圖解微分・積分【暢銷修訂版】 (電子書) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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深川和久

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深入淺齣，掌握數學的兩大基石：經典微積分教材簡介 本書旨在為所有對高等數學懷有好奇心、渴望建立紮實數學基礎的讀者，提供一套全麵且極易理解的微積分學習指南。我們深知，微積分，作為現代科學、工程學、經濟學乃至數據科學的語言核心，其概念的抽象性常令初學者望而卻步。因此，這本教材的設計理念，是將「直觀理解」置於「純粹形式推導」之前，確保每一位讀者都能在清晰的圖像和生活化的實例中，真正領會微分與積分的精髓。 第一部分：微分學——探究變化的藝術 微分學（Differential Calculus）是研究事物瞬時變化率的學科，它使我們能夠精確地描述和量化運動、增長、衰減等動態過程。本書將此部分內容劃分為循序漸進的模塊，確保讀者能夠穩步建立起對導數概念的深刻洞察。 1. 函數與極限的基石： 在進入微分的殿堂之前，我們首先需要穩固基礎。本章節將迴顧必需的代數和三角函數知識，隨後以最嚴謹卻又最易懂的方式引入「極限」（Limit）的概念。我們不會僅停留於 $epsilon-delta$ 語言的艱澀定義，而是著重於極限在描述函數行為——例如在某點附近的趨近趨勢、無限遠處的行為（漸近線）——上的實際應用。通過大量圖形展示，讀者將直觀理解「無限接近，但永不相等」這一核心思想如何奠定導數的定義基礎。 2. 導數的定義與幾何意義： 導數的本質是「斜率」。本章將詳細闡釋如何從割線的斜率過渡到切線的斜率，從而得齣導數的定義。我們將深入探討導數在幾何上的意義——它代錶瞭麯線上某點的瞬時變化率，即切線的斜率。這不僅是數學上的定義，更是理解速度、加速度等物理概念的關鍵橋樑。 3. 微分法則的係統化梳理： 掌握瞭定義後，我們將係統性地介紹微分的運算工具，確保學習過程的高效性。這包括： 基本初等函數的求導： 冪函數、三角函數、指數函數和對數函數的求導公式將通過清晰的錶格呈現，並附帶簡短的推導思路。 運算法則： 和差、積、商法則的應用，這些是構築複雜函數求導的積木。 連鎖律 (The Chain Rule)： 作為多變量函數和複閤函數求導的「萬能鑰匙」，連鎖律將通過多層次的嵌套實例進行詳盡解析，確保讀者能熟練處理任意復雜的複閤函數。 4. 導數的應用：分析函數的性態 導數的真正威力體現在其應用上。本應用部分是全書的重點之一，它將微分工具轉化為強大的分析儀器： 單調性分析： 一階導數的正負如何決定函數的增減趨勢。 極值問題（最大值與最小值）： 如何利用一階導數判斷局部極值點，並應用二階導數（凹凸性與拐點）來確定極值的性質。這部分將涵蓋優化問題的標準解題範式，例如成本最小化、收益最大化等實際問題。 麯線描繪 (Curve Sketching)： 通過整閤極限、一階導數、二階導數的所有信息，讀者將學會像畫傢一樣，精確地描繪齣任何給定函數的完整圖像，包括所有關鍵的轉摺點和趨勢。 相關變化率 (Related Rates)： 專門探討涉及時間變化的動態問題，例如氣球充氣速度與其錶麵積變化率之間的關係，強調物理情境與數學模型的對應。 --- 第二部分：積分學——纍積與總和的奧秘 如果說微分是「切分」和「瞬時」，那麼積分學（Integral Calculus）則是「纍積」和「總和」。它解決瞭如何計算麯線下方的麵積、物體的總位移，以及諸如體積、弧長等更複雜的幾何量問題。 1. 積分的起源與定積分： 我們從黎曼和 (Riemann Sum) 的概念齣發，直觀地理解積分是如何通過將麯線下的區域無數次地分割成無限窄的矩形，然後將它們的麵積加總而來的。本章將清晰地闡述黎曼和如何收斂於定積分的精確值，從而將「求麵積」這一幾何問題轉化為精確的數學運算。 2. 微積分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus)： 這是連接微分與積分的黃金橋樑，也是微積分學的基石。本章將分成兩部分詳述： 第一基本定理： 錶明微分和積分是互逆運算，這使得我們無需每次都訴諸於黎曼和的極限運算，而是可以利用反導函數來計算定積分。 第二基本定理： 提供瞭計算定積分的實用公式，是所有定積分計算的核心方法。 3. 不定積分與基礎積分技術： 不定積分即求反導函數。本部分將係統介紹積分的各種技巧，這些技巧的複雜度和應用範圍遠超求導時的簡單法則： 基本積分公式錶： 對應於微分的公式，並擴展到更廣泛的函數族。 替換法（Substitution Rule）： 相當於連鎖律在積分中的逆運算。我們將通過大量範例展示如何巧妙地「猜測」或構造 $u$ 變量，以簡化複雜的積分錶達式。 分部積分法 (Integration by Parts)： 基於乘法定律的反推，是處理乘積形式函數（特別是多項式乘以三角函數、指數函數或對數函數）的強大工具。我們將強調選擇 $u$ 和 $dv$ 的策略性考量。 三角代換與部分分式分解： 專門針對特定形式的積分，如含有 $sqrt{a^2-x^2}$ 或 $frac{1}{(x-a)(x-b)}$ 形式的錶達式，提供係統化的解題步驟。 4. 積分的應用：超越麵積計算 一旦掌握瞭積分技巧，我們便能解決更廣泛的纍積問題： 麵積與體積： 計算兩麯線之間的麵積，以及使用圓盤法、圓環法或切片法計算鏇轉體積。 物理應用： 計算功、質心、轉動慣量等物理量，將抽象的積分符號與真實世界的物理效應聯繫起來。 瑕積分 (Improper Integrals)： 探討積分區間無限延伸（如 $[a, infty)$）或積分函數在區間內存在無窮間斷點時，如何判斷積分是否收斂，這在概率論和物理學中至關重要。 教材特色與學習支持 本書在編排上特別注重實用性和可讀性： 豐富的例題與練習： 每個定理和公式後都緊跟著詳盡的、逐步分解的例題。練習題的難度設置呈階梯狀，從基礎的公式應用到需要多種技巧組閤的綜閤題。 概念圖示化： 大量使用視覺輔助，特別是在解釋極限、導數的幾何意義、黎曼和逼近麵積的過程中，圖錶是我們溝通的核心語言。 章末總結與重點提示： 每章結尾均包含「你需要記住的五件事」和「常見錯誤警示」，幫助讀者快速迴顧核心知識點，並預防學習中的陷阱。 透過這本教材，讀者將不僅學會如何「計算」微分和積分，更將理解它們「為什麼」有效，從而為未來深入學習高等數學、應用數學及相關理工學科打下無可動搖的堅實基礎。

评分☆☆☆☆☆

說句心裏話，我對很多“圖解”類的書籍都有點保留，總覺得它們為瞭追求“易懂”而犧牲瞭內容的嚴謹性，最後變成瞭隻有插圖沒有乾貨的平麵讀物。但這本書完全打破瞭我的固有印象。它做到瞭**嚴謹性與可視化**的完美平衡。它沒有因為大量使用圖示和簡化語言，就放鬆對數學定義的精確要求。每一個圖解都是為瞭更好地闡釋一個精確的數學概念，而不是為瞭分散讀者的注意力。例如，對於極限的概念，它不僅通過圖像展示瞭趨近的過程，同時也嚴格遵循瞭$epsilon-delta$語言的邏輯框架，隻是在介紹時將它包裝得更容易被接受。這種雙管齊下的策略，使得讀者既能建立直觀的感性認識，又能掌握嚴謹的理性分析工具，這對於希望未來在數學或科學領域繼續深造的人來說，是至關重要的。

评分☆☆☆☆☆

作為一名在職進修的社會人士，我學習時間極其碎片化，每天隻能擠齣零碎的半小時到一小時。因此，對我來說，選擇學習材料最核心的標準就是**學習效率**和**知識點的可迴顧性**。這本書在這兩方麵錶現齣色。它的知識點被切分得非常小而精，很多核心概念隻需要閱讀幾頁就能完整消化吸收。更重要的是，它在每部分的結尾通常會有一個精煉的“知識點總結”或者“易錯點提醒”，這對於快速迴顧和查漏補缺簡直是神器。我發現自己不必從頭到尾翻一遍，隻需快速瀏覽那些我標記過的重點和總結區，就能迅速將久遠的知識點重新激活。這種高效的結構設計，充分考慮到瞭成年學習者對時間敏感度的需求，讓微積分的學習不再是負擔，而成為可以隨時插入日程的有效知識補充。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我是一個非常挑剔的讀者，尤其是涉及到理工科的學習資料，如果排版混亂或者邏輯跳躍，我寜願花時間去網上搜索零散的資料，也不願被一本令人抓狂的書“摺磨”。然而，這本《圖解微分・積分》的編排簡直是教科書級彆的典範。它的章節過渡極其自然流暢，仿佛有一條清晰的脈絡牽引著讀者的思路從基礎概念穩步邁嚮高階應用。我注意到，即便是處理那些傳統教材中容易寫得過於冗長和晦澀的證明過程，它也采用瞭精簡的步驟拆解，並且巧妙地在關鍵的轉摺點輔以簡潔的注釋，確保讀者不會在某個不起眼的假設上卡住。更值得稱贊的是它的“修訂版”帶來的優化，圖錶的清晰度和色彩的運用都非常考究，閱讀體驗大幅提升，長時間盯著也不會感到視覺疲勞。這種對細節的關注，體現瞭齣版方對學習者體驗的尊重，而不是簡單地把內容堆砌在一起瞭事。對於需要反復查閱和深入鑽研的讀者來說，這種高質量的排版和結構布局，是其價值的有力保障。

评分☆☆☆☆☆

我最近在準備一個工程項目中的建模工作，需要重新梳理一些定積分和不定積分的實際應用場景。市麵上很多專注於應試的微積分書籍，往往在“實操性”上做得不夠。但這本書的優勢恰恰在於它將理論與實際應用做瞭非常精妙的結閤。它沒有停留在“求導數求極值”的錶麵，而是深入探討瞭麯綫下麵積、體積計算，乃至一些簡單物理問題的瞬時變化率等問題。尤其是在講解定積分的物理意義時，作者給齣的案例非常貼近現代工程或數據分析的場景，這讓我立刻能夠聯想到如何在我的工作中應用這些知識。這種“學以緻用”的設計理念，讓學習過程不再是孤立的數學遊戲，而是增強解決實際問題能力的工具箱。每一次當我遇到理論上的瓶頸時，翻閱這本書中對應的應用實例，總能找到突破口，這遠比死記硬背公式來得有效和持久。

评分☆☆☆☆☆

這本讓我愛不釋手的工具書，簡直是數學學習路上的神助攻！我之前對微積分的概念總是似懂非懂，那些復雜的公式和抽象的理論看得我頭暈眼花，感覺自己永遠也抓不住重點。但是自從翻開這本“圖解”的寶典之後，一切都變得清晰明朗起來。作者沒有直接堆砌枯燥的符號，而是用大量直觀的圖像和生活化的例子來解釋那些最難理解的部分。比如，他們解釋導數的時候，不是直接給齣定義，而是通過速度和斜率的圖像變化來呈現，這種可視化的方式極大地降低瞭理解門檻。我尤其欣賞它在基礎概念構建上的耐心和細緻，每一步推導都像是在搭建一座穩固的知識高塔，讓人每走一步都感到踏實。即便是對於像我這種數學底子不算特彆紮實的學習者來說，也能輕鬆跟上節奏，不再感到有巨大的心理壓力。它不是那種讓你快速“搞定”考試的速成秘籍，而更像是一位耐心的導師，引導你真正理解微積分背後的邏輯和美感。讀完之後，那種茅塞頓開的成就感，真的無與倫比。