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劉明昌

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《线性代数导论：理论与应用》 作者： 张伟，李明 出版社： 科学出版社 版次： 第三版 页数： 约 580 页 开本： 16 开 --- 内容简介 《线性代数导论：理论与应用》（第三版）是一本全面、深入且注重实践的线性代数教材，旨在为理工科、经济管理类以及计算机科学专业的学生提供坚实的数学基础。本书在继承前两版优点的基础上，吸收了近年来教学和科研领域的新进展，对内容结构进行了优化，特别加强了理论的严谨性与实际应用之间的联系。 本书的特点概括如下： 1. 理论体系的完整性与严谨性： 全书严格按照现代数学的逻辑体系构建，从最基本的向量空间概念出发，层层递进，清晰地阐述了线性代数的核心理论，包括线性方程组的解法、矩阵代数、行列式、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、内积空间等。我们力求在证明的严密性与教学的易理解性之间找到最佳平衡点。 2. 应用导向的深度挖掘： 线性代数是现代科学和工程的“语言”。本书不仅教授“如何计算”，更注重解释“为什么这么做”以及“能用来做什么”。第三版大幅拓展了应用章节，涵盖了数值分析中的矩阵分解（如LU分解、QR分解）、优化问题中的梯度下降法基础、以及数据科学中的主成分分析（PCA）的直观几何解释。 3. 计算工具的有机融合： 认识到现代数学学习离不开计算软件的辅助，本书将MATLAB/Octave和Python (NumPy库) 的基本操作和常用指令有机地融入到习题和例题的讲解中。在特定章节，提供了如何利用这些工具来验证理论结果或解决复杂问题的指导，使学生能够平滑过渡到实际工程计算。 4. 清晰的几何直觉培养： 线性代数的核心魅力在于其几何直观性。本书在讲解抽象概念时，大量使用二维和三维空间的几何图像辅助理解，特别是对子空间、投影、正交性、线性变换的几何意义进行了细致的描绘，帮助读者建立强大的空间想象能力。 --- 章节细述 第一部分：基础与工具 第 1 章：线性方程组与矩阵 本章是全书的起点，详细介绍了线性方程组的几何意义、高斯消元法及其背后的行简化理论。重点讨论了矩阵的定义、矩阵运算（加法、乘法、转置）的性质，并引入了初等矩阵的概念，为后续的矩阵可逆性分析奠定基础。新增内容包括对大型稀疏矩阵运算效率的初步讨论。 第 2 章：行列式 系统阐述了行列式的代数定义、莱布尼茨公式，以及基于行（列）运算的计算方法。深入分析了行列式的几何意义——它代表了线性变换引起的体积（面积）的缩放因子。本章最后通过克拉默法则展示了行列式在求解小规模方程组中的应用。 第二部分：核心抽象结构 第 3 章：向量空间 这是本书理论深度的核心体现。从基础的向量加法和数乘出发，严格定义了线性组合、线性无关性、基（Basis）和维数（Dimension）。详细讨论了四种基本子空间（列空间、零空间、行空间、左零空间）之间的关系及其维数定理（秩-零化度定理）。 第 4 章：线性变换 将矩阵视为线性变换的“语言”进行重新解读。定义了线性变换的核（Kernel）和像（Image），并证明了其与子空间的关系。重点阐述了矩阵的相似性概念，即在不同基下对同一个线性变换的表示变化。本章新增了如何使用矩阵分解来理解变换的复合效应。 第 5 章：对角化与特征值问题 特征值和特征向量是理解动态系统和稳定性的关键。本章详细介绍了特征值的计算方法，并引入了对角化（Diagonalization）的概念和充要条件。探讨了矩阵函数（如矩阵指数）的计算，为微分方程和迭代过程分析做准备。 第三部分：几何与正交性 第 6 章：内积空间与正交性 引入了内积的概念，推广了欧几里得空间中的长度和角度概念。重点讲解了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，并由此推导出正交投影定理。本章为傅里叶分析和最小二乘法奠定了理论基础。 第 7 章：对称矩阵与正交矩阵 对称矩阵在线性代数中具有特殊的地位。本章证明了实对称矩阵的谱定理，即它们总能被正交对角化。详细介绍了正交矩阵的性质及其在旋转和刚体运动中的应用。 第四部分：应用与扩展 第 8 章：奇异值分解（SVD）与最小二乘法 SVD被誉为线性代数的“瑞士军刀”。本章首次引入了奇异值、左奇异向量和右奇异向量的概念，并推导了矩阵的SVD分解。随后，利用SVD和正交投影，系统地解决了线性最小二乘问题的精确解法，这在数据拟合和误差分析中至关重要。 第 9 章：二次型与正定性 讨论了二次型的矩阵表示，以及如何通过正交变换将二次型化为对角形式。深入探讨了正定矩阵的定义、判定方法及其在优化问题（如二阶条件）中的作用。 第 10 章：计算方法简介 本章面向工程实践，简要介绍了数值稳定性的基本概念。详细讨论了LU分解的实际操作和限制，以及QR分解在求解最小二乘问题中的优越性。辅以计算示例，展示了如何使用数值方法处理大规模、病态的系统。 --- 适用对象 本书适合作为高等院校理工科（数学、物理、化学、电子信息、机械工程等）本科生两年制线性代数课程的教材或参考书。同时，由于其对抽象概念的清晰阐释和对应用案例的丰富，也适合经济学、金融工程、计算机科学（机器学习、计算机图形学）领域对线性代数有深入需求的自学者和研究生。 学习目标 完成本书的学习后，读者将能够： 1. 熟练掌握线性方程组的数值求解与理论分析方法。 2. 深刻理解向量空间、线性变换等抽象概念的几何内涵。 3. 掌握特征值分解和奇异值分解（SVD）的计算和应用。 4. 能够利用最小二乘法解决超定系统中的实际问题。 5. 具备运用矩阵工具分析工程和科学问题的基本能力。

评分☆☆☆☆☆

這本《微積分(第二版)》我從大一用到大三，簡直是陪我度過無數個不眠之夜的戰友。說真的，當初選課的時候，大家都說微積分是大學裡的「死線」，看著厚厚一本書，心裡其實是忐忑不安的。不過，翻開內頁後，我發現作者的編排真的很用心。他們不像有些教科書那樣，把公式直接丟給你，然後叫你自己去消化。這本書的敘述方式，比較像是老師在課堂上，一步一步帶你走過那些抽象的概念。 舉例來說，光是極限的定義，書裡就用了好幾種不同的方式去解釋，從直觀的圖形理解，到後面嚴謹的 $epsilon-delta$ 定義，層次分明。尤其對我這種數學底子沒那麼好的學生來說，這種循序漸進的引導非常重要。而且，書裡還穿插了很多「想想看」或「應用範例」，這些設計讓我能夠在學習理論的同時，意識到這些數學工具在現實世界裡到底能派上什麼用場。像是用微分去分析成本曲線的變化，或是用積分去計算不規則形狀的面積，這些都讓我覺得，原來微積分不是只有解題，它其實是一套強大的分析工具。這本書的排版雖然傳統了點，但內容的紮實度絕對沒話說，是那種可以讓你真正理解「為什麼」而不是只會「怎麼做」的好書。我記得有幾次期中考前抱著它K書到快天亮，它從來沒有讓我失望過。

评分☆☆☆☆☆

以我多年來的觀察來看，台灣很多微積分課程，教學進度都緊盯著這一本《微積分(第二版)》的章節安排。這代表了什麼？這代表它的內容編排，已經通過了時間和無數教學現場的檢驗，是最符合台灣高等教育體系胃口的。我記得大二上學期修高等代數時，教授還特別提到，微積分的觀念釐清，最好還是要回頭看我們大一時用的那本微積分。 這本書的「通用性」是它最大的優勢。無論你是被分到哪位教授門下，課程進度多快多慢，這本書都能提供一個標準的參照系。特別是它對三角函數、指數、對數的預備知識回顧，雖然簡短，但卻點出了那些在微積分計算中最容易被忽略的基礎錯誤點。舉例來說，它提醒大家 $ln(a+b) eq ln a + ln b$ 這種小細節，但偏偏在計算極限時，很多人就栽在這裡。這種「防呆」設計，讓我對這本教科書的編者充滿敬意。它不是為了炫耀用了多難的數學術語，而是真正以學生的角度出發，設計出一套能夠幫助多數人成功跨越微積分門檻的最佳路徑。它或許不是最「新潮」的選擇，但絕對是經過市場淬鍊、最「耐用」的工具書。

评分☆☆☆☆☆

我得說，這本《微積分(第二版)》的優點，絕對在於它對「基礎概念」的打磨上，簡直到了吹毛求疵的地步。對於想往理工領域深造的同學來說，穩固的基礎比什麼都重要，這本書在這方面做得非常到位。我個人特別欣賞它在處理那些容易讓人混淆的細節時所展現出的細膩度。像是反導函數的計算，光是換元積分法（U-Substitution）這個章節，它就列出了至少五種常見的陷阱與對應的解法，而且每種解法後面都有清晰的推導過程。這不是那種只會丟一堆例題讓你亂猜的參考書能比擬的。 而且，你們有沒有發現，很多微積分課本在講到積分的應用時，往往會跳過一些關鍵的物理意義？這本書厲害的地方在於，它在講解定積分時，會特別拉出來講述「黎曼和（Riemann Sums）」的直觀意義，然後才連接到極限的應用。這個過程非常嚴謹，讓我每次在做複雜的面積或體積計算時，都能夠回溯到最原始的定義，確保自己沒有誤解。雖然它的封面設計可能有點老氣，不像現在坊間那些彩色印刷、圖文並茂的教材來得吸引眼球，但內容的深度和廣度，絕對是教科書等級的典範。我甚至建議，就算你修了別本課本的課，這本也值得當作輔助教材，拿來釐清那些模稜兩可的觀念。

评分☆☆☆☆☆

老實講，如果是指望這本《微積分(第二版)》能讓你輕鬆「過關斬將」的話，那可能要失望了。這本書的難度，絕對是偏高的，它毫不避諱地將許多高等微積分的概念邊界也稍微碰觸了一下，讓讀者在學習基礎的同時，也能感受到未來挑戰的難度。它就像一位要求嚴格的教授，不會給你標準答案，而是逼著你去思考問題背後的數學邏輯。 我記得當初在算「瑕積分」（Improper Integrals）的時候，書上的例題常常會設計得非常刁鑽，要求你判斷收斂與發散的邊界條件。如果只是死記公式，絕對是寫不出來的。這本書的習題設計，精髓就在於「區分性」。它不會讓你把所有題目都用同一套SOP解完，而是針對不同類型的問題，要求你靈活地切換思考模式。例如，在級數的部分，它對泰勒展開式（Taylor Series）的討論就非常深入，不僅僅是公式的背誦，還包含了餘項的估算，這在期末考時常是拿高分的關鍵點。如果你是那種喜歡挑戰自己極限、不滿足於「會算就好」的理工魂，那麼這本書的「硬度」會讓你覺得非常過癮，但相對地，心臟不夠強的同學可能要多花點時間啃了。

评分☆☆☆☆☆

這本《微積分(第二版)》在學術界的口碑一直都不錯，這並非浪得虛名。它最讓我稱讚的一點是，它對「幾何直觀」和「代數運算」之間的平衡掌握得極好。在介紹向量微積分的前置概念時，書中特別強調了梯度（Gradient）在三維空間中的物理意義，像是等高線的變化率。光是透過那幾張精心繪製的截面圖，我就對梯度有了更深刻的體會，而不是把它當作一個純粹的符號運算。 再者，這本書在處理「證明題」的部分，展現了教科書應有的嚴謹性。它不像某些翻譯書，證明過程寫得零零落落，很多跳躍性的步驟讓人摸不著頭緒。這本的證明，往往會把每一步的邏輯依據標註出來，甚至會附註這個證明技巧是從哪裡發展出來的。這對於未來想走學術研究的同學來說，是無價之寶。它教你的不只是計算技巧，更是一種數學家看待問題的思維框架。雖然有些讀者可能會抱怨它不夠「花俏」，但對於真正想學好微積分的人來說，這種紮實到骨子裡的內容，才是最可靠的後盾。