基礎線性代數(5版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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黃學亮

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現代代數與結構：從群論到環與域的深度探索 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的現代代數基礎，著重於代數結構的研究，而非僅僅停留在矩陣和嚮量空間的基礎運算層麵。 本書的視角更側重於抽象化和結構的一緻性，引導讀者理解代數概念背後的深刻聯係與內在邏輯。 --- 第一部分：群論基礎與對稱性 第一章 基礎概念與代數結構 本章首先引入瞭代數結構的基本定義，包括集閤、二元運算的性質（封閉性、結閤律、單位元、逆元）。隨後，我們正式定義瞭群 (Group)，並探討其基本性質。我們將詳細分析有限群的階、子群的定義及其性質，特彆是拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的證明與應用，該定理是有限群理論的基石。 第二章 同態、同構與循環群 本章的核心是理解結構之間的關係。我們引入瞭群同態 (Group Homomorphism) 和群同構 (Group Isomorphism) 的概念，闡釋瞭它們在“結構保持”下的意義。重點討論瞭循環群（Cyclic Groups）的結構及其重要性，證明瞭所有循環群都同構於 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。隨後，我們深入探討瞭正規子群（Normal Subgroups）的定義，這是構建商群（Quotient Groups）的前提。 第三章 商群、同態定理與群的作用 本章構建瞭群論中至關重要的橋梁——第一同構定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms）。我們將詳細闡述如何通過商群來分解復雜的群結構，理解內核（Kernel）和像（Image）的關係。在此基礎上，我們引入群在集閤上的作用 (Group Actions)，解釋瞭對稱性、剛體運動等現實問題如何用群作用來精確描述。我們將使用軌道-穩定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）來計算作用的結構，並介紹Cauchy定理和Sylow定理（初探），這些是分析有限群結構的強大工具。 第四章 結構理論：直接積與半直積 本章關注如何從更小的群構造更大的群。我們詳細區分瞭直接積 (Direct Product) 和半直積 (Semi-Direct Product)，並探討瞭它們在描述特定類型群（如二麵體群 $D_n$ 和非阿貝爾群的例子）中的應用。通過這些構造，讀者可以更清晰地理解復雜群的內部組織方式。 --- 第二部分：環論與域的構建 第五章 環的基礎概念 本章將研究具有兩種運算的代數結構——環 (Ring)。我們將從具有單位元的交換環開始，探討加法群、乘法運算的性質。重點分析特殊的子結構，如子環和理想（Ideals）。理想的引入是為瞭類比群論中的正規子群，它是構建商環（Quotient Rings）的關鍵。 第六章 同態、同構與商環 與群論類似，本章將發展環論中的同態、同構和第一同構定理。我們將詳細分析主理想（Principal Ideals）和主理想整環（Principal Ideal Domains, PID）。通過商環的構造，我們能夠簡化環的結構，例如 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 的結構分析。 第七章 整環、域與零因子 本章專注於更“良好”的環結構。我們定義瞭整環 (Integral Domain)，並探討瞭零因子（Zero Divisors）的性質。隨後，我們定義瞭域 (Field)，即在乘法上也是一個群的特殊環。我們將證明所有有限域都是域的冪，並探索構造有限域的必要性。域是伽羅瓦理論和綫性代數中許多概念的自然背景。 第八章 理想的結構與唯一因子分解 本章深入研究理想的性質，引入瞭極大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals）的概念，並闡述它們與商環成為域或整環之間的深刻聯係。最重要的是，我們將研究唯一因子分解整環 (Unique Factorization Domains, UFD)，例如多項式環 $F[x]$（其中 $F$ 是域），並探討瞭如何判斷一個環是否屬於UFD。 --- 第三部分：多項式環與模論初步 第九章 多項式環與域的擴張 本章將焦點集中於多項式環 $F[x]$，其中 $F$ 是一個域。我們將利用多項式的帶餘除法來推導域的許多重要性質。本章將詳細介紹如何使用 $F[x]$ 來構造新的、更大的域，即域擴張 (Field Extensions) 的初步概念，這是理解代數數論和伽羅瓦理論的必經之路。 第十章 模論的初步：嚮量空間的推廣 為瞭連接現代代數與綫性代數，本章引入瞭模 (Module) 的概念。模被視為在更一般的環（而非僅僅是域）上的嚮量空間。我們將探討自由模、撓群模（Torsion-free modules）等概念。雖然深入的結構理論（如Smith Normal Form）在此不詳述，但本章旨在提供一個清晰的框架，說明為什麼綫性代數中的許多結果依賴於係數環必須是域這一特定條件。我們將討論當係數環是 $mathbb{Z}$ 時，自由模的性質與嚮量空間的相似與不同之處。 --- 本書特色： 本書強調通過具體的例子和結構圖示來輔助抽象概念的理解。每一章後都附有大量的習題，旨在鞏固理論的同時，訓練讀者進行嚴謹的代數證明。我們特彆關注代數結構之間的“對偶性”和“統一性”，旨在為後續學習伽羅瓦理論、代數幾何或拓撲學打下堅實的基礎。本書的敘述風格力求清晰、精確，適閤數學專業本科高年級學生或對抽象代數有濃厚興趣的研究人員作為核心參考教材或自學讀物。