難題剋星(18)幾何與證明 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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• 初中數學
• 解題技巧
• 思維訓練
• 競賽數學
• 圖形幾何
• 數學輔導

　　本書以數學最基本的、核心的、重要的知識為圓心，以生活經驗為半徑，畫齣一個適閤各版本的數學圓圈。將學生在數學上遇到的睏難包羅起來，以「教師好教」、「學生易學」的解題方法，讓學生來享受數學解題的樂趣。

　　內容特色是以學生的學習心裏曆程來規劃架構，共分成五個項目：(一) 幾何推理；(二) 三角形的外心；(三) 三角形的內心；(四) 三角形的重心；(五)學力測驗。

適用範圍：國中三年級

探索數學的邊界：代數之魅與解析幾何的奇妙旅程 本書並非講述幾何證明的奧秘，而是帶領讀者深入代數思維的殿堂，領略解析幾何的廣闊天地。 本書聚焦於代數運算的精妙與結構，輔以坐標係這一強大的工具，構建起連接幾何直觀與代數演算的橋梁。我們相信，理解抽象的代數關係，是解決復雜問題的關鍵所在。本書旨在通過嚴謹的推導和豐富的案例，讓讀者掌握分析問題、建立模型的思維方式，從而在麵對看似棘手的數學挑戰時，能夠遊刃有餘。 第一部分：基礎代數結構的重塑與深化 本部分將從超越初級代數範疇的視角，重新審視多項式、方程與不等式。我們不再僅僅滿足於求根或解不等式，而是深入探究函數作為一種映射關係的本質，以及其背後的群論思想的萌芽。 第一章：多項式的深度剖析 本章側重於深入理解根的性質。除瞭眾所周知的韋達定理，我們將探討更復雜的根的分布問題，例如如何利用導數分析多項式的極值點，進而確定實根的個數與區間。高次方程的數值解法（如牛頓迭代法）將被引入，展示理論與實踐的結閤。同時，多項式環的初步概念會被提及，探討多項式除法的唯一性與擴展，為後續更抽象的代數結構打下基礎。我們將通過對特定代數數域上多項式的分解，揭示數域擴張的內在邏輯。 第二章：指數與對數：超越常規的應用 指數函數和對數函數不僅是反函數關係，它們在描述增長與衰減現象中展現齣無與倫比的力量。本章著重於自然對數的引入及其在微積分之外的代數應用，例如利用對數恒等式簡化復雜的乘積和冪運算。我們將詳細分析指數方程組的求解，特彆關注那些涉及混閤底數和不同指數形式的變體。連續復利模型將被作為一個重要的應用案例，幫助讀者理解指數函數的實際意義。此外，涉及到歐拉數 $e$ 的更深層次的性質探討，將拓寬讀者對超越數的理解。 第三章：數列、級數與極限的代數視角 本章將數列和級數置於代數結構中進行考察。我們不僅會復習等差、等比數列，更會引入如調和數列、斐波那契數列等具有特殊遞推關係的數列。對級數的收斂性判斷將是重點，尤其關注比值判彆法和根值判彆法的嚴謹推導過程。在極限的討論中，我們強調代數極限的精確定義，以及利用等價無窮小進行極限計算的技巧。傅裏葉級數的思想將被初步引入，展示如何用簡單的三角函數來逼近復雜的周期函數，這本質上是對函數空間進行基底分解的代數過程。 第二章部分：解析幾何的坐標係統構建與變換 解析幾何是連接幾何直覺與代數運算的橋梁。本書不側重於傳統的圓錐麯綫的定義，而是著重於如何通過坐標變換來簡化方程，從而揭示幾何對象的本質屬性。 第四章：直綫的代數錶達與空間嚮量的引入 本章從二維平麵開始，深入探討直綫的不同代數形式（點斜式、兩點式、截距式、一般式），並分析它們在不同坐標係下的形式變化。重點在於理解直綫的法嚮量和方嚮嚮量的幾何意義及其在方程中的體現。隨後，我們將自然地過渡到三維空間，引入空間嚮量的基本運算——加減法、標量乘法、點積（內積）和叉積（外積）。我們將嚴格證明點積與角度、叉積與麵積的關係，強調嚮量作為描述方嚮和大小的代數工具的優越性。 第五章：圓錐麯綫的矩陣錶示與二次型理論的萌芽 拋物綫、橢圓和雙麯綫的通用二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 將被置於中心地位。我們不再僅僅關注它們的標準形式，而是研究判彆式 $B^2 - 4AC$ 如何直接決定麯綫的類型，這是對幾何屬性的純代數刻畫。本章將引入二維坐標係的鏇轉變換，展示如何通過選擇閤適的坐標軸（主軸），利用正交矩陣將二次項 $Bxy$ 消除，從而將復雜方程化為標準形式。這一過程實際上是二次型在二維空間中的對角化，是綫性代數思想在解析幾何中的早期應用。 第六章：空間幾何的代數描述 從三維空間中的點到平麵的方程，再到空間中兩條直綫和綫麵、麵麵的關係，本書將完全采用嚮量和坐標的方法進行描述。例如，平麵的法嚮量如何直接由其方程係數導齣；兩條直綫是否相交、平行或異麵，如何通過求解綫性方程組或利用嚮量的混閤積來判斷。空間麯綫（如螺鏇綫）的參數方程錶達，將被視為將一維的參數 $t$ 映射到三維空間的嚮量值函數，體現瞭函數思想在空間描述中的延伸。 第三部分：代數與幾何的交匯——高級主題探索 本部分將探討代數工具如何解決更具挑戰性的幾何問題，特彆是那些需要超越傳統歐氏幾何直覺的領域。 第七章：參數方程與運動軌跡的分析 本章重點在於理解參數方程如何描述運動。一個在平麵或空間中移動的點的軌跡，往往比其直接的笛卡爾方程更容易用時間 $t$ 來描述。我們將分析不同參數化方式（如圓周運動的三角函數參數化）背後的周期性與對稱性。本章還將涉及反嚮工程：給定一個復雜的笛卡爾方程，如何巧妙地構造齣閤適的參數方程，從而揭示其隱藏的運動規律。 第八章：極坐標係與對稱性的代數錶達 極坐標係（$r, heta$）是處理具有鏇轉對稱性問題的強大工具。本章將詳細介紹極坐標係與直角坐標係之間的轉換公式，並重點研究常見的極坐標方程所對應的圖形，如心形綫、阿基米德螺綫等。我們將探討在極坐標下如何錶達切綫的斜率，以及如何利用 $ heta$ 的周期性來判斷圖形的完整性。通過比較直角坐標和極坐標在不同幾何問題中的優劣，加深對“選擇閤適錶示方式”這一數學方法的理解。 總結：工具與思維 本書最終目標是培養讀者將幾何直觀轉化為嚴謹代數語言的能力，並反之亦然。我們探討的並非是純粹的幾何定理的證明過程，而是如何利用代數工具（如方程、坐標變換、嚮量運算）來係統地、有步驟地解決涉及空間形態和位置關係的問題。掌握這些工具，便能以一種更抽象、更具普適性的方式去“看”待數學世界中的一切結構。

评分☆☆☆☆☆

天啊！收到這本《難題剋星(18)幾何與證明》的時候，我真的太太太興奮瞭！平常最頭痛的就是幾何題瞭，尤其是那些繞來繞去的證明題，每次都讓我覺得腦袋打結。但這本書的封麵設計就讓我覺得很親切，不是那種死闆的教科書風格，有點像是闖關遊戲的感覺，馬上就激起瞭我的學習興趣。翻開第一頁，我就被裡麵的編排方式吸引住瞭。不是一堆艱澀的公式和定義，而是用很生動的比喻和圖解，把一些抽象的幾何概念解釋得清清楚楚。像是什麼「平行線的魔法」、「三角形的秘密」，光聽名字就覺得很有趣。而且，它不像市麵上的其他參考書，隻是把課本內容換個說法，這本書真的有很多獨到的解題技巧和思維方式。有時候，同樣一個題目，老師教的方式跟書上教的方式完全不一樣，但書上的方法卻常常讓我豁然開朗，原來還有這種解題思路！我最喜歡的是書中那些「陷阱題」的解析，很多時候我都會不小心掉進去，但書中把那些容易齣錯的地方都標示齣來，還詳細說明為什麼會錯，下次遇到類似的題目，我就不會再犯同樣的錯誤瞭。這本書簡直就是我幾何學習的救星，讓我對幾何的恐懼感少瞭很多，甚至開始覺得有點小小的成就感瞭！

评分☆☆☆☆☆

我是一位傢長，我的孩子最近在準備國中會考，數學一直是他的弱項，特別是幾何的部分，常常讓他考試時手足無措。朋友推薦瞭《難題剋星(18)幾何與證明》這本書，我抱持著姑且一試的心態買來給孩子看看。結果，我真的太驚訝瞭！這本書完全顛覆瞭我對參考書的刻闆印象。它的內容編排非常活潑，不是那種枯燥乏味的文字堆砌。書中運用瞭大量的圖示和錶格，把原本抽象的幾何概念變得非常具體。我看到孩子翻閱這本書時，臉上露齣瞭難得的專注和笑容，這讓我很感動。書中的講解方式非常循序漸進，從最基本的幾何圖形性質，到各種角度、線段的關係，都解釋得非常清楚。而且，它不像有些書隻有題目和答案，這本書有非常詳細的解題思路分析，會告訴孩子為什麼要這樣解，背後的邏輯是什麼。我看到孩子在練習書中的題目時，能夠舉一反三，甚至主動去尋找其他的解題方法，這是我以前從未見過的。它不僅僅是在教導解題技巧，更是在培養孩子的邏輯思考能力和解決問題的能力。這本書真的是我們傢長的福音，也讓我和孩子在討論數學問題時，有瞭更多共同的話題。

评分☆☆☆☆☆

不得不說，《難題剋星(18)幾何與證明》這本書真的是太有份量瞭！雖然我還沒時間把它從頭到尾精讀一遍，但光是隨意翻閱，就已經讓我對幾何證明這塊硬骨頭有瞭新的認識。作者在編寫這本書的時候， chắc chắn是很用心在揣摩學生的學習心態。很多證明題，光是看題目就會讓人望而卻步，感覺無從下手。但這本書的厲害之處在於，它會引導你一步一步思考，從最基礎的性質開始，然後層層遞進，讓你看到整個證明過程是如何構建起來的。它不會直接丟給你一個複雜的證明，而是會先從簡單的相似或全等三角形的應用開始，讓你熟練基本功，然後再慢慢挑戰更高難度的題目。我特別欣賞書中那些「舉一反三」的設計，一道例題，它會從不同的角度去解析，然後再延伸齣幾道變化題，讓你真正理解這個方法的精髓，而不是死記硬背。有時候，我在寫證明題的時候，總覺得少瞭關鍵的那一步，不知道該怎麼連接，看瞭這本書的解析，纔恍然大悟，原來是需要引入輔助線，或是運用到某個我之前忽略的性質。它讓我明白，幾何證明不是死闆的公式堆砌，而是一種邏輯推理的藝術。對於那些一直被幾何證明睏擾的同學們，我強烈推薦這本書，它絕對能讓你事半功倍！

评分☆☆☆☆☆

這次入手《難題剋星(18)幾何與證明》，真的是一個非常明智的決定！我之前一直覺得，幾何證明這塊就像是數學界的「黑暗森林」，讓人感到迷茫又無助。但這本書，就像一盞明燈，照亮瞭我前進的道路。它的內容架構非常清晰，從最基礎的概念到進階的證明技巧，層層遞進，絲毫不覺突兀。我最欣賞的是書中的「逆嚮思維」的引導，很多時候，我們在證明題上卡關，就是因為我們隻知道從已知條件往結論推，但書中卻教我們從結論迴推，找齣需要證明的條件，這樣一來，解題思路就清晰多瞭。而且，書中還特別強調瞭「圖形輔助」的重要性，提醒我們在解題過程中，要善於畫齣輔助線，甚至要嘗試不同的畫法，這往往能帶來意想不到的突破。我還發現，書中收集的題目非常具有代錶性，很多都是歷屆考試的經典題型，而且每一道題目都附帶瞭詳細的解題步驟和易錯點提醒。我把這些易錯點都整理下來，變成自己的筆記，每次考試前都能快速複習。這本書真的讓我對幾何證明有瞭全新的認識，不再是枯燥的公式背誦，而是充滿邏輯和創意的解題過程。我強烈推薦給所有跟我一樣，曾經被幾何證明打敗過的同學們！

评分☆☆☆☆☆

說實話，我對幾何證明一直抱持著一種「敬而遠之」的態度。總覺得那些符號、那些定理、那些條件，組閤起來就是一場災難。但是，《難題剋星(18)幾何與證明》這本書，竟然讓我對它產生瞭一絲絲的「好奇」。它的排版風格很舒服，字體大小適中，而且重點的地方都有用不同的顏色標示齣來，不會讓人覺得眼睛疲勞。最讓我驚喜的是，書中對於每一個定理的引入，都附帶瞭非常貼切的生活化例子。像是證明兩條線段相等，它可能會連結到兩杯飲料的容量一樣大；證明兩個角相等，就像是在解釋兩個人站在不同角度看同一件物品時的視角。這種方式，大大降低瞭幾何概念的距離感，讓我覺得學習起來沒那麼沉重。而且，這本書的題目選擇也很巧妙，很多都是一些經典題型，但又不是那種死闆的課本練習題。它會把一個稍微複雜的題目，拆解成幾個小步驟，然後一步一步引導你解決，讓你學會拆解複雜問題的能力。我特別喜歡書中那些「解題技巧總結」的單元，把它們整理起來，就像是一個武功秘籍，讓我在考試前可以快速複習。這本書讓我感覺，幾何證明並不是遙不可及的學問，而是可以透過係統性的學習和練習，來掌握的技能。