圖解微分・積分【暢銷修訂版】 (電子書) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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深川和久

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深入淺出，掌握數學的兩大基石：經典微積分教材簡介 本書旨在為所有對高等數學懷有好奇心、渴望建立紮實數學基礎的讀者，提供一套全面且極易理解的微積分學習指南。我們深知，微積分，作為現代科學、工程學、經濟學乃至數據科學的語言核心，其概念的抽象性常令初學者望而卻步。因此，這本教材的設計理念，是將「直觀理解」置於「純粹形式推導」之前，確保每一位讀者都能在清晰的圖像和生活化的實例中，真正領會微分與積分的精髓。 第一部分：微分學——探究變化的藝術 微分學（Differential Calculus）是研究事物瞬時變化率的學科，它使我們能夠精確地描述和量化運動、增長、衰減等動態過程。本書將此部分內容劃分為循序漸進的模塊，確保讀者能夠穩步建立起對導數概念的深刻洞察。 1. 函數與極限的基石： 在進入微分的殿堂之前，我們首先需要穩固基礎。本章節將回顧必需的代數和三角函數知識，隨後以最嚴謹卻又最易懂的方式引入「極限」（Limit）的概念。我們不會僅停留於 $epsilon-delta$ 語言的艱澀定義，而是著重於極限在描述函數行為——例如在某點附近的趨近趨勢、無限遠處的行為（漸近線）——上的實際應用。通過大量圖形展示，讀者將直觀理解「無限接近，但永不相等」這一核心思想如何奠定導數的定義基礎。 2. 導數的定義與幾何意義： 導數的本質是「斜率」。本章將詳細闡釋如何從割線的斜率過渡到切線的斜率，從而得出導數的定義。我們將深入探討導數在幾何上的意義——它代表了曲線上某點的瞬時變化率，即切線的斜率。這不僅是數學上的定義，更是理解速度、加速度等物理概念的關鍵橋樑。 3. 微分法則的系統化梳理： 掌握了定義後，我們將系統性地介紹微分的運算工具，確保學習過程的高效性。這包括： 基本初等函數的求導： 冪函數、三角函數、指數函數和對數函數的求導公式將通過清晰的表格呈現，並附帶簡短的推導思路。 運算法則： 和差、積、商法則的應用，這些是構築複雜函數求導的積木。 連鎖律 (The Chain Rule)： 作為多變量函數和複合函數求導的「萬能鑰匙」，連鎖律將通過多層次的嵌套實例進行詳盡解析，確保讀者能熟練處理任意復雜的複合函數。 4. 導數的應用：分析函數的性態 導數的真正威力體現在其應用上。本應用部分是全書的重點之一，它將微分工具轉化為強大的分析儀器： 單調性分析： 一階導數的正負如何決定函數的增減趨勢。 極值問題（最大值與最小值）： 如何利用一階導數判斷局部極值點，並應用二階導數（凹凸性與拐點）來確定極值的性質。這部分將涵蓋優化問題的標準解題範式，例如成本最小化、收益最大化等實際問題。 曲線描繪 (Curve Sketching)： 通過整合極限、一階導數、二階導數的所有信息，讀者將學會像畫家一樣，精確地描繪出任何給定函數的完整圖像，包括所有關鍵的轉折點和趨勢。 相關變化率 (Related Rates)： 專門探討涉及時間變化的動態問題，例如氣球充氣速度與其表面積變化率之間的關係，強調物理情境與數學模型的對應。 --- 第二部分：積分學——累積與總和的奧秘 如果說微分是「切分」和「瞬時」，那麼積分學（Integral Calculus）則是「累積」和「總和」。它解決了如何計算曲線下方的面積、物體的總位移，以及諸如體積、弧長等更複雜的幾何量問題。 1. 積分的起源與定積分： 我們從黎曼和 (Riemann Sum) 的概念出發，直觀地理解積分是如何通過將曲線下的區域無數次地分割成無限窄的矩形，然後將它們的面積加總而來的。本章將清晰地闡述黎曼和如何收斂於定積分的精確值，從而將「求面積」這一幾何問題轉化為精確的數學運算。 2. 微積分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus)： 這是連接微分與積分的黃金橋樑，也是微積分學的基石。本章將分成兩部分詳述： 第一基本定理： 表明微分和積分是互逆運算，這使得我們無需每次都訴諸於黎曼和的極限運算，而是可以利用反導函數來計算定積分。 第二基本定理： 提供了計算定積分的實用公式，是所有定積分計算的核心方法。 3. 不定積分與基礎積分技術： 不定積分即求反導函數。本部分將系統介紹積分的各種技巧，這些技巧的複雜度和應用範圍遠超求導時的簡單法則： 基本積分公式表： 對應於微分的公式，並擴展到更廣泛的函數族。 替換法（Substitution Rule）： 相當於連鎖律在積分中的逆運算。我們將通過大量範例展示如何巧妙地「猜測」或構造 $u$ 變量，以簡化複雜的積分表達式。 分部積分法 (Integration by Parts)： 基於乘法定律的反推，是處理乘積形式函數（特別是多項式乘以三角函數、指數函數或對數函數）的強大工具。我們將強調選擇 $u$ 和 $dv$ 的策略性考量。 三角代換與部分分式分解： 專門針對特定形式的積分，如含有 $sqrt{a^2-x^2}$ 或 $frac{1}{(x-a)(x-b)}$ 形式的表達式，提供系統化的解題步驟。 4. 積分的應用：超越面積計算 一旦掌握了積分技巧，我們便能解決更廣泛的累積問題： 面積與體積： 計算兩曲線之間的面積，以及使用圓盤法、圓環法或切片法計算旋轉體積。 物理應用： 計算功、質心、轉動慣量等物理量，將抽象的積分符號與真實世界的物理效應聯繫起來。 瑕積分 (Improper Integrals)： 探討積分區間無限延伸（如 $[a, infty)$）或積分函數在區間內存在無窮間斷點時，如何判斷積分是否收斂，這在概率論和物理學中至關重要。 教材特色與學習支持 本書在編排上特別注重實用性和可讀性： 豐富的例題與練習： 每個定理和公式後都緊跟著詳盡的、逐步分解的例題。練習題的難度設置呈階梯狀，從基礎的公式應用到需要多種技巧組合的綜合題。 概念圖示化： 大量使用視覺輔助，特別是在解釋極限、導數的幾何意義、黎曼和逼近面積的過程中，圖表是我們溝通的核心語言。 章末總結與重點提示： 每章結尾均包含「你需要記住的五件事」和「常見錯誤警示」，幫助讀者快速回顧核心知識點，並預防學習中的陷阱。 透過這本教材，讀者將不僅學會如何「計算」微分和積分，更將理解它們「為什麼」有效，從而為未來深入學習高等數學、應用數學及相關理工學科打下無可動搖的堅實基礎。

评分☆☆☆☆☆

这本让我爱不释手的工具书，简直是数学学习路上的神助攻！我之前对微积分的概念总是似懂非懂，那些复杂的公式和抽象的理论看得我头晕眼花，感觉自己永远也抓不住重点。但是自从翻开这本“图解”的宝典之后，一切都变得清晰明朗起来。作者没有直接堆砌枯燥的符号，而是用大量直观的图像和生活化的例子来解释那些最难理解的部分。比如，他们解释导数的时候，不是直接给出定义，而是通过速度和斜率的图像变化来呈现，这种可视化的方式极大地降低了理解门槛。我尤其欣赏它在基础概念构建上的耐心和细致，每一步推导都像是在搭建一座稳固的知识高塔，让人每走一步都感到踏实。即便是对于像我这种数学底子不算特别扎实的学习者来说，也能轻松跟上节奏，不再感到有巨大的心理压力。它不是那种让你快速“搞定”考试的速成秘籍，而更像是一位耐心的导师，引导你真正理解微积分背后的逻辑和美感。读完之后，那种茅塞顿开的成就感，真的无与伦比。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我是一个非常挑剔的读者，尤其是涉及到理工科的学习资料，如果排版混乱或者逻辑跳跃，我宁愿花时间去网上搜索零散的资料，也不愿被一本令人抓狂的书“折磨”。然而，这本《圖解微分・積分》的编排简直是教科书级别的典范。它的章节过渡极其自然流畅，仿佛有一条清晰的脉络牵引着读者的思路从基础概念稳步迈向高阶应用。我注意到，即便是处理那些传统教材中容易写得过于冗长和晦涩的证明过程，它也采用了精简的步骤拆解，并且巧妙地在关键的转折点辅以简洁的注释，确保读者不会在某个不起眼的假设上卡住。更值得称赞的是它的“修订版”带来的优化，图表的清晰度和色彩的运用都非常考究，阅读体验大幅提升，长时间盯着也不会感到视觉疲劳。这种对细节的关注，体现了出版方对学习者体验的尊重，而不是简单地把内容堆砌在一起了事。对于需要反复查阅和深入钻研的读者来说，这种高质量的排版和结构布局，是其价值的有力保障。

评分☆☆☆☆☆

我最近在准备一个工程项目中的建模工作，需要重新梳理一些定积分和不定积分的实际应用场景。市面上很多专注于应试的微积分书籍，往往在“实操性”上做得不够。但这本书的优势恰恰在于它将理论与实际应用做了非常精妙的结合。它没有停留在“求导数求极值”的表面，而是深入探讨了曲线下面积、体积计算，乃至一些简单物理问题的瞬时变化率等问题。尤其是在讲解定积分的物理意义时，作者给出的案例非常贴近现代工程或数据分析的场景，这让我立刻能够联想到如何在我的工作中应用这些知识。这种“学以致用”的设计理念，让学习过程不再是孤立的数学游戏，而是增强解决实际问题能力的工具箱。每一次当我遇到理论上的瓶颈时，翻阅这本书中对应的应用实例，总能找到突破口，这远比死记硬背公式来得有效和持久。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在职进修的社会人士，我学习时间极其碎片化，每天只能挤出零碎的半小时到一小时。因此，对我来说，选择学习材料最核心的标准就是**学习效率**和**知识点的可回顾性**。这本书在这两方面表现出色。它的知识点被切分得非常小而精，很多核心概念只需要阅读几页就能完整消化吸收。更重要的是，它在每部分的结尾通常会有一个精炼的“知识点总结”或者“易错点提醒”，这对于快速回顾和查漏补缺简直是神器。我发现自己不必从头到尾翻一遍，只需快速浏览那些我标记过的重点和总结区，就能迅速将久远的知识点重新激活。这种高效的结构设计，充分考虑到了成年学习者对时间敏感度的需求，让微积分的学习不再是负担，而成为可以随时插入日程的有效知识补充。

评分☆☆☆☆☆

说句心里话，我对很多“图解”类的书籍都有点保留，总觉得它们为了追求“易懂”而牺牲了内容的严谨性，最后变成了只有插图没有干货的平面读物。但这本书完全打破了我的固有印象。它做到了**严谨性与可视化**的完美平衡。它没有因为大量使用图示和简化语言，就放松对数学定义的精确要求。每一个图解都是为了更好地阐释一个精确的数学概念，而不是为了分散读者的注意力。例如，对于极限的概念，它不仅通过图像展示了趋近的过程，同时也严格遵循了$epsilon-delta$语言的逻辑框架，只是在介绍时将它包装得更容易被接受。这种双管齐下的策略，使得读者既能建立直观的感性认识，又能掌握严谨的理性分析工具，这对于希望未来在数学或科学领域继续深造的人来说，是至关重要的。