难题克星(18)几何与证明 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　本书以数学最基本的、核心的、重要的知识为圆心，以生活经验为半径，画出一个适合各版本的数学圆圈。将学生在数学上遇到的困难包罗起来，以「教师好教」、「学生易学」的解题方法，让学生来享受数学解题的乐趣。

　　内容特色是以学生的学习心里历程来规划架构，共分成五个项目：(一) 几何推理；(二) 三角形的外心；(三) 三角形的内心；(四) 三角形的重心；(五)学力测验。

适用范围：国中三年级

探索数学的边界：代数之魅与解析几何的奇妙旅程 本书并非讲述几何证明的奥秘，而是带领读者深入代数思维的殿堂，领略解析几何的广阔天地。 本书聚焦于代数运算的精妙与结构，辅以坐标系这一强大的工具，构建起连接几何直观与代数演算的桥梁。我们相信，理解抽象的代数关系，是解决复杂问题的关键所在。本书旨在通过严谨的推导和丰富的案例，让读者掌握分析问题、建立模型的思维方式，从而在面对看似棘手的数学挑战时，能够游刃有余。 第一部分：基础代数结构的重塑与深化 本部分将从超越初级代数范畴的视角，重新审视多项式、方程与不等式。我们不再仅仅满足于求根或解不等式，而是深入探究函数作为一种映射关系的本质，以及其背后的群论思想的萌芽。 第一章：多项式的深度剖析 本章侧重于深入理解根的性质。除了众所周知的韦达定理，我们将探讨更复杂的根的分布问题，例如如何利用导数分析多项式的极值点，进而确定实根的个数与区间。高次方程的数值解法（如牛顿迭代法）将被引入，展示理论与实践的结合。同时，多项式环的初步概念会被提及，探讨多项式除法的唯一性与扩展，为后续更抽象的代数结构打下基础。我们将通过对特定代数数域上多项式的分解，揭示数域扩张的内在逻辑。 第二章：指数与对数：超越常规的应用 指数函数和对数函数不仅是反函数关系，它们在描述增长与衰减现象中展现出无与伦比的力量。本章着重于自然对数的引入及其在微积分之外的代数应用，例如利用对数恒等式简化复杂的乘积和幂运算。我们将详细分析指数方程组的求解，特别关注那些涉及混合底数和不同指数形式的变体。连续复利模型将被作为一个重要的应用案例，帮助读者理解指数函数的实际意义。此外，涉及到欧拉数 $e$ 的更深层次的性质探讨，将拓宽读者对超越数的理解。 第三章：数列、级数与极限的代数视角 本章将数列和级数置于代数结构中进行考察。我们不仅会复习等差、等比数列，更会引入如调和数列、斐波那契数列等具有特殊递推关系的数列。对级数的收敛性判断将是重点，尤其关注比值判别法和根值判别法的严谨推导过程。在极限的讨论中，我们强调代数极限的精确定义，以及利用等价无穷小进行极限计算的技巧。傅里叶级数的思想将被初步引入，展示如何用简单的三角函数来逼近复杂的周期函数，这本质上是对函数空间进行基底分解的代数过程。 第二章部分：解析几何的坐标系统构建与变换 解析几何是连接几何直觉与代数运算的桥梁。本书不侧重于传统的圆锥曲线的定义，而是着重于如何通过坐标变换来简化方程，从而揭示几何对象的本质属性。 第四章：直线的代数表达与空间向量的引入 本章从二维平面开始，深入探讨直线的不同代数形式（点斜式、两点式、截距式、一般式），并分析它们在不同坐标系下的形式变化。重点在于理解直线的法向量和方向向量的几何意义及其在方程中的体现。随后，我们将自然地过渡到三维空间，引入空间向量的基本运算——加减法、标量乘法、点积（内积）和叉积（外积）。我们将严格证明点积与角度、叉积与面积的关系，强调向量作为描述方向和大小的代数工具的优越性。 第五章：圆锥曲线的矩阵表示与二次型理论的萌芽 抛物线、椭圆和双曲线的通用二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 将被置于中心地位。我们不再仅仅关注它们的标准形式，而是研究判别式 $B^2 - 4AC$ 如何直接决定曲线的类型，这是对几何属性的纯代数刻画。本章将引入二维坐标系的旋转变换，展示如何通过选择合适的坐标轴（主轴），利用正交矩阵将二次项 $Bxy$ 消除，从而将复杂方程化为标准形式。这一过程实际上是二次型在二维空间中的对角化，是线性代数思想在解析几何中的早期应用。 第六章：空间几何的代数描述 从三维空间中的点到平面的方程，再到空间中两条直线和线面、面面的关系，本书将完全采用向量和坐标的方法进行描述。例如，平面的法向量如何直接由其方程系数导出；两条直线是否相交、平行或异面，如何通过求解线性方程组或利用向量的混合积来判断。空间曲线（如螺旋线）的参数方程表达，将被视为将一维的参数 $t$ 映射到三维空间的向量值函数，体现了函数思想在空间描述中的延伸。 第三部分：代数与几何的交汇——高级主题探索 本部分将探讨代数工具如何解决更具挑战性的几何问题，特别是那些需要超越传统欧氏几何直觉的领域。 第七章：参数方程与运动轨迹的分析 本章重点在于理解参数方程如何描述运动。一个在平面或空间中移动的点的轨迹，往往比其直接的笛卡尔方程更容易用时间 $t$ 来描述。我们将分析不同参数化方式（如圆周运动的三角函数参数化）背后的周期性与对称性。本章还将涉及反向工程：给定一个复杂的笛卡尔方程，如何巧妙地构造出合适的参数方程，从而揭示其隐藏的运动规律。 第八章：极坐标系与对称性的代数表达 极坐标系（$r, heta$）是处理具有旋转对称性问题的强大工具。本章将详细介绍极坐标系与直角坐标系之间的转换公式，并重点研究常见的极坐标方程所对应的图形，如心形线、阿基米德螺线等。我们将探讨在极坐标下如何表达切线的斜率，以及如何利用 $ heta$ 的周期性来判断图形的完整性。通过比较直角坐标和极坐标在不同几何问题中的优劣，加深对“选择合适表示方式”这一数学方法的理解。 总结：工具与思维 本书最终目标是培养读者将几何直观转化为严谨代数语言的能力，并反之亦然。我们探讨的并非是纯粹的几何定理的证明过程，而是如何利用代数工具（如方程、坐标变换、向量运算）来系统地、有步骤地解决涉及空间形态和位置关系的问题。掌握这些工具，便能以一种更抽象、更具普适性的方式去“看”待数学世界中的一切结构。

评分☆☆☆☆☆

不得不說，《难题克星(18)几何与证明》這本書真的是太有份量了！雖然我還沒時間把它從頭到尾精讀一遍，但光是隨意翻閱，就已經讓我對幾何證明這塊硬骨頭有了新的認識。作者在編寫這本書的時候， chắc chắn是很用心在揣摩學生的學習心態。很多證明題，光是看題目就會讓人望而卻步，感覺無從下手。但這本書的厲害之處在於，它會引導你一步一步思考，從最基礎的性質開始，然後層層遞進，讓你看到整個證明過程是如何構建起來的。它不會直接丟給你一個複雜的證明，而是會先從簡單的相似或全等三角形的應用開始，讓你熟練基本功，然後再慢慢挑戰更高難度的題目。我特別欣賞書中那些「舉一反三」的設計，一道例題，它會從不同的角度去解析，然後再延伸出幾道變化題，讓你真正理解這個方法的精髓，而不是死記硬背。有時候，我在寫證明題的時候，總覺得少了關鍵的那一步，不知道該怎麼連接，看了這本書的解析，才恍然大悟，原來是需要引入輔助線，或是運用到某個我之前忽略的性質。它讓我明白，幾何證明不是死板的公式堆砌，而是一種邏輯推理的藝術。對於那些一直被幾何證明困擾的同學們，我強烈推薦這本書，它絕對能讓你事半功倍！

评分☆☆☆☆☆

我是一位家長，我的孩子最近在準備國中會考，數學一直是他的弱項，特別是幾何的部分，常常讓他考試時手足無措。朋友推薦了《难题克星(18)几何与证明》這本書，我抱持著姑且一試的心態買來給孩子看看。結果，我真的太驚訝了！這本書完全顛覆了我對參考書的刻板印象。它的內容編排非常活潑，不是那種枯燥乏味的文字堆砌。書中運用了大量的圖示和表格，把原本抽象的幾何概念變得非常具體。我看到孩子翻閱這本書時，臉上露出了難得的專注和笑容，這讓我很感動。書中的講解方式非常循序漸進，從最基本的幾何圖形性質，到各種角度、線段的關係，都解釋得非常清楚。而且，它不像有些書只有題目和答案，這本書有非常詳細的解題思路分析，會告訴孩子為什麼要這樣解，背後的邏輯是什麼。我看到孩子在練習書中的題目時，能夠舉一反三，甚至主動去尋找其他的解題方法，這是我以前從未見過的。它不僅僅是在教導解題技巧，更是在培養孩子的邏輯思考能力和解決問題的能力。這本書真的是我們家長的福音，也讓我和孩子在討論數學問題時，有了更多共同的話題。

评分☆☆☆☆☆

這次入手《难题克星(18)几何与证明》，真的是一個非常明智的決定！我之前一直覺得，幾何證明這塊就像是數學界的「黑暗森林」，讓人感到迷茫又無助。但這本書，就像一盞明燈，照亮了我前進的道路。它的內容架構非常清晰，從最基礎的概念到進階的證明技巧，層層遞進，絲毫不覺突兀。我最欣賞的是書中的「逆向思維」的引導，很多時候，我們在證明題上卡關，就是因為我們只知道從已知條件往結論推，但書中卻教我們從結論回推，找出需要證明的條件，這樣一來，解題思路就清晰多了。而且，書中還特別強調了「圖形輔助」的重要性，提醒我們在解題過程中，要善於畫出輔助線，甚至要嘗試不同的畫法，這往往能帶來意想不到的突破。我還發現，書中收集的題目非常具有代表性，很多都是歷屆考試的經典題型，而且每一道題目都附帶了詳細的解題步驟和易錯點提醒。我把這些易錯點都整理下來，變成自己的筆記，每次考試前都能快速複習。這本書真的讓我對幾何證明有了全新的認識，不再是枯燥的公式背誦，而是充滿邏輯和創意的解題過程。我強烈推薦給所有跟我一樣，曾經被幾何證明打敗過的同學們！

评分☆☆☆☆☆

天啊！收到這本《难题克星(18)几何与证明》的時候，我真的太太太興奮了！平常最頭痛的就是幾何題了，尤其是那些繞來繞去的證明題，每次都讓我覺得腦袋打結。但這本書的封面設計就讓我覺得很親切，不是那種死板的教科書風格，有點像是闖關遊戲的感覺，馬上就激起了我的學習興趣。翻開第一頁，我就被裡面的編排方式吸引住了。不是一堆艱澀的公式和定義，而是用很生動的比喻和圖解，把一些抽象的幾何概念解釋得清清楚楚。像是什麼「平行線的魔法」、「三角形的秘密」，光聽名字就覺得很有趣。而且，它不像市面上的其他參考書，只是把課本內容換個說法，這本書真的有很多獨到的解題技巧和思維方式。有時候，同樣一個題目，老師教的方式跟書上教的方式完全不一樣，但書上的方法卻常常讓我豁然開朗，原來還有這種解題思路！我最喜歡的是書中那些「陷阱題」的解析，很多時候我都會不小心掉進去，但書中把那些容易出錯的地方都標示出來，還詳細說明為什麼會錯，下次遇到類似的題目，我就不會再犯同樣的錯誤了。這本書簡直就是我幾何學習的救星，讓我對幾何的恐懼感少了很多，甚至開始覺得有點小小的成就感了！

评分☆☆☆☆☆

說實話，我對幾何證明一直抱持著一種「敬而遠之」的態度。總覺得那些符號、那些定理、那些條件，組合起來就是一場災難。但是，《难题克星(18)几何与证明》這本書，竟然讓我對它產生了一絲絲的「好奇」。它的排版風格很舒服，字體大小適中，而且重點的地方都有用不同的顏色標示出來，不會讓人覺得眼睛疲勞。最讓我驚喜的是，書中對於每一個定理的引入，都附帶了非常貼切的生活化例子。像是證明兩條線段相等，它可能會連結到兩杯飲料的容量一樣大；證明兩個角相等，就像是在解釋兩個人站在不同角度看同一件物品時的視角。這種方式，大大降低了幾何概念的距離感，讓我覺得學習起來沒那麼沉重。而且，這本書的題目選擇也很巧妙，很多都是一些經典題型，但又不是那種死板的課本練習題。它會把一個稍微複雜的題目，拆解成幾個小步驟，然後一步一步引導你解決，讓你學會拆解複雜問題的能力。我特別喜歡書中那些「解題技巧總結」的單元，把它們整理起來，就像是一個武功秘籍，讓我在考試前可以快速複習。這本書讓我感覺，幾何證明並不是遙不可及的學問，而是可以透過系統性的學習和練習，來掌握的技能。