擎天数学最低12级分的祕密：高二篇 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　这是一则流传在部分高中生间的传奇故事，唯有身历其境的入室弟子才能了解其中奥祕……

　　为什么区区一个小型的数学家教班，
　　多年来不靠广告传单，没有招生团队，
　　仍然班班额满、一位难求？

　　为什么数学能力原本平凡无奇的学生，
　　个个都能从擎天数学的培训中脱胎换骨，
　　变身千里良驹，高分考上理想校系？

　　为什么擎天数学敢为人所不敢为，
　　大胆提出学测数学最低12级分的保证？

　　看完本书，您将了解──
　　缔造学测最低12级分佳绩的擎天数学，原来，不仅仅是补教界传说中的神话，更是即将实践于你自身的真确事实！

　　学子们成绩大跃进，是擎天数学教学团队最大的初衷，假如同学因为《擎天数学最低12级分的祕密》掌握学习诀窍，夺得数学高分，在校遭同侪羡妒，我们谨在此致上最高的歉意与敬意！

作者简介

王擎天

　　教育界灯塔人物、两岸数学权威，台湾大学毕，台大研究所、美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学博士，现为台湾数学补教名师，亚洲八大名师之首。台湾地区99％的受教学生学测成绩超越12级分──本年擎天数学高三学子学测数学成积约有19％15级分，24％14级分，27％13级分，29％12级分──再创不可思议的传奇故事，其独到的教学与解题方式，更被学子喻为思考派神解！王博士对升学补习教育、青年学子辅导、个人生涯规划，多有精辟见解和实务经验，多次发表轰动两岸四地的「全人全脑教育」，引起学术界、教育界的专家学者与有识家长们争相研究。

　　王博士着作等身，知名畅销着作有：《塞德克巴莱：史实全记录》、《微积分，原来这么Easy！》、《擎天数学36计》、《这样想，数学就变简单了》、《玩科学！激升全脑8大潜能》、《玩出聪明左右脑》、《这样记忆最有效：超EZ强效记忆法》等。

杰哥

　　擎天数学团队台湾区教学首席、北大名师，生性刚毅木讷，中学时老师评语：「纯真善良，不擅言辞。」但高中时受教于王擎天博士，开启了潜能的封印，自此醉心于数学的桃花源，大学联考数学更以满分之姿，一举跃进专业研究数学的殿堂！从此致力于家教式专业辅导，凭借多年的教学经验，以丰富有趣且循序渐进的方式，博得学生喜爱，尤其碰到超级难题时，他不仅用SOP标准流程解答，更在「现在就是见证奇蹟的时刻！」以「神」的解法轻松拿分，因此被学子奉为擎天数学二代教主。（事实上，由沉默寡言变成舌粲莲花，本身就是一个奇蹟！）

　　杰哥的精彩着作有《魔法微积分》、《决战学科能力测验近五年历届试题数学考科》、《高中数学画龙点睛》、《全国着名高中学测模考实战王》、《全国着名高中月期考试题特搜》、《升大学学科测验得分焦点数学公式全》等。

探秘高等数学的殿堂：代数、几何与分析的交织 一卷卷关于数字与形体的探索，一段段对逻辑与严谨的求索。 本书并非聚焦于特定考试的分数线，而是致力于为那些渴望深入理解高等数学核心概念的读者，构建一座坚实的知识桥梁。我们相信，数学的魅力并非在于一个刻板的数字，而在于其内在的逻辑结构和解决复杂问题的能力。因此，本书将带你穿梭于代数、几何和分析的广袤领域，领略这些学科如何相互渗透、彼此印证。 第一部分：超越基础的代数结构 本篇将抛开初高中代数中对计算熟练度的过度强调，转而深入探讨抽象代数的基础概念及其在现代数学中的地位。 一、群论的初探与应用 我们将从集合与运算的定义出发，逐步引入群的公理化体系。这不是枯燥的定义堆砌，而是通过对对称群（如二面体群和置换群）的实例分析，来直观理解“运算的封闭性”、“单位元”、“逆元”以及“结合律”的深刻含义。我们会探讨群在密码学中的潜在应用，例如有限域上的运算，以及它如何为理解晶体结构和化学分子对称性提供数学工具。对于循环群、陪集与商群的讨论，将为后续的同态与同构映射打下坚实的理论基础。读者将学会如何运用群论的语言描述系统的不变性。 二、环与域：代数结构的深化 在群的基础上，我们引入第二个二元运算，构建环的结构。重点将放在交换环、整环以及域的概念区分。为什么整数环 $mathbb{Z}$ 拥有整环的性质，而模 $n$ 整数环 $mathbb{Z}_n$ 在 $n$ 不是素数时则不具备？我们将通过理想的概念，深入探究环的“子结构”，特别是主理想的构造。域的引入则聚焦于其在求解多项式方程时的优越性，为伽罗瓦理论的宏伟蓝图埋下伏笔，尽管我们不会深入到伽罗瓦理论的全部细节，但会展示域扩张的初步思想。 三、线性代数的本质：向量空间的几何化 线性代数是连接抽象代数与几何分析的关键。本书将严格定义向量空间，不再将重点仅仅放在矩阵运算上，而是强调向量空间是一组对象的集合，它们服从特定的加法和标量乘法规则。我们将深入探讨线性无关性、基和维数的概念，理解这些定义如何精确地量化了空间的“自由度”。 矩阵的本质将被揭示为线性变换的表示。特征值和特征向量的计算将从机械操作上升到几何意义的理解——它们代表了变换过程中方向不变的点。我们还将探讨谱定理（Symmetric Theorem）在实对称矩阵中的重要性，以及它如何保证了我们总能找到一组正交基来对角化这些矩阵，这在物理学和数据分析中至关重要。 第二部分：解析的严谨性与极限的艺术 本部分聚焦于微积分的严谨基础，强调分析学对于数学严谨性的贡献，以及极限概念如何统一了变化率和累积量的计算。 一、实数系的构造与拓扑基础 在深入探讨函数极限之前，我们必须先夯实实数系的基础。我们将简要回顾有理数的局限性，并引入无理数的必要性，探讨戴德金分割或柯西序列的构造方法，以建立一个完备的实数系统 $mathbb{R}$。随后，我们将引入 $mathbb{R}$ 上的基本拓扑概念：开集、闭集、邻域和聚点。理解这些“软性”的几何概念，是理解收敛性和连续性的关键。 二、序列与级数的收敛性判定 极限不再是直观的“越来越接近”，而是被 $epsilon-N$ 语言精确定义的工具。我们将系统地学习数列的收敛性判据，例如单调收敛定理和柯西收敛准则。对于无穷级数，本书将详细分析各类收敛判据：比值检验、根值检验、积分检验等。特别关注绝对收敛与条件收敛的区别，以及交错级数和黎曼重排定理揭示的惊人事实——只要改变有限个项的顺序，条件收敛级数的和可以变成任何实数。 三、函数连续性与可微性的深度解析 连续性的 $epsilon-delta$ 定义将被置于核心地位。我们将通过反例（如狄利克雷函数）来展示非连续函数的“病态”。在研究导数时，本书将超越简单求导公式的运用，转而关注导数的局部性质，特别是洛必达法则背后的极限原理。费马定理、罗尔定理、介值定理和中值定理将被系统地证明，展示它们作为微积分“基石”的不可替代性。 第三部分：多元微积分与空间几何的融合 当自变量不再局限于一个实数时，我们需要新的工具来描述变化和曲面。本篇将带领读者进入多维空间。 一、多变量函数的偏导数与梯度 偏导数的引入需要我们明确“保持其他变量不变”的含义。我们将重点解析梯度向量——它不仅指明了函数值增长最快的方向，其大小还与方向导数紧密相关。链式法则在多变量情况下的复杂形式将被系统地推导，并强调其在坐标变换中的应用。 二、多重积分与Fubini定理 定积分用于计算一维量（面积、长度），而二重积分和三重积分则用于计算二维和三维量（体积、质量、质心）。本书将详细讲解Fubini定理，该定理允许我们在特定条件下交换积分次序。我们将通过实例对比笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系和球坐标系下积分的计算，展示坐标系的选择对计算复杂度的巨大影响。 三、向量场与微积分基本定理的推广 本部分是对前述理论的集大成。我们将定义向量场，并引入线积分和面积分。格林公式、斯托克斯公式和散度定理（高斯公式）是本章的核心。这些定理本质上是将一维微积分基本定理推广到更高维度，它们揭示了在一个区域上的“源”或“旋度”如何与该区域的边界上的通量或环流量相关联。理解这些公式的几何意义，是掌握物理学中电磁场和流体力学等领域数学描述的关键。 总结与展望 本书不提供捷径，只铺设了一条通向数学核心思想的宽阔道路。读者在完成本书的学习后，将不仅掌握处理复杂计算的技巧，更重要的是，能够以一种严谨的、结构化的视角去审视数学问题，为未来在纯数学、应用数学或相关科学领域进行更深入的探究打下无可动摇的知识基础。数学的深度和广度远超任何单一的考试分数所能衡量的范围。

第一篇　擎天绝伦祕笈进阶招

第二篇　破解难题八绝学
第一绝　Try出答案
第二绝　解构思考
第三绝　图像解码
第四绝　万流归宗
第五绝　逻辑思维
第六绝　特殊化应用
第七绝　转化无敌
第八绝　变形巧技

第三篇　实战练功房  学测模拟密题
第一回　三角
第二回　直线与圆
第三回　平面向量
第四回　空间向量
第五回　空间中的平面与直线
第六回　矩阵
第七回　二次曲线
第八回　总复习

编者序

　　考前总复习、模拟测验甚至命题预测的工具，在市面上不断推陈出新，面对琳瑯满目的参考书籍，同学们该如何选择？

　　12级分在绝大多数的同学心中是个「目标」，甚至透过题海战术希望将数学这门学科推向12级分。但是，对于每一位擎天学子而言，12级分只是个门槛，也因为跨越了这个门槛，借由数学这门学科一举拉抬学测总成绩。而擎天数学究竟是如何化目标为门槛，缔造出最低12级分的佳绩？国际知名学者型教育家王擎天、擎天数学团队二代教主杰哥，首次揭开这祕密背后的祕密，难以置信的解题真相将在本系列丛书中一一展现，一举攻破各大题型防线，让你真正了解深层数学的涵义所在。博士的智慧，现在通通交到你手上，最多实用的解题技巧，由浅入深的破题祕诀，过去数学课老是叫你倒地投降，现在，就照着本书传授的思考窍门，由你主导一切！

　　机会只留给准备好的人，相信只要您掌握了这关键之钥，重新触发你的直觉、锻鍊你的敏锐，从此不再有所谓「新题型」的困扰，也不再有「背」不完的忧愁。即使面对多元的挑战，依旧可以傲笑考场，如鹤立鸡群般在竞争者中轻松脱颖而出！

作者序1

　　法国有位画家，正当他从事田园写生时，突然看见两条牛打架，他立刻抽出一张纸，只用了五分钟，就画成一幅生动的速写。旁边的牧童看见了十分羡慕，回家也执起笔来，但画了三天，画的仍然非驴非马，跑去问那位画家，到底是甚么缘故，画家笑着说：「孩子，虽然是几分钟，你可知道我毕生的工夫都放在这寥寥的几笔上呢！」

　　站在讲台上已数十载，点点滴滴累积出的数学洞悉力，是我宝贵的经验值。数学教育是一种思考训练，不只是告诉学生解题方法，更重要的是让学生提纲挈领地去追根究柢，循着有条不紊的途径去思考、去推理、去发展才智，胜于一味地偏重解题技巧地去出题、去抓题、去解题。有很多同学为了学好数学而苦恼，还有更多同学在数学学习上花了很多时间，却不得其门而入，原因何在？我想不外乎是读书方法不对，学习态度错误。有感于此，我希望为天下的莘莘学子在成长的路途铺上一地绿意，于是汇整教学经验之大成，举凡生活常态甚至考场常见的数学问题，将其「有理化」并集结成册。

　　小时候或许都在纸上或在游乐场中玩过「走迷宫」的游戏：起点走到终点往往要尝试许多错误并浪费许多时间，有时候还不一定走得到终点。不断摸索的同时，只能从错误中不断地改正而寻得正确的路线，此时若出现一位良师（书）益友，必能更轻易克服难关，快速达阵。期许本系列书也能扮演一个良伴，启迪每一位莘莘学子，进而能掌握数学全貌。

作者序2

　　还记得第一天来到擎天数学教育中心，我战战兢兢的坐在位置上，隔壁是师大附中的同学，我不禁担心起来，补习班同学那么强，老师的进度我能跟得上吗？这时，一句洪亮的问候声：「同学好！」把我的思绪拉到讲台上，原来这就是全方位思考的创始人「王擎天」。还没开始上课，王老师要大家先闭上眼，想像此刻是坐在学测的考场上，面临着人生关卡，王老师给同学们三种定心丸作选择：资质、机遇、环境，我毫不犹豫的选择机遇，毕竟，运气好遇到拿手题目，想考差都难。当大家作完选择后，王老师却只是微微笑地分析起本学期的课程纲要，那……我的定心丸呢？

　　时光飞逝，来到大考前夕，躺在床上的我突然回想起王老师的微笑，赫然发现我早已吞下三颗定心丸了！犹记当年王老师总是耳提面命：「相信你是什么样的人，你就是什么样的人，做什么样的事。」这段引用自拿破崙的名言，让我越来越相信自己是有天赋的，而对数学的潜力也就这么被王老师开发出来。王老师的破题方法总是令我惊艳，不知不觉中每个题目都成了我的拿手题，「机运」不过如此，稳扎稳打的工夫才是王道！这也让我越来越醉心于数学的练习，大考之前的整体复习规划强化我的战斗力，高三总复习班给我最强大的加持，试场模拟、试题演练、超高命中率的猜题，更让我一跃成为考场黑马，以数学满分的荣耀进入国立大学理想科系。

　　虽然荆棘路上遇到无数考验与挫折，但数学满分并非传奇，那些得分奥义与破题祕诀，早已深植我心。如今站在讲台上，当我挥洒华丽神解的同时，每位学生都被我慑服，当我点出错很大的解法时，你们流露出浅浅的一抹微笑，彷彿就是当年的我。而这些祕密中的祕密，将在本系列丛书中一一揭晓，期盼学子们早日吞下这属于你的定心丸，让满分的荣耀延续！

评分☆☆☆☆☆

读到《擎天数学最低12级分的祕密：高二篇》这个书名，我的脑海里立刻浮现出那些在数学竞赛或者高考中取得优异成绩的学长学姐们。作为一个高二的学生，我对数学成绩的提升有着强烈的渴望，尤其是在面对那些看似无解的难题时，我希望能有一种更有效、更科学的学习方法。这本书名中的“祕密”二字，恰好击中了我的痛点，让我觉得它可能藏着一些我 bisher (until now) 尚未接触到的学习“法宝”。我希望这本书能够提供一些切实可行、能够立竿见影的学习策略，帮助我快速掌握高二数学的核心知识点，并学会如何将这些知识灵活运用到解题中。我尤其希望能看到书中对一些常见数学误区的纠正，以及如何培养严谨的数学思维。如果书中能够包含一些能够激发学习兴趣的案例或者小故事，让我觉得数学不再枯燥乏味，而是充满智慧和乐趣，那我就更加期待了。

评分☆☆☆☆☆

看到《擎天数学最低12级分的祕密：高二篇》这个书名，我立刻觉得这本书好像是专门为我量身定做的。我的数学成绩虽然不算很差，但总是在一个 plateau (平台期)，想要再往上提升一步，感觉总是有一些阻碍。特别是到了高二，数学的难度又上了一个台阶，很多题目涉及的知识点和解题方法都更加复杂。我一直在寻找一本能够真正帮助我突破瓶颈的书。这本书名中的“12级分”让我眼前一亮，这绝对是一个令人兴奋的目标，而“祕密”则勾起了我强烈的好奇心，仿佛里面藏着一些不为人知的“绝招”。我希望这本书能够给我带来一些全新的视角和思路，让我能够更深入地理解数学的精髓，而不是仅仅停留在死记硬背公式和解题步骤上。我期待书中能有高质量的例题分析，能够教会我如何“审题”，如何“拆解”问题，以及如何“构建”解题思路。如果书中还能提供一些关于如何培养数学“直觉”的建议，那就太棒了。

评分☆☆☆☆☆

这本《擎天数学最低12级分的祕密：高二篇》的书名，说实话，第一次看到的时候就深深吸引了我。12级分，这个数字对于高中生来说，绝对是一个令人垂涎的目标，而“祕密”二字更是勾起了我的好奇心。我今年刚上高二，数学成绩一直在平均分上下徘徊，尤其是一些大题，总是抓不住得分点，白白丢了很多分。每次考完试，看着卷子上那些触目惊心的错题，再看看那些考满分的同学，心里那种羡慕和焦躁真是难以言喻。我一直想找到一种真正有效的方法，能够系统地提升我的数学能力，而不是像现在这样，东看看西看看，碎片化地学习。我希望这本书能够像一把钥匙，打开我数学学习中的那些“死结”，让我明白那些“高手”究竟是如何思考的，他们是如何快速准确地抓住题目核心的。我特别期待书中能有针对高二数学核心章节，比如解析几何、立体几何、概率统计等，给出一些非常实用的解题技巧和方法，而不是空泛的理论。如果书中能包含一些历年高考试题中，那些高分段学生是如何拿到满分的详细解析，那简直就是宝藏了。我更希望它能帮助我建立一种更科学、更高效的学习习惯，让我不再惧怕数学，而是能够真正地爱上它，甚至从中找到乐趣。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我被《擎天数学最低12级分的祕密：高二篇》这个名字狠狠地戳中了。我一直觉得数学是一门很有逻辑的学科，但有时候又感觉它像是一门需要“悟性”的学科。我的数学基础不算差，但就是离尖子生总差那么一点点，尤其是在一些拔高题和压轴题上，经常是看懂了别人的解法，自己却做不出来。我总觉得，那些高分学霸一定掌握了一些别人不知道的“套路”或者“捷径”。这本书的名字听起来就充满了这种“揭秘”的色彩，让我非常有兴趣。我希望书中能有一些深入浅出的讲解，能够把一些复杂的数学概念和解题思路，用非常直观易懂的方式呈现出来。而且，我特别关注书中的“祕密”部分，是不是真的有那种能够“点石成金”的解题技巧，能够在短时间内显著提升分数。我希望它不仅仅是一本讲题的书，更是一本能够帮助我培养数学思维方式的书。如果能有真实的高中生案例分析，分享他们是如何通过这本书实现数学成绩的飞跃，那我会更加信服。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在读高二的学生，数学对我来说一直是一道坎。每次数学考试，我都能拿到不错的平均分，但总是无法突破瓶颈，尤其是一些涉及复杂推理和计算的题目，常常让我头疼不已。当我在书店看到《擎天数学最低12级分的祕密：高二篇》这本书时，我立刻被它吸引了。12级分，这个目标对我来说既有挑战性又充满诱惑。我非常好奇，这本书究竟是如何帮助学生实现如此高的数学成就的。我希望它不仅仅是提供一些解题技巧，更重要的是能够深入剖析数学题目的本质，帮助我理解数学背后的逻辑和思想。我期待书中能够有系统性的学习方法指导，帮助我建立起坚实的数学基础，并逐步提升解题能力。特别是关于一些高难度的题目，我希望能看到详细的解题步骤和思路分析，让我能够举一反三，融会贯通。如果书中还能提供一些针对性练习题，并且附带详尽的解析，那就更完美了。