高等微积分（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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初版四刷

　　高等微积分所讨论的对象，是欧氏空间中的函数、点列与级数等；讨论的内容，则是极限、收敛性、连续性、微分与积分等概念。为了让这些概念能够给出严密的定义以及写出严密的证明，实数系的完备性是不可或缺的必备知识。

　　本书从实数系的定义出发，先完成实数系完备性及其各种等价叙述的证明；再以此作为踏脚石，并使用欧氏空间中开集、闭集、紧致集与连通集等拓朴概念做为工具，引导读者进入近代分析数学的入门科目。

　　全书之编写，採取严密处理的方式，除了以大一微积分为预备知识、也引用少数线性代数的定理外，其他内容在书中都给了证明。

作者简介

赵文敏，台湾省澎湖县人，民国三十五年生

＊现职：
　　国立台湾师范大学数学系教授

＊学历：
　　国立台湾师范大学数学系理学士
　　美国芝加哥大学数学博士

＊经历：
　　台湾省立马中学数学教师
　　台北市立第一女子高级中学数学教师
　　国立台湾师范大学数学系助教
　　国立台湾师范大学数学系副教授
　　国立台湾师范大学数学系教授兼系主任

＊着作：
　　拓扑学导论
　　寓数学于游戏【两册】
　　数论浅谈
　　无穷级数
　　数学史【第一卷】
　　几何学概论
　　大学微积分【两册】
　　高等微积分(上)

深入探索数学的基石：一本拓宽你对严谨分析理解的指南 书名：高等微积分（下） 内容简介 本书是《高等微积分（上）》的续篇，旨在将读者在基础微积分和初步分析中所建立的知识体系，推向一个更为深邃、严谨且广阔的境界。它不再满足于仅仅处理直观的极限和导数概念，而是深入探究这些概念背后的结构、拓扑性质以及它们如何支撑起更高级的数学分支。全书的叙事逻辑强调从具体例子到抽象定理的提炼过程，旨在培养读者独立思考和进行数学证明的能力。 本书的结构被精心划分为若干核心部分，每一部分都以前一部分的成果为基础，逐步构建起对现代分析学的完整认知。 --- 第一部分：多变量函数的微分几何与拓扑基础 在高等分析的学习中，从一维空间（实数线 $mathbb{R}$）跃迁至高维空间（$mathbb{R}^n$）是至关重要的一步。本部分将系统性地重塑读者对函数、连续性、极限的理解，使其适应多变量环境。 1. 拓扑预备与度量空间： 我们首先建立必要的拓扑语言。不同于离散数学中的开闭集定义，这里引入开球、邻域、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）的精确定义。重点分析欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的特殊性质，特别是 Heine-Borel 定理在高维空间中的地位及其在证明中的关键作用。紧致集上的连续函数性质（极值定理、一致收敛性）将是本部分的核心应用。 2. 偏导数、方向导数与梯度： 对偏导数的讨论将不再是简单的计算，而是引入方向导数的概念，探讨函数在特定方向上的变化率。梯度向量的引入不仅是计算工具，更是连接微分与函数局部最优解的关键桥梁。我们深入探讨函数在特定方向上的可微性并不意味着在所有方向上都可微，以及这种差异如何导向更强的可微性概念。 3. 链式法则的几何解释与高阶导数： 链式法则在高维下的复杂性需要几何直觉来指导。本节将详细推导多变量链式法则的矩阵形式，并引入Hessian 矩阵。Hessian 矩阵不仅用于分类临界点（局部最大值、最小值、鞍点），更重要的是，它构成了泰勒定理在高维空间中的严格表述，为后续的优化理论打下基础。 4. 隐函数定理与反函数定理： 这是多变量微分学的两大支柱。隐函数定理（Implicit Function Theorem）讨论了方程组 $F(x, y) = 0$ 在局部能否定义出 $y$ 作为 $x$ 的函数。反函数定理（Inverse Function Function Theorem）则在高维空间中给出了局部可逆性的充分条件，即Jacobian 矩阵行列式不为零。证明过程中将大量运用压缩映射原理（见下文），强调其严谨性。 --- 第二部分：积分的深化与勒贝格测度的初步接触 本部分将超越黎曼积分的直观理解，转向更强大的积分理论，并为现代泛函分析做铺垫。 1. 多重积分与坐标变换： 详细讨论直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的多重积分计算，重点在于雅可比行列式在面积或体积元素变换中的作用，解释为什么它必须出现在积分的变量代换中。 2. 曲线积分与曲面积分： 向量场（Vector Fields）的概念是物理学和几何学中的核心。我们严格定义线积分（Line Integrals）和面积分（Surface Integrals），并区分第一类和第二类积分。 3. 格林定理、斯托克斯定理与高斯散度定理的严谨推导： 这是微分几何与分析结合的经典篇章。本书将避免过早地将这些定理视为“已知结论”，而是基于多重积分的Fubini定理和斯托克斯定义的微分形式，通过精妙的边界分析，严格证明这些核心定理。这些定理揭示了微分运算（旋度、散度）与积分运算之间的深刻对偶关系。 4. 黎曼积分的局限性与勒贝格积分的动机： 简要介绍黎曼积分在处理“高度不规则”函数时的失败（如狄利克雷函数）。引入测度论的基本思想——不再按定义域分割，而是按值域分割。虽然本书不会深入测度论的复杂细节，但会提供勒贝格积分的直观框架，解释其优越性，特别是它能处理的函数类更广，且在交换极限与积分时更具鲁棒性。 --- 第三部分：序列、级数与函数空间（一致收敛的威力） 本书将重点放在一致收敛性上，这是区分高等微积分与初等微积分的关键。 1. 函数序列与一致收敛： 细致区分逐点收敛（Pointwise Convergence）与一致收敛（Uniform Convergence）。通过反例（如三角函数序列的极限），展示逐点收敛不足以保证极限函数保持连续性、可积性或可微性。 2. Weierstrass M-检验与幂级数： 严格证明一致收敛的判别法，特别是M-检验法在证明函数级数一致收敛性中的强大效力。对幂级数的分析将集中于其收敛半径的确定（使用比值判别法或根值判别法），以及在收敛区间端点处的性质讨论。 3. 逐项微分与逐项积分： 给出在什么条件下，我们可以将极限与微分或积分的顺序互换（即 $lim int f_n = int lim f_n$ 或 $lim frac{d}{dx} F_n = frac{d}{dx} lim F_n$）。一致收敛性在这里扮演了决定性的角色。 4. 傅里叶级数入门（概念性介绍）： 基于内积空间和正交性的概念，简要介绍傅里叶级数是如何用正交基函数来展开一般函数的。这部分作为对函数空间概念的引入，展示了如何将一个无穷维空间（函数空间）转化为一个可处理的“坐标系”。 --- 第四部分：常微分方程的严格解法与存在性 本部分将微分方程的求解从特解计算提升到理论证明层面。 1. 一阶 ODE 的解法回顾与应用： 复习和归纳变量分离法、积分因子法等，并将其应用于实际物理和工程问题中，强调模型建立的过程。 2. 线性 ODE 理论： 深入探讨线性常微分方程组的解的结构。解空间构成一个向量空间，齐次方程的解是齐次解空间，非齐次方程的解是特定解加上齐次解。引出基本解矩阵的概念。 3. Picard 存在与唯一性定理： 这是常微分方程理论的基石。本书将使用Banach 压缩映射定理（在第一部分的反函数定理证明中已铺垫）来严格证明在特定条件下，初值问题（IVP）一定存在局部解且解是唯一的。这从根本上保证了我们所求解的微分方程的有效性。 全书的语言风格力求清晰、准确且具有启发性。每章末尾精心设计的习题，一部分用于巩固计算技巧，另一部分则着重于要求读者构造反例或完成严谨的理论证明，从而真正掌握分析学的精髓。本书的目标是为读者未来进入实分析、复分析或微分几何的学习做好最坚实的准备。

第一章　实数系
第二章　欧氏空间的拓朴性质
第三章　极限与连续
第四章　Rk上的微分
第五章　Rk上的Riemann积分

评分☆☆☆☆☆

我必须强调，这本《高等微积分（上）》在内容组织上，给我留下了极为深刻的印象。它并非简单地罗列公式和定理，而是力求将数学的逻辑美和严谨性展现在读者面前。作者在讲解每一个概念时，都会先铺垫其产生的背景和意义，让你明白为什么需要学习这个概念，而不是盲目地记忆。我特别欣赏作者在引入新的证明方法时，会先回顾一些已知的，相对简单的证明思路，然后在此基础上进行拓展和升华，这使得新的证明方法显得不那么突兀，也更容易被接受。而且，书中对一些容易混淆的概念，比如“收敛”和“绝对收敛”，都会进行非常清晰的辨析，并且给出明确的区分方法，这对于避免学生在学习中产生误解非常有帮助。我曾经因为这两个概念的区别而困扰了很久，直到阅读了这本书，才终于理清了头绪。这种细致入微的讲解，真的体现了作者深厚的教学功底。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当经典，采用的是那种略带复古感的深蓝色背景，搭配烫金的白色字体，瞬间就营造出一种严谨而又不失学术氛围的视觉感受。书脊上的“高等微积分（上）”几个字，工整地排列着，给人一种扎实可靠的感觉，仿佛一本厚重的学问就藏匿其中，等待着我去探索。我拿到这本书的时候，首先被它的纸张质感所吸引，是一种略微粗糙但又非常顺滑的哑光纸，闻起来有一股淡淡的油墨香，这种触感和气味，总能勾起我对学生时代那些埋头苦读的日子深深的怀念。翻开书页，你会发现它的排版非常清晰，大量的公式和定理被妥善地分隔开来，并且使用了不同大小的字体和粗细来强调重点，这一点对于我这种需要反复查阅理解的读者来说，简直是福音。每一章的开头，都会有一个简要的章节概述，让你对即将学习的内容有一个大致的框架，这对于构建完整的知识体系非常有帮助。而且，书中的插图和图示也恰到好处，不会显得过于花哨，但却能准确地描绘出抽象的数学概念，比如在讨论多变量函数的可视化时，那些精美的三维图形，真的是让我豁然开朗，仿佛原本模糊的概念瞬间就变得立体起来。我特别欣赏的是，在一些关键定理的证明过程中，作者并没有直接给出结论，而是层层递进，引导读者一步步去思考，就像是在进行一场智力探险，跟随作者的逻辑，最终拨开迷雾，看到真理的光辉。这种循序渐进的讲解方式，使得即使是初学者，也能逐步建立起对高等微积分的信心，而不是望而却步。

评分☆☆☆☆☆

让我印象深刻的是，这本书的编写风格非常具有亲和力。虽然是高等微积分，但作者并没有使用过于晦涩难懂的语言，而是尽量用清晰、简洁的学术语言来阐述概念。我特别喜欢在一些关键的证明或者定理的叙述后面，会有一个“注意”或者“提示”的部分，这些部分往往会点出一些容易出错的地方，或者提供一些解题的技巧，这些“锦囊妙计”真的是非常实用。我记得有一次，我被一个关于偏导数的题目卡住了，翻阅到书后的提示部分，作者那里用了一句话点醒了我，我才恍然大悟，很快就解决了问题。这种“防患于未然”的教学设计，极大地减少了读者在学习过程中的挫败感。而且，这本书的章节安排也非常合理，每一章的内容都衔接得非常紧密，并且会适当地回顾前面学过的内容，帮助读者巩固记忆。我觉得，这本书不仅仅是在教授知识，更是在引导读者形成良好的学习习惯和独立思考的能力。

评分☆☆☆☆☆

这款《高等微积分（上）》在细节处理上，简直是无可挑剔。它的装订非常牢固，采用的是精装工艺，书页缝合得严丝合缝，即便经常翻阅，书页也不会松散。我甚至怀疑，这本书可以轻松地经历几十年的磨损而不变形。纸张的厚度也非常合适，墨水不会渗到背面，影响阅读。我尤其喜欢的是，书中对公式的排版方式，每一个公式都经过精心设计，大小、间距都恰到好处，读起来非常舒服。而且，作者在公式旁边会用小括号标注出每个符号的含义，这一点对于初学者来说，简直是救星。我以前学微积分的时候，经常因为一个符号不认识，导致整个公式都看不懂，这本书在这方面考虑得非常周到。此外，书中的一些图示，比如函数的等高线图，或者向量场的示意图，都画得非常生动形象，能帮助我更直观地理解抽象的数学概念。我曾经花了好几个小时，反复研究书中的一个关于斯托克斯公式的图示，才真正理解了它在物理学中的应用，这本书的图示功不可没。

评分☆☆☆☆☆

我非常喜欢这本书的编排风格，它就像是一位经验丰富的老师，耐心地引导着每一个求知的学子。在讲解复杂的定理时，作者会拆解成多个小的步骤，并且用清晰的语言解释每一步的逻辑，生怕读者会漏掉任何一个细节。我记得，在学习格林公式的时候，书中用了整整一个章节来详细讲解它的推导过程，并且配有多个不同形状区域的图示，让我能够从不同角度理解这个公式的几何意义。这种“慢而稳定”的讲解方式，虽然可能需要花费更多的时间，但却能确保读者真正理解每一个概念，而不是死记硬背。而且，书后的习题设计也非常有特色，每一章节的习题都从易到难，循序渐进，并且提供了答案，这让我可以随时检验自己的学习成果，并从中吸取经验教训。我经常在做完习题后，对照答案，找出自己理解上的偏差，并及时进行纠正，这种主动的学习过程，让我觉得非常有成就感。

评分☆☆☆☆☆

从内容呈现的角度来看，这本书真的做到了“润物细无声”的教学境界。它不是那种上来就抛出一堆复杂公式，让你无从下手的感觉。相反，它的叙述非常流畅，逻辑性极强。我特别注意到，在引入每一个新的概念时，作者都会先给出一些直观的例子或者生活中的类比，让抽象的数学概念变得具体可感。比如，在讲解极限的时候，作者可能就从“无限接近”这个日常概念出发，逐步引导到数学上的定义。这种由浅入深的方式，极大地降低了初学者的门槛。而且，书中不仅讲解了理论，还穿插了大量的例题，这些例题的难度和类型都非常有代表性，从最基础的计算题，到需要综合运用多个定理的复杂问题，应有尽有。更重要的是，这些例题的解答过程都非常详尽，不仅给出了最终答案，还一步一步地展示了完整的推导过程，这对于我这种喜欢模仿和学习解题思路的人来说，是无价的。我甚至觉得，光是把书中的例题都彻底弄懂，就已经能掌握高等微积分的核心精髓了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计，可以说是教科书级别的典范。我看到它采用的是一种非常简洁的风格，没有多余的装饰，每一个文字、每一个公式都摆放得恰到好处。书中的字号大小适中，阅读起来非常舒适，长时间阅读也不会感到疲倦。我尤其喜欢它在公式上的处理，每一个公式都被单独列出，并且给出了编号，方便引用。而且，在公式的推导过程中，作者会将每一步的中间结果也清晰地展示出来，不会省略关键的步骤，这对于我这种喜欢刨根问底的读者来说，是极大的福音。我曾经尝试过阅读其他一些微积分书籍，里面的公式推导经常是跳跃性很强，让人看了云里雾里，而这本书在这方面做得非常严谨。此外，书中的图表也绘制得非常专业，线条清晰，比例准确，能够非常直观地展示数学概念。我记得书中关于曲面积分的一个图示，通过几个不同角度的观察，让我彻底理解了曲面积分的几何意义，真的是受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等微积分（上）》给我最深刻的印象，是它那近乎艺术品般的编辑水准。从封面到内页，每一个细节都透露着制作者的用心。我尤其喜欢它那柔和的内页配色，不是那种刺眼的白，而是一种暖白色，长时间阅读也不会让眼睛感到疲惫。书中的文字印刷非常清晰，没有丝毫的模糊或重影，即便是最小的符号，也辨识度极高。更让我惊喜的是，在许多关键定义和定理的旁边，都有一些小小的注释或者引言，这些内容虽然不是主干知识，但却能提供一些历史背景、应用场景或者作者的个人见解，这些“画龙点睛”式的补充，极大地丰富了阅读的层次感，让我不仅仅是在学习公式和定理，更是在与作者进行一场跨越时空的学术交流。在处理复杂的推导过程时，作者采用了非常精巧的排版方式，将每一个步骤都清晰地标示出来，并且用不同颜色的高亮来区分不同的变量或者关键操作，这种视觉上的引导，极大地降低了理解的难度。有时候，一本好书不仅仅是内容的传递，更是阅读体验的营造，而这本书在这方面做得淋漓尽致。我常常在下午阳光正好时，泡上一杯茶，翻开这本书，在柔和的灯光下，沉浸在数学的海洋里，那种感觉，就像是在享受一场宁静而充实的精神盛宴。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等微积分（上）》的书页质量，真的是我见过最好的图书之一。它采用的是一种略带米黄色的环保纸张，触感温润，而且对眼睛非常友好。我曾经试过在弱光环境下阅读，字迹依然非常清晰，没有反光的问题。更让我惊喜的是，书本的装订非常牢固，无论我如何用力翻阅，书脊都保持平整，书页也不会有任何松脱的迹象。我甚至觉得，这本书的寿命会比我的学习生涯还要长。在内容方面，我注意到作者在很多关键定理的证明后面，都附带了对该定理在实际应用中的一些简单介绍，虽然不深入，但足以让你感受到数学的魅力不仅仅在于抽象的逻辑，更在于它强大的实用性。我记得在讲解高斯散度定理的时候，作者就简要提到了它在流体力学中的应用，这一点让我对这个抽象的定理有了更直观的认识。这种将理论与应用相结合的教学方式，极大地激发了我学习的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，这本《高等微积分（上）》的装帧质量简直是业内标杆。我购买的是精装版本，封面采用的是布面材质，触感非常细腻，而且不容易留下指纹，即使经常翻阅，也能保持它的 pristine condition。书的整体重量适中，拿在手里有分量，但又不至于压手。打开书页，你会看到它采用了非常环保的纸张，没有刺鼻的化学气味，这一点对于注重健康环保的读者来说，是一个加分项。书中的插图和图表，尤其是那些涉及到空间几何的图形，线条流畅，色彩搭配得体，准确地传达了三维空间的直观感受，这对于理解多变量函数的性质至关重要。我最欣赏的是，在一些较为抽象的概念讲解后面，作者会精心设计一些“思考题”或者“拓展阅读”的建议，这些并不是考试题，而是旨在激发读者的好奇心和探索欲，引导大家去思考更深层次的问题。这种教学设计，让学习过程变得更加主动和有趣，而不是被动地接受知识。而且，书后的索引也非常详尽，可以帮助我快速定位到我需要的知识点，这一点在复习和查阅时非常便捷。