因数与倍数的理解(下)含详解(增订第二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　数学是【科学之母 】， 而数论更被尊为【数学之母】，数论亦包含因数与倍数，由此可知，因数与倍数在数学中的重要性，但学生已习惯四则运算的思考方式，进入高年级的因数与倍数多数学生常感到挫折，甚致放弃学习，编者特别设计系列专题引领学生深入学习。

　　本系列书籍分为〈因数和倍数的理解上、下册〉，加强基本观念，并教导许多解题的辨识法，另一册，〈因数和倍数问题专辑〉则深入各类题型，协助学生分析与理解。上列三本书籍为搭配学习最完整的组合。

特色

★ 教导高效率的解题方法，增进学生的思考与解题速度。
★ 配合生活性的应用问题，提高学生解决问题的能力。
★ 提供多样化题型练习，累积平时应考与答题能力。

适用指标

◎ 一般学生、资优学生。
◎ 训练逻辑、思考、解题能力。
◎课内、课外辅助教材。

《几何基础：从欧几里得到非欧几何的演进》 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的几何学知识体系，追溯其历史源流，剖析核心概念，并探讨其在现代数学与科学中的应用。全书结构严谨，内容涵盖从古希腊的欧氏几何奠基，到近代革命性的非欧几何的诞生，再到现代微分几何与拓扑学的宏伟图景。 第一部分：欧氏几何的辉煌与基石 本部分聚焦于公认的几何学权威——欧几里得几何，这是西方理性思维的典范之作。我们将从《几何原本》的诞生讲起，详细解读欧几里得是如何通过少数几个不证自明的公理（公设）和公理（公理），严密地推导出数以百计的定理。 第一章：公理体系的构建与逻辑基础 深入探讨欧几里得的五大公设，尤其是“平行公设”的特殊地位。我们将分析为什么这条公设在两千多年的时间里一直是数学家们试图证明或证伪的对象。此外，本章将详述演绎推理在几何学中的核心作用，理解“证明”的真正含义，以及如何构建一个自洽的几何理论体系。内容包括：点、线、面、角的基本定义，线段的度量，以及三角形全等判别法。 第二章：平面几何的深度探索 本章将超越初中或高中所学的平面几何知识，深入探讨更精妙的构造与性质。重点分析圆的性质，如切线性、割线性，以及圆周角定理的推广形式。此外，还将介绍一些重要的几何变换，如平移、旋转和反射，以及这些变换在保持图形不变性方面的作用。我们还会详细讲解圆的内接与外切多边形、弓形面积的精确计算方法，以及几何代数在处理平面图形关系时的优势。 第三章：立体几何的构建与空间想象力 立体几何部分将引导读者从二维平面跃升至三维空间。详细解析多面体（如正多面体——柏拉图立体）的结构、欧拉公式（$V-E+F=2$）的深刻内涵及其适用范围。棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体的体积与表面积的精确推导将作为核心内容。本章尤其注重培养读者的空间想象能力，通过大量的剖面图和三视图解析，帮助读者理解复杂空间图形之间的相互关系，例如异面直线之间的最短距离计算。 第二部分：几何学的危机与非欧几何的诞生 十七世纪以来，数学家们对欧几里得第五公设的执着探索，最终导致了数学史上一次伟大的革命。本部分详细记录了这一历史进程。 第四章：平行公设的百年之谜 本章梳理了从普罗克勒斯到加斯帕（Gauss）、罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和鲍耶伊（Bolyai）对平行公设的质疑与尝试。我们将分析早期“可疑”的替代公设，如“相交公设”和“多于一条平行线公设”。重点在于揭示为何这些替代公设在逻辑上与欧氏几何是等价的，直到非欧几何的系统性建立。 第五章：罗巴切夫斯基几何：双曲空间的开端 详细介绍罗巴切夫斯基几何（双曲几何）的公设体系，特别是“通过一点有无数条不过直线”的公设。我们将引入关键概念，如“理想点”、“渐近线”，并展示在双曲空间中三角形内角和总是小于180度的性质。本章将通过对罗巴切夫斯基三角学（如双曲正弦定理、双曲余弦定理）的介绍，展示非欧几何内部运算的自洽性。 第六章：黎曼几何：椭圆空间的建立 与双曲几何相对，黎曼几何（椭圆几何，或球面几何的推广）提供了曲率恒为正的几何模型。我们将讨论球面几何的基本特性，如任意两条“直线”（大圆）必相交，以及球面三角形内角和总是大于180度。本章会触及黎曼几何的更广泛意义，即在弯曲流形上定义长度、角度和测地线（最短路径）的概念，为广义相对论奠定基础。 第三部分：现代几何学的拓展与统一 几何学的边界在十九世纪中叶后被彻底打破，开始向更抽象的代数结构和拓扑属性发展。 第七章：射影几何与不变性原理 射影几何关注的是在透视变换下保持不变的几何性质。本章将介绍射影平面、对偶原理、调和共轭等核心概念。我们将探讨透视变换如何将欧氏几何中的平行性概念“消解”为一个普通的交点，从而在更高维度上统一处理直线和点之间的关系。 第八章：微分几何的诞生：曲率的度量 本章是连接几何与分析学的关键桥梁。我们将引入高斯对曲面的研究，特别是“第一基本形式”和“第二基本形式”，用以精确度量曲面的内在和外在曲率。重点讲解高斯绝妙的“奇异性定理”，即曲率可以在不依赖于嵌入空间的情况下被定义。这将带领读者接触到测地曲率、主曲率等现代几何工具。 第九章：拓扑学导论：几何的弹性 拓扑学被称为“橡皮泥几何学”，它研究的是在连续形变（拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。本章将介绍拓扑空间的定义、开集与闭集、连通性、紧致性等基本概念。我们将通过著名的“柯尼斯堡七桥问题”引出图论，并讲解莫比乌斯带、克莱因瓶等拓扑奇特的表面，展示拓扑学在研究几何物体本质属性上的强大能力。 第十章：几何学的交叉与应用 本章将总结几何学与其他学科的深度融合。讨论代数几何（使用代数方程描述几何对象）、微分拓扑学（研究光滑流形上的拓扑性质），以及黎曼几何在爱因斯坦广义相对论中的核心作用——引力被解释为时空自身的弯曲。最终，本书旨在展示几何学不仅是一门关于形状和空间的学科，更是一门关于结构、不变性和空间内在逻辑的根本科学。 本书的编写风格力求清晰严谨，数学推导详尽，辅以丰富的历史背景和几何直观图示，适合有扎实初等数学基础，并渴望全面掌握几何学思想演进历程的理工科学生、数学爱好者及研究人员阅读。

评分☆☆☆☆☆

終於等到這本《因數與倍數的理解(下) 含詳解(增訂第二版)》出版了！我之前就聽說這系列在國中數學補教界評價很不錯，這次的增訂版聽說是針對一些舊版可能比較模糊的地方做了更細緻的闡述，讓我非常期待。國中的數學，尤其是因數倍數這個觀念，真的很多學生一開始會覺得似懂非懂，等到後面學到LCM, GCD，甚至到國中的分數、小數的約分擴分，甚至是更進階的質因數分解，都會卡在最基礎的概念上。這本書標榜「理解」，而不是單純的解題技巧，這點非常吸引我。我個人認為，數學學習最怕的就是死記硬背公式，因為那樣一旦題目形式稍微變化，學生就容易慌了手腳。《因數與倍數的理解(下)》從書名就可以看得出來，它的重點是放在「理解」，這對我這種希望孩子能真正融會貫通數學知識的家長來說，絕對是加分項。我特別好奇它在「詳解」的部分，是不是真的能把每一個解題步驟背後的邏輯都說清楚，而不是簡單的「因為…所以…」，而是能讓學生知道「為什麼」要這樣做，進而培養出舉一反三的能力。台灣的孩子競爭激烈，能在國小階段就把這些基礎數學觀念打穩，對於未來的學習絕對是事半功倍，這本書看來是個很好的投資。

评分☆☆☆☆☆

這本《因數與倍數的理解(下) 含詳解(增訂第二版)》根本就是國中數學界的「救星」！我常聽到很多家長抱怨，國中的數學越來越難，孩子越學越挫折。尤其是在因數、倍數這個單元，很多學生都只是機械式地記憶，遇到題目稍微變化，就不知道該如何下手。這本書最吸引我的地方，就是它強調「理解」，而不是死記硬背。從書名就可以看得出來，它企圖讓學生真正弄懂這些數學概念的精髓。我尤其看重「含詳解」的部分，因為很多時候，學生的盲點就在於看不懂詳解的邏輯，或者詳解過於簡略。《因數與倍數的理解(下)》的詳解，聽說非常詳細，能夠一步步引導學生，讓他們自己找出問題的癥結點，並學會如何解決。這次的「增訂第二版」，更是聽說加入了一些新的內容，能夠幫助學生釐清更深入的觀念，這對我們這種希望能孩子學好數學的家長來說，絕對是天大的好消息。台灣的升學壓力眾所周知，能夠在這關鍵的國中階段，透過一本真正能幫助孩子「理解」數學的書，打下穩固的基礎，絕對是事半功倍。我對這本書寄予厚望，相信它能幫助我的孩子克服數學學習上的困難，甚至愛上數學。

评分☆☆☆☆☆

哇！這本《因數與倍數的理解(下) 含詳解(增訂第二版)》的內容，真的讓我嘆為觀止！我一直覺得，台灣的數學教育，尤其是在國中階段，有時候太過於追求「速度」，好像只要把考試範圍內的題目都做過幾遍，學生就能考高分。但這樣的學習方式，往往忽略了數學背後的邏輯和思考過程。我拿到這本書後，立刻翻閱了一下，它的編排方式就很有條理，從最基本、最容易被忽略的「什麼是因數？什麼是倍數？」開始，用很多生活化的例子來解釋，讓孩子不會覺得枯燥乏味。尤其是它在「增訂第二版」裡，聽說還加入了一些更深入的探討，像是質因數分解在LCM/GCD中的應用，還有一些觀念的澄清，這真的是造福了很多和我一樣，覺得孩子在數學上遇到瓶頸的家長。我最欣賞的是它強調「理解」，這代表這本書不是一本死板的參考書，而是希望培養孩子獨立思考的能力。當孩子真正理解了因數倍數的意義，那不管是LCM、GCD，還是後面的分數、小數，都會變得簡單許多。這本書的詳解部分，更是讓我眼前一亮，每一個步驟的說明都非常詳細，甚至會點出學生容易出錯的地方，並提供解說，這對我來說，等於是一個隨身的數學老師，讓我能更清楚地指導孩子。

评分☆☆☆☆☆

老實說，我對於市面上那麼多的數學參考書，一直抱持著一種「看一看，再決定」的態度，畢竟家裡的書櫃已經有點擁擠了。但是，《因數與倍數的理解(下) 含詳解(增訂第二版)》這本書，真的讓我印象深刻。我特別關注的，是它在「增訂第二版」這個標記。在台灣，許多教科書和參考書都會不斷地改版，但很多時候只是換個封面，或者微調一下題目。這次這本，聽說是針對「理解」的部分做了加強，而且還包含了「詳解」。這對我來說，非常重要。因為我的孩子，雖然在學校的成績還可以，但有時候問他數學問題，他總是說「老師是這樣教的」，卻說不出個所以然。這就表示，他可能只是記住了解題步驟，但並沒有真正理解背後的原理。而這本書，從書名就強調「理解」，這讓我對它寄予厚望。我翻了一下，它的內容編排很細膩，從最基礎的概念開始，逐步深入，而且還會用一些圖示或者比較法來輔助說明，這讓數學不再是冰冷的數字和符號，而是變得更生動有趣。最讓我感到安心的，是它的「詳解」部分，不像有些書那樣簡略，而是真的把每一步的思考過程都寫出來，讓孩子即使卡住了，也能自己找出問題所在，並學習如何解決。

评分☆☆☆☆☆

收到《因數與倍數的理解(下) 含詳解(增訂第二版)》這本書，我第一時間就迫不及待地翻閱。我一直認為，國中的數學，特別是像因數、倍數這類基礎觀念，如果沒有真正理解，後面的學習就會像蓋房子沒有打好地基一樣，隨時有崩塌的危險。市面上很多數學參考書，往往只注重解題技巧的傳授，但這本《因數與倍數的理解(下)》卻從書名就強調「理解」，這讓我非常看好。我特別注意到「含詳解」這幾個字，因為對於國中生來說，很多時候卡住的不是不會，而是看不懂詳解的邏輯，或者詳解的步驟跳躍太大。《因數與倍數的理解(下)》的詳解部分，聽說非常仔細，能夠解釋每一個步驟的緣由，這對於培養孩子的獨立思考能力非常有幫助。這次的「增訂第二版」，聽說還加強了一些比較容易混淆的概念，像是質因數分解在LCM/GCD中的應用，這真的是非常貼心。台灣的學生，尤其是在這個競爭激烈的升學環境下，能夠有一本真正幫助他們「理解」數學的書，而不是死記硬背的工具書，是非常難得的。我希望透過這本書，我的孩子能夠真正地愛上數學，而不是把它當成一種負擔。