundational Algebra and Number Systems) 本部分著重於鞏固與延伸學生對數的理解，並建立穩固的代數運算基礎。 單元一：複數的世界 從實數到複數的必然性： 詳細探討二次方程判別式為負時，引入虛數單位的歷史背景與數學必要性。 複數的幾何表示法 (Argand Diagram)： 不僅計算 $(a+bi)(c+di)$，更著重於複數的加法、減法、乘法、除法在平面上的幾何意義（旋轉、縮放）。 棣莫弗定理 (De Moivre's Theorem) 的詳盡推導與應用： 深入探討如何利用此定理求 $n$ 次方根，並結合三角函數的周期性，解決周期性數列問題。 經典題型解析： 涉及複數方程的根與係數關係，以及與三角函數結合的證明題。 單元二：多項式函數的深入探討 高次多項式的因式分解與根的性質： 著重於理性根檢驗法的高效使用，以及根與係數的關係在更高次數多項式中的推廣。 餘式定理與綜合除法 (Synthetic Division) 的高效應用： 著重於解題速度的提升，並探討如何利用反向建構法由根求多項式。 多項式不等式與圖形分析： 結合多項式的零點與最高次項係數，精準描繪圖形，並應用於分段函數的分析。 --- 第二部分：函數的極限與連續性 (Limits and Continuity) 本部分是微積分學習的基石，強調嚴謹的邏輯推理，而非僅是公式的套用。 單元三：數列的極限 極限的直觀理解與 $epsilon-delta$ 語言的初步接觸： 對於「趨近於」的概念進行嚴謹的界定，避免模糊的敘述。 遞迴數列的極限求解： 著重於利用不動點定理 (Fixed Point Iteration) 和單調收斂定理來判斷極限是否存在及數值。 無窮等比級數的收斂條件： 不僅是 $|r|<1$，更深入探討級數的和在實際問題（如巴拿赫不動點或物理衰減模型）中的應用。 單元四：函數的極限與連續性 左右極限、兩側極限的比較與不連續點的分類： 詳細分類可去、跳躍、漸近三類不連續點，並結合圖形展示。 極限的四則運算與不定型 $frac{0}{0}, frac{infty}{infty}$ 的處理策略： 系統性介紹因式分解、有理化，以及初步的「高次項比較法」。 連續性的意義： 探討中間值定理 (Intermediate Value Theorem) 的幾何意義和實際應用，例如證明方程存在實根。 --- 第三部分：微分學的基礎概念 (The Fundamentals of Differential Calculus) 此部分是解析學的核心，將代數的變化率概念轉化為幾何上的斜率。 單元五：導數的定義與幾何意義 瞬時變化率的定義： 從平均變化率出發，利用極限嚴謹定義導數。 切線方程式的求法： 詳細示範如何利用導數求出特定點的切線斜率，並延伸至法線的計算。 可導性與連續性的關係： 闡述「可導必連續，連續不一定可導」的嚴謹證明，並舉出尖點 (cusp) 的反例。 單元六：微分法則的系統推導 基本微分公式的證明： 從基本定義出發，證明冪次法則、常數乘法法則等，強調知識的來龍去脈。 乘法、除法與連鎖律 (Chain Rule) 的詳盡解析： 連鎖律是複合函數求導的關鍵，本書提供多層次複合函數的拆解步驟，確保學生能準確應用。 隱函數微分法 (Implicit Differentiation)： 處理非顯式函數（如圓、橢圓方程）求導的方法，是高階幾何分析的基礎。 --- 第四部分：微分學的應用與進階探討 (Applications of Differentiation) 將導數工具應用於實際問題的分析與最佳化。 單元七：函數的圖形分析與極值問題 一階導數在增減性與局部極值中的應用： 根據一階導數的正負性判斷函數的升降區間，並利用第一、二判別法確定極大、極小值。 二階導數與凹凸性 (Concavity)： 引入反曲點 (Inflection Point) 的概念，分析函數圖形的彎曲方向。 最值問題 (Optimization Problems)： 系統化解決最大值、最小值應用題，強調在物理、經濟情境中如何建立數學模型並設定約束條件。 單元八：相關變化率與曲線的分析 相關變化率 (Related Rates)： 涉及多個變量隨時間變化的問題（如水箱注水速率、移動物體的距離變化），強調時間 $t$ 視為公共變量。 微分在近似計算中的應用： 利用線性近似 (Linear Approximation) 快速估計函數值或相對誤差。 曲率與曲率半徑的簡介 (選修內容延伸)： 為對幾何有興趣的學生提供進階的曲線衡量指標。 --- 第五部分：排列組合與機率的嚴謹性 (Combinatorics and Rigorous Probability) 本部分重構學生對計數的理解，並導入現代機率論的基礎。 單元九：排列組合的原理與應用 加法原理與乘法原理的區分與選擇： 著重於區分「互斥事件」與「連續步驟」的正確判斷。 排列 (Permutation) 與組合 (Combination) 的精確定義： 強調「順序」與「不考慮順序」的根本差異。 重複排列、重複組合與隔板法 (Stars and Bars)： 解決分派問題的進階技巧，並與二項式定理結合。 鴿籠原理 (Pigeonhole Principle) 的應用： 利用簡單的原理證明複雜的結構性問題。 單元十：古典機率與條件機率 古典機率模型的建構： 嚴謹定義樣本空間、事件，並計算事件發生的機率。 條件機率 (Conditional Probability)： 詳細解釋 $P(A|B)$ 的意義，並透過貝氏定理 (Bayes' Theorem) 解決逆向推論問題。 獨立事件的判斷與應用： 區分「互斥事件」與「獨立事件」的混淆點，並應用於重複試驗的機率計算。 全書總結： 本書結構嚴謹，從基礎概念出發，逐步引導至抽象思維的建立。每章節皆配有詳盡的「解題步驟解析」，強調如何將文字敘述轉化為數學語言；另設有「思維拓展」專欄，提供與大學數學課程相關的銜接知識點，確保讀者不僅學會「如何解」，更能理解「為何如此解」，從根本上提升數學素養與應試能力。

评分☆☆☆☆☆

这本数学书的封面设计真是让人眼前一亮，配色既活泼又不失稳重，感觉作者在排版和视觉呈现上下了不少功夫。我记得我刚翻开目录的时候，就有一种很清晰的脉络感，那种“循序渐进”的感觉在数学教材中尤为重要，它不像有些参考书那样上来就堆砌难题，而是非常注重基础概念的巩固。特别是几何部分，插图的清晰度和比例的准确性都做得非常到位，这对理解空间关系帮助太大了。我个人觉得，对于初次接触这些复杂几何定理的学生来说，光是那些图示就能省去不少来回翻阅文字解释的时间。而且，书里的字体选择也十分考究，印刷的清晰度完全没有让我产生阅读疲劳，长时间学习下来，眼睛的负担明显减轻了许多。总的来说，从拿到书本的那一刻起，我就能感受到它在“用户体验”上的用心良苦，这对于一本学习资料来说，绝对是一个巨大的加分项。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我以前对某些数学概念的理解一直停留在“死记硬背公式”的层面，总觉得那几个公式背后藏着什么玄机，但又看不透。然而，这本教材在讲解那些比较抽象的代数运算律时，引入了一些非常生活化的情境模拟。比如在解释分配律时，它模拟了一个超市购物打折的情景，一下子就把那些抽象的字母和符号变得具体可感了。这种将理论与实际生活场景紧密结合的编排方式，极大地降低了我的理解门槛。而且，书中对例题的讲解步骤，详尽到几乎没有遗漏任何一个中间步骤，这种“手把手”的教学风格，让我这个基础相对薄弱的学习者也能跟上节奏，很少出现“看到例题就懂了，自己做就懵了”的尴尬情况，这才是真正有价值的学习资料。

评分☆☆☆☆☆

不同于其他教辅书热衷于堆砌那些看起来很“高大上”但实际应用性不强的难题，这本书的“选材”非常贴合当前的考试方向，但又超越了死记硬背的范畴。它在介绍完基础知识点后，紧接着就会给出一系列不同角度的变式训练。这些变式训练的巧妙之处在于，它们往往只对原题的关键条件做了一个细微的改动，但解题思路却需要进行一次彻底的重构。这种训练模式极大地锻炼了我们的应变能力和迁移能力。我感觉我在做这些题目的时候，大脑皮层被充分调动起来了，不再是机械地套用模板，而是真正开始运用数学思维去解决问题，这对于培养未来的批判性思维也是一种潜移默化的培养。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题编排逻辑简直是教科书级别的典范。它不是简单地把题目罗列在一起，而是非常巧妙地设置了“基础巩固”、“能力提升”和“思维拓展”这三个层次，我尤其欣赏它在每一个单元后面都会有一个“错题分析与回顾”的小节。这个设计非常人性化，它不是生硬地给出标准答案，而是引导学生去思考“为什么会错”，这种引导式的教学，比单纯的对错判断有效得多。我记得有一次我被一道选择题卡住了很久，在翻阅到它的解析部分时，我发现它用了一种非常简洁的代数方法来推导图形题的结论，这种跨章节知识的融会贯通，让我对数学整体结构的理解一下子提升了一个档次。这种精心的设计，让学习过程不再是枯燥的重复劳动，而更像是一场层层递进的解谜游戏，让人充满探索欲。

评分☆☆☆☆☆

不得不提的是，这本书在对知识点的归纳总结部分做得非常出色。在每一个章节的末尾，都有一个精美的思维导图或者知识结构图。这个图表不是简单地罗列标题，而是用不同颜色和粗细的线条，清晰地展示了各个知识点之间的逻辑关系和从属关系。当我面对期中或期末复习时，我不再需要翻阅厚厚的笔记，只需扫一眼这个知识结构图，就能迅速在大脑中重构整个章节的知识体系，查漏补缺的效果立竿见影。这种可视化、结构化的总结，对于快速建立宏观视野至关重要，它让我深刻理解到数学知识不是孤立的点，而是一个相互连接的巨大网络，这种整理和梳理的能力，对未来更深层次的学习是不可或缺的财富。