基礎線性代數(5版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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黃學亮

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现代代数与结构：从群论到环与域的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代代数基础，着重于代数结构的研究，而非仅仅停留在矩阵和向量空间的基础运算层面。 本书的视角更侧重于抽象化和结构的一致性，引导读者理解代数概念背后的深刻联系与内在逻辑。 --- 第一部分：群论基础与对称性 第一章 基础概念与代数结构 本章首先引入了代数结构的基本定义，包括集合、二元运算的性质（封闭性、结合律、单位元、逆元）。随后，我们正式定义了群 (Group)，并探讨其基本性质。我们将详细分析有限群的阶、子群的定义及其性质，特别是拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的证明与应用，该定理是有限群理论的基石。 第二章 同态、同构与循环群 本章的核心是理解结构之间的关系。我们引入了群同态 (Group Homomorphism) 和群同构 (Group Isomorphism) 的概念，阐释了它们在“结构保持”下的意义。重点讨论了循环群（Cyclic Groups）的结构及其重要性，证明了所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。随后，我们深入探讨了正规子群（Normal Subgroups）的定义，这是构建商群（Quotient Groups）的前提。 第三章 商群、同态定理与群的作用 本章构建了群论中至关重要的桥梁——第一同构定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms）。我们将详细阐述如何通过商群来分解复杂的群结构，理解内核（Kernel）和像（Image）的关系。在此基础上，我们引入群在集合上的作用 (Group Actions)，解释了对称性、刚体运动等现实问题如何用群作用来精确描述。我们将使用轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）来计算作用的结构，并介绍Cauchy定理和Sylow定理（初探），这些是分析有限群结构的强大工具。 第四章 结构理论：直接积与半直积 本章关注如何从更小的群构造更大的群。我们详细区分了直接积 (Direct Product) 和半直积 (Semi-Direct Product)，并探讨了它们在描述特定类型群（如二面体群 $D_n$ 和非阿贝尔群的例子）中的应用。通过这些构造，读者可以更清晰地理解复杂群的内部组织方式。 --- 第二部分：环论与域的构建 第五章 环的基础概念 本章将研究具有两种运算的代数结构——环 (Ring)。我们将从具有单位元的交换环开始，探讨加法群、乘法运算的性质。重点分析特殊的子结构，如子环和理想（Ideals）。理想的引入是为了类比群论中的正规子群，它是构建商环（Quotient Rings）的关键。 第六章 同态、同构与商环 与群论类似，本章将发展环论中的同态、同构和第一同构定理。我们将详细分析主理想（Principal Ideals）和主理想整环（Principal Ideal Domains, PID）。通过商环的构造，我们能够简化环的结构，例如 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 的结构分析。 第七章 整环、域与零因子 本章专注于更“良好”的环结构。我们定义了整环 (Integral Domain)，并探讨了零因子（Zero Divisors）的性质。随后，我们定义了域 (Field)，即在乘法上也是一个群的特殊环。我们将证明所有有限域都是域的幂，并探索构造有限域的必要性。域是伽罗瓦理论和线性代数中许多概念的自然背景。 第八章 理想的结构与唯一因子分解 本章深入研究理想的性质，引入了极大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals）的概念，并阐述它们与商环成为域或整环之间的深刻联系。最重要的是，我们将研究唯一因子分解整环 (Unique Factorization Domains, UFD)，例如多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是域），并探讨了如何判断一个环是否属于UFD。 --- 第三部分：多项式环与模论初步 第九章 多项式环与域的扩张 本章将焦点集中于多项式环 $F[x]$，其中 $F$ 是一个域。我们将利用多项式的带余除法来推导域的许多重要性质。本章将详细介绍如何使用 $F[x]$ 来构造新的、更大的域，即域扩张 (Field Extensions) 的初步概念，这是理解代数数论和伽罗瓦理论的必经之路。 第十章 模论的初步：向量空间的推广 为了连接现代代数与线性代数，本章引入了模 (Module) 的概念。模被视为在更一般的环（而非仅仅是域）上的向量空间。我们将探讨自由模、挠群模（Torsion-free modules）等概念。虽然深入的结构理论（如Smith Normal Form）在此不详述，但本章旨在提供一个清晰的框架，说明为什么线性代数中的许多结果依赖于系数环必须是域这一特定条件。我们将讨论当系数环是 $mathbb{Z}$ 时，自由模的性质与向量空间的相似与不同之处。 --- 本书特色： 本书强调通过具体的例子和结构图示来辅助抽象概念的理解。每一章后都附有大量的习题，旨在巩固理论的同时，训练读者进行严谨的代数证明。我们特别关注代数结构之间的“对偶性”和“统一性”，旨在为后续学习伽罗瓦理论、代数几何或拓扑学打下坚实的基础。本书的叙述风格力求清晰、精确，适合数学专业本科高年级学生或对抽象代数有浓厚兴趣的研究人员作为核心参考教材或自学读物。