难题克星（19）二次函数、生活中立体图形(国三下) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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《解析几何的奥秘：从平面到空间的高维探索》 卷首语： 我们生活的世界，充满了各种形式和结构。从日出日落的轨迹到摩天大楼的宏伟轮廓，再到宇宙星系的旋转模式，无不蕴含着数学的深刻规律。本书旨在带领读者穿越代数和几何交织的迷人领域——解析几何。我们将不再仅仅停留在欧几里得的纯粹空间想象，而是借助坐标系这把强有力的钥匙，将几何图形转化为代数方程，从而以更精确、更灵活的方式审视和操控空间结构。 第一章：坐标系的基石与基础运算 本章将为后续的深入探索奠定坚实的基础。我们从二维笛卡尔坐标系（直角坐标系）的构建讲起，详细阐述点的位置表示、距离公式的推导及其几何意义。理解了点与数对之间的对应关系，我们才能有效地进行代数操作。 平面上的点与向量： 如何用有序实数对 $(x, y)$ 唯一确定平面上的点。引入向量的概念，探讨向量的加减法、数乘运算，以及如何将几何位移转化为代数运算。 中点与重心： 深入探讨线段中点的坐标公式，并将其推广到三角形、四边形等更复杂图形的重心计算中。这不仅是计算技巧，更是理解几何平衡点的关键。 斜率与直线方程的初步接触： 斜率——衡量直线陡峭程度的量化指标。我们将详细分析斜率的几何意义，并初步引入直线的点斜式、斜截式，为后续的直线方程族做铺垫。 第二章：直线——最基础的几何元素 直线是解析几何中最简单、也是最核心的研究对象之一。本章将系统梳理所有形式的直线方程及其相互关系。 直线的标准表达： 深入研究一般式 $Ax + By + C = 0$ 的普适性。探讨系数 $A, B, C$ 如何直接反映直线的位置和倾斜方向，以及如何通过参数变化理解直线的族群。 平行与垂直的代数判据： 利用斜率或法向量的关系，精确判定两条直线是平行（斜率相等或法向量平行）还是垂直（斜率乘积为 $-1$ 或法向量点积为零）。 点到直线的距离： 推导并应用点到直线的最短距离公式。这个公式是优化问题和几何逼近的基础，它将点的位置信息与直线的位置信息完美结合。 直线束与交点问题： 探讨如何利用直线束（通过两已知直线交点的直线系）来简化涉及交点的复杂问题，避免冗余的联立方程求解过程。 第三章：圆——封闭的完美曲线 圆是具有高度对称性的几何图形，它的代数描述简洁而优雅。 圆的标准方程与一般方程： 从圆的定义出发，推导以 $(h, k)$ 为圆心， $r$ 为半径的标准方程 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$。理解一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 如何通过配方法还原为标准形式。 圆的位置关系： 分析两个圆之间的相交、相切（内切与外切）、相离的条件，这些条件完全由圆心距与半径和、半径差进行比较来确定。 圆的切线方程： 探讨如何利用圆心与切点的垂直关系，或利用判别式法（切线与圆只有一个交点）来求出特定点或斜率已知的圆的切线方程。 圆幂的概念与应用： 引入圆幂定理，理解一点到圆的“距离平方”的代数含义，并利用它来解决涉及相交圆系的问题。 第四章：圆锥曲线的宏大叙事 本章是解析几何的精髓所在，我们将从几何母体——圆锥的截面出发，系统研究椭圆、双曲线和抛物线这三大基本圆锥曲线。 椭圆的性质与标准方程： 定义：两焦点距离之和为常数。 标准形式：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在 $x$ 轴上）。深入分析长、短轴，离心率 $e$，以及焦点到顶点的距离关系 $c^2 = a^2 - b^2$。 弦的性质：探讨椭圆中的中弦定理，以及切线的几何特性。 双曲线的特性与方程： 定义：两焦点距离之差的绝对值为常数。 标准形式：$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$。理解虚轴和实轴的概念。 渐近线：双曲线独特的渐近线，其斜率由 $pm frac{b}{a}$ 决定，揭示了双曲线无限延伸的趋势。 等轴双曲线的特殊性。 抛物线的光滑之美： 定义：到焦点距离等于到准线距离的点的轨迹。 标准形式：$y^2 = 2px$（焦点在 $x$ 轴上）。重点分析焦距 $p$ 对抛物线开口大小的影响。 抛物线的焦点弦性质与反射定律的几何诠释。 第五章：二次曲线的统一表示与平移旋转 本章将展示所有圆锥曲线（包括退化情况）的统一性，并解决坐标系对图形表示的依赖问题。 一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$： 介绍如何利用判别式 $Delta = B^2 - 4AC$ 来区分曲线的类型（椭圆型、抛物线型或双曲线型）。 图形的平移变换： 讨论坐标平移对二次方程的影响。通过找到新坐标系下的原点（即图形的中心），可以消除一次项 $Dx$ 和 $Ey$，简化方程。 图形的旋转变换与去耦： 探讨当方程中出现 $Bxy$ 项时，如何通过旋转坐标轴来消除交叉项，将曲线转化回标准形式。详细介绍旋转角的计算公式，这是解析几何从二维过渡到三维思维的关键一步。 第六章：从平面到三维——空间解析几何的初步展望 虽然本书主要聚焦于平面解析几何，但本章将简要介绍三维空间的扩展，为读者未来学习空间解析几何打下直观基础。 三维直角坐标系： 引入 $x, y, z$ 三个坐标轴和空间中的点 $(x, y, z)$ 的表示法。 空间中的距离与中点： 简单推广平面上的距离公式和中点公式到三维空间。 空间直线与平面的方程初探： 简述空间直线如何用方向向量和一点确定，以及平面如何用法向量和一点确定。 结语： 解析几何不仅仅是一套公式和计算方法，它是一种强大的思维工具，它使我们能够用代数的确定性去描述几何的直观性。掌握了这些工具，读者将能够更深入地理解工程、物理乃至计算机图形学中的空间问题。本书的终极目标，是让读者在面对任何由直线、圆或二次曲线构成的复杂结构时，都能自信地拿起坐标系的“手术刀”，将其解剖、分析并重构。

评分☆☆☆☆☆

我真的必須大力推薦這本「難題克星（19）」，我兒子今年國三下，數學一直是他的罩門，尤其是二次函數和立體圖形這兩個單元，每次考試下來，總是可以讓我頭痛不已。學校老師推薦了這本課外書，我一開始抱持著姑且一試的心情，沒想到效果之好，真的讓我出乎意料。 這本書對於二次函數的講解，真的非常獨特。它不是一味地丟公式，而是從生活中常見的現象出發，例如「投籃」、「噴泉」、「拋物線的橋樑」等等，用非常生動的圖像和例子，引導讀者去理解二次函數的圖形特徵。我兒子以前看到「y=ax²+bx+c」這種形式就頭暈，但是書裡用了「溜滑梯」、「雲霄飛車」的軌跡來比喻，讓他瞬間就抓到了拋物線的概念，也更容易理解開口方向、頂點位置以及對稱軸的意義。書裡還透過一些實際的測量和計算，示範如何從生活中的現象反推出二次函數的方程式，這讓原本抽象的數學變得具體可感。 接下來書裡關於「生活中立體圖形」的介紹，更是讓我印象深刻。我兒子之前對於立體圖形的表面積和體積計算，總是死記硬背，記了又忘。這本書卻很巧妙地將這些圖形與日常生活中的物品做連結，像是「冰淇淋的甜筒」（圓錐）、「水塔」（圓柱）、「籃球」（球體），並從這些實際物品的結構，去講解它們對應的幾何圖形，以及如何計算它們的表面積和體積。書裡還會舉例說明這些計算在現實生活中的應用，例如建築設計、包裝設計等等，讓孩子們明白數學的實用性。 我兒子特別喜歡書中的一個單元，叫做「數學探險家」。這個單元會提供一些生活中常見的物品或現象，引導孩子們思考它們背後的數學原理，例如為什麼彎曲的道路能讓車子更平穩地通過，或是建築物的某些結構為何需要採用特定的幾何形狀。透過這種引導式的提問和分析，他不僅學到了知識，更培養了主動思考和解決問題的能力。他現在走在路上，都會開始留意周遭的建築物和物品，試圖從數學的角度去理解它們。 總而言之，這本「難題克星（19）」不僅是一本數學教科書的輔助讀物，更像是一本啟發孩子們對數學產生興趣的「生活數學指南」。它將原本看似艱澀的二次函數和立體圖形，巧妙地融入到我們日常生活中，讓學習變得輕鬆有趣，而且充滿了實用性。我兒子用了這本書之後，對數學的信心大增，學習態度也更加積極。我強烈推薦這本書給所有家長，尤其是正在為國三數學煩惱的同學們，這本書絕對能幫助你們打開數學學習的新視野！

评分☆☆☆☆☆

这本书我真的是推到不能再推了！我大兒子這次國三下，數學真的是他最頭痛的科目，尤其是二次函數那些圖像的變化、頂點座標的求法，每次考完試都說看不懂。這次學校老師推薦了這本「難題克星（19）二次函數、生活中立體圖形」，說裡面有很多貼近生活的例子，我當時還半信半疑，想說畢竟是課外書，能幫到多少？結果出乎意料的好！ 開頭有幾頁在講二次函數的圖形，一開始是用一種「畫畫」的方式來引導，什麼叫拋物線，什麼時候開口向上、向下，哪個是頂點，真的就是把抽象的公式變成了具體的畫面。我兒子以前學的時候就覺得一堆數字在那裡轉來轉去，沒什麼感覺。但是書裡用了好多跟「溜滑梯」、「投籃」、「噴泉」這些他每天都看得到、玩得到的東西來比喻，他看著看著就突然「啊！原來是這樣！」的感覺。還有那個判別式，以前對他來說就是個無敵難記的符號，現在書裡把它跟「根」的個數連結起來，還用「射箭」的比喻，說射中靶心（x軸）有幾支箭，就代表有幾個根，這個說法他覺得超好懂的。 再來是書裡關於立體圖形的部分，更是讓我驚豔。我兒子之前對什麼圓錐、圓柱、球體的表面積、體積公式，總是死背硬記，記了又忘。這本「難題克星」竟然把這些立體圖形跟我們家裡的「蛋糕」、「水塔」、「皮球」連結在一起。比如算圓柱的體積，就是把蛋糕切開，想像成一層一層的小方塊堆起來，這個概念他瞬間就明白了。還有算表面積，書裡就用「包裝紙」的概念，讓你計算需要多少紙才能把東西包起來，感覺非常實用。 我兒子最喜歡的部分是書裡有一個「生活偵探」的單元，專門講解如何在日常生活中「找到」二次函數和立體圖形。他之前都覺得數學就是課本裡的數字遊戲，跟現實生活一點關係都沒有。這本書卻用了很多圖片，像是從高處丟球的軌跡、橋樑的弧度、建築物的外形，甚至連路邊的噴水池，都用簡單易懂的方式分析它的數學原理。他現在走在路上，都會突然指著一個東西問我：「媽媽，那個建築物是不是一個圓錐啊？」或是「你看那個坡道，是不是一個二次函數的樣子？」這種主動去觀察和思考的轉變，真的讓我覺得這本書太有價值了！ 總之，這本「難題克星（19）」真的是我兒子的救星！它不只把數學概念講得清楚，還用各種生動有趣的方式，讓他覺得數學不再是遙不可及的學科，而是存在於我們身邊、可以解決生活難題的好工具。我真心推薦給所有正在為了國三數學煩惱的家長和同學們，尤其是對二次函數和立體圖形感到頭痛的，這本書絕對能讓你「豁然開朗」！我兒子最近數學的信心大增，連帶著其他科目的學習也都更有動力了，這真的是意想不到的收穫。

评分☆☆☆☆☆

我兒子今年升上國三下，數學一直是讓他非常頭痛的科目，特別是二次函數和立體圖形的部分，每次上完課回家，總是一臉迷惘。學校老師推薦了這本「難題克星（19）」，我抱著死馬當活馬醫的心態買了，結果真的讓我大大驚喜！ 書裡介紹二次函數的部分，完全顛覆了我兒子對這個單元的刻板印象。它不是一味地從公式著手，而是從生活中我們隨處可見的現象開始，例如「投籃時球的飛行軌跡」、「噴泉的水柱」、「山丘的弧度」等等，用非常生動的圖解和比喻，引導孩子們去理解二次函數的圖像特徵。我兒子以前對「拋物線」這個詞感到很陌生，但書裡用「溜滑梯」、「雲霄飛車」來比喻，讓他立刻就抓到了它的概念，也更容易理解「頂點」、「對稱軸」這些看似抽象的名詞。書裡還提供了很多實際測量和計算的例子，幫助孩子們從生活情境中反推出二次函數的方程式，這讓數學變得不再遙不可及。 而關於「生活中立體圖形」的部分，更是讓我兒子覺得驚豔。他以前對圓柱、圓錐、球體的表面積和體積計算，總是記不住公式，也搞不清楚這些公式的意義。這本書卻非常巧妙地將這些圖形與日常生活中的物品連結，像是「冰淇淋甜筒」對應圓錐，「水塔」對應圓柱，「籃球」對應球體。書中會引導孩子們觀察這些物品的實際形狀，然後再講解如何從這些形狀計算出它們的表面積和體積。更重要的是，書裡還舉例說明這些計算在實際生活中的應用，例如建築師如何估算材料用量，或是烘焙師如何計算蛋糕的尺寸，讓孩子們深刻體會到數學的實用性。 我兒子特別提到，書裡有一個「數學解密」單元，會提出一些生活中的情境，例如「為什麼橋樑需要設計成曲線形狀？」、「如何計算一個水瓶的容量？」等等，然後引導孩子們運用所學的二次函數和立體圖形知識去分析和解答。這種互動式的學習方式，讓他覺得學習數學不再只是單純的記憶和計算，而是能夠幫助他解決實際問題。他現在走在路上，都會開始留意周圍的建築物和物品，試圖從數學的角度去思考。 總之，這本「難題克星（19）」真是一本非常優秀的數學輔助教材。它將原本可能讓國三學生感到頭痛的二次函數和立體圖形，用非常貼近生活、有趣且易於理解的方式呈現。我兒子用了這本書之後，對數學的信心明顯提升，學習態度也變得更積極。我真心推薦給所有家長，尤其是正在為國三數學感到煩惱的孩子們，這本書絕對能幫助你們打開數學學習的新天地！

评分☆☆☆☆☆

身為一個陪讀的家長，我真的必須為這本「難題克星（19）」讚聲！我的兒子今年是國三下，數學課本上的內容對他來說，就像是天書一樣，尤其是二次函數和立體圖形的部分，每次上完課回家，我都只能看到他一臉茫然。學校老師有推薦這本書，我當時抱持著「死馬當活馬醫」的心情買回家，結果出乎意料的好！ 書裡面談到二次函數的部分，真的不是那種乾巴巴的數學解釋。它用了很多很生活化的例子，像是「籃球的飛行軌跡」、「拋物線的橋樑」，甚至是一些遊戲中的道具發射軌跡，都拿來做比喻。它不像課本那樣直接給公式，而是先讓孩子們從這些具體的圖像去感受，什麼是開口向上、開口向下，頂點在哪裡，然後再慢慢帶入公式，讓你理解公式背後的意義。我兒子以前聽到「頂點座標」就頭痛，現在書裡用「跳高選手跳到最高點」來比喻，他一下子就懂了，原來頂點就是那個最高點，後面再帶入公式計算，感覺就沒那麼難了。 至於書裡介紹的「生活中立體圖形」，更是讓我兒子大開眼界。他以前對圓柱、圓錐、球體這些圖形，只記得一些公式，但不知道它們實際長什麼樣子，也不知道為什麼要計算它們的表面積和體積。這本書卻很巧妙地將這些圖形跟日常生活中的物品結合，像是「冰淇淋甜筒」就是圓錐，「水塔」就是圓柱，「氣球」就是球體。書中會引導孩子們去觀察這些物品的形狀，然後再講解如何計算它們的表面積和體積。我兒子以前對「表面積」這個概念很模糊，現在書裡用「包裝紙」的比喻，他說，原來計算表面積就是算我需要多少紙才能把這個東西完全包起來，這樣一來，他對於公式的理解就更深入了。 書中還有一個我兒子非常喜歡的單元，叫做「數學偵探」。裡面會提供一些生活中的情境，例如從高處丟下的物品，它的墜落軌跡是什麼樣的數學曲線？或是建築物的屋頂，大概是哪一種立體圖形？然後引導孩子們去分析和解答。我兒子以前覺得數學很無聊，就是背公式、做練習題。但這個單元讓他發現，原來數學就在我們身邊，而且可以幫助我們解釋很多生活中的現象。他現在走在路上，都會開始注意周圍的建築物或物品，然後試著去判斷它們的數學特性，這是我以前從來沒想過的。 總的來說，這本「難題克星（19）」真的非常適合國三的學生。它把原本枯燥的數學概念，用非常貼近生活的方式呈現，讓學習變得有趣、有意義。我兒子用了這本書之後，對數學的態度有了很大的轉變，不再像以前那樣排斥，甚至會主動去翻閱。我真心推薦這本書給所有正在為國三數學苦惱的家長和同學們，它絕對是幫助孩子們克服數學難題的得力助手！

评分☆☆☆☆☆

我必須說，這次買的這本「難題克星（19）」真的讓我對數學教科書之外的輔助教材有了全新的認識。我女兒是今年國三，數學一直以來都是她的罩門，尤其是一些比較抽象的概念，常常聽老師講完還是霧煞煞。這次她們學校的老師有推薦這本書，我抱持著「試試看」的心情買了，沒想到效果比我預期的還要好上許多。 書的開頭處理二次函數的部分，真的不是那種枯燥的公式堆砌。它用了非常多貼近生活化的例子，例如學生們最常遇到的「投籃」問題，如何讓球能精準地進籃框，背後就是二次函數的拋物線軌跡。書裡把這個過程拆解成幾個步驟，從投球的高度、角度，到球在空中的飛行路徑，都一一對應到二次函數的幾個關鍵要素，像是頂點、對稱軸等等。我女兒以前對這些名詞都只是死記，現在透過書裡的圖解和例子，她才真正理解這些符號代表的實際意義，像是「頂點」就是球飛行的最高點，而「對稱軸」就是從最高點垂直往地面畫下來的線，球在往上飛和往下掉的過程中，軌跡是對稱的。 再來，關於書中所提到的「生活中立體圖形」的應用，更是讓我驚喜連連。我女兒對幾何圖形的概念一直比較模糊，尤其在處理立體圖形的表面積和體積計算時，常常會混淆。這本書卻別出心裁地將這些概念與日常生活中的物品連結，像是計算圓柱體的體積，就用了「罐頭」的例子，而計算球體的表面積，則是用「橘子」來比喻。書中詳細地解釋了如何從實際物品的尺寸，轉換成幾何圖形的參數，再套用公式進行計算。更棒的是，它還示範了這些計算在現實生活中的用途，比如建築師如何計算鋼筋用量，或是蛋糕師傅如何估算食材用量，讓她覺得這些數學不再只是紙上談兵，而是有實際價值的應用。 我女兒特別提到，書裡面有一個單元是「數學解密」，利用生活中常見的物品，例如「水塔」、「煙囪」，來介紹其幾何形狀，並進一步探討其面積和體積計算的原理。她覺得這種從「看得到」的東西去反推「算得出」的過程，比單純背公式更容易理解和記憶。書中還穿插了一些小測驗和思考題，鼓勵她們自己動手畫圖、計算，甚至找出更多生活中的立體圖形。這種互動式的學習方式，讓她覺得學習數學變得更有趣，也更有成就感。 總而言之，這本「難題克星（19）」是一本非常優秀的數學輔助教材。它巧妙地將抽象的二次函數和立體圖形概念，與生活化的情境巧妙結合，讓學生們能夠輕鬆理解、深入記憶。我女兒表示，自從看了這本書之後，她對數學的恐懼感大大降低，甚至開始主動去尋找生活中的數學應用。我認為這本書對於提升國三學生的數學學習興趣和能力，絕對有著不可小覷的幫助，我會強力推薦給其他家長。