线性代数决战60天 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书适合电机、资讯、统计、数学系研究所入学考试与一般自修用。线性代数在理工类所与统计课程中被广泛应用，很多转业问题，只要稍作整理，即可以线性代数方法解之，因此线性代数是从事专业学习和科学研究的重要基础。

　　线性代数理论类似蜘蛛网，每个单元之间彼此都有关联，课堂上之学习就像迷宫般，入口进出口出，顺利出迷宫，知道每个单元内容，但是不知道不同单元间联结。本书尝试同时以不同方法，解释线性代数问题，让线性代数观念达到极大化。

　　很多学校研究所入学考试，考很多的是非题，而是非题是线代观念大熔炉，同一个问题，有很多种不同的解释，都可以得到相同结论，有些时候少考虑一个反例，即造成错误结果。本书採用很多是非题，将线性代数不同单元理论，透过是非题表达出来并作联结，提升同学判断能力，必能在考场上得高分。

深入解析：现代数学的基石与应用 主题：线性代数在理论与实践中的核心地位 本书旨在为读者构建一个全面、深入且富有洞察力的线性代数知识体系。我们不局限于传统的矩阵运算和行列式求解，而是将重点放在理解线性代数作为现代科学和工程学“语言”的核心作用。本书结构严谨，逻辑清晰，旨在使读者能够从根本上掌握向量空间、线性变换、特征值分解等关键概念的本质及其在不同学科中的实际应用。 第一部分：代数基础与向量空间的构建 本部分是理解整个线性代数框架的起点。我们从最基础的元素——向量——开始，探讨它们如何构成一个完整的空间。 第一章：数域与向量空间的概念重构 本章将超越实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的简单介绍，深入探讨抽象向量空间的定义。我们将详细分析为什么一个集合必须满足特定的“加法”和“标量乘法”公理才能被称为向量空间。重点内容包括： 抽象向量空间的实例： 考察多项式空间 $P_n(x)$、函数空间 $C[a, b]$，以及它们如何与 $mathbb{R}^n$ 保持同构关系。 子空间识别： 阐述如何通过验证封闭性和包含零向量来严格证明一个集合是子空间，并通过非平凡的例子（如满足特定微分方程的函数集）进行练习。 线性组合、张成与线性无关性： 深入探讨线性无关的几何意义——信息冗余度的缺失。我们使用直觉模型辅助理解，例如在三维空间中，三个向量的“相互正交”与“张成整个空间”之间的微妙平衡。 第二章：基与维度的确定 基是向量空间的骨架。本章将严格定义基和维度，并展示如何从任意一组生成元中提取出（或构造出）一个合法的基。 基的唯一性与构造算法： 详细介绍如何使用行阶梯形矩阵（RREF）来确定列空间的基和零空间的基。我们将分析行空间、列空间和零空间（核）之间的关系，特别强调 Rank-Nullity 定理 ($ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n$) 的普适性。 坐标系变换： 引入过渡矩阵 $P$ 的概念，解释坐标变换如何改变向量的表示形式而不改变其在空间中的几何位置。这一部分为后续的相似矩阵和特征值分析奠定基础。 第二部分：线性变换的几何洞察 线性代数的核心在于理解变换——函数如何“移动”和“重塑”空间。 第三章：线性映射的性质与矩阵表示 线性变换 $T: V o W$ 被定义为保持加法和标量乘法的映射。本章旨在建立 $T$ 与矩阵 $A$ 之间的桥梁。 核与像 (Kernel and Image)： 将抽象定义与具体的矩阵 $Amathbf{x} = mathbf{0}$ 的解空间和 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的解空间联系起来。探讨 $ ext{dim}( ext{Ker}(T))$（零度）如何量化变换对信息的“压缩”程度。 满射性与单射性： 从线性变换的角度解释逆矩阵的存在性（可逆性）的充要条件。 第四章：矩阵乘法与复合变换 矩阵乘法不再被视为简单的数值运算，而是两个线性变换的依次作用。 复合变换的顺序效应： 通过具体的二维旋转和拉伸操作，直观展示 $AB$ 通常不等于 $BA$ 的几何原因。 矩阵的分解视角： 引入初等矩阵，解释任何矩阵都可以被分解为一系列基本操作的序列，这为理解矩阵的秩提供了一种直观的代数方法。 第三部分：内积、正交性和几何投影 本部分将向量空间提升到具有度量结构的欧几里得空间，关注长度、角度和投影的概念。 第五章：内积空间与几何结构 引入内积（点积的推广）的概念，它赋予了向量空间度量属性。 正交性与范数： 严格定义向量间的正交关系，并推导出由内积导出的范数（长度）。 Gram-Schmidt 正交化过程： 详细演示如何将任意一组基 $mathcal{B}$ 转化为一组正交基 $mathcal{B}'$。重点分析该过程的数值稳定性和理论上的优越性（例如，正交矩阵的逆非常容易计算）。 第六章：正交投影与最小二乘法 投影是线性代数中最具实用性的工具之一，尤其是在数据拟合和误差最小化问题中。 投影定理： 阐述向量 $mathbf{b}$ 在子空间 $W$ 上的正交投影 $hat{mathbf{x}}$ 是使误差向量 $mathbf{b} - hat{mathbf{x}}$ 与 $W$ 中所有向量正交的唯一向量。 最小二乘解的推导： 通过最小化误差的平方范数，推导出正规方程 $A^T A mathbf{x} = A^T mathbf{b}$，并解释其在求解超定系统（方程多于未知数）中的关键作用。 第四部分：特征分析与动力学 特征值和特征向量是揭示线性变换内在“不变方向”的钥匙。 第七章：特征值与特征向量的发现 本章关注那些在变换作用下只被拉伸而不改变方向的向量。 特征方程的建立： 详细分析 $det(A - lambda I) = 0$ 的求解过程，并区分代数重数和几何重数。 特征空间的几何意义： 阐述特征空间是作用于该空间上向量时，线性变换表现得最为简单的子空间。 第八章：对角化与矩阵的幂运算 对角化是简化复杂矩阵运算的终极手段。 可对角化条件： 判定一个 $n imes n$ 矩阵是否可对角化的充要条件——是否存在一组 $n$ 个线性无关的特征向量。 应用：动力系统的稳定性分析： 结合斐波那契数列的递推关系，展示如何通过对角化快速计算矩阵的高次幂，从而预测系统的长期行为。 第九章：对称矩阵的特殊性质 对称矩阵（$A = A^T$）在物理和统计中占据核心地位。 谱定理 (Spectral Theorem)： 阐述实对称矩阵一定可以正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $A = Q Lambda Q^T$。这保证了特征向量可以相互正交。 二次型与主轴定理： 引入二次型函数 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，并利用正交对角化将二次曲面（如椭圆、双曲线）的主轴方向确定下来，这是数据降维（如 PCA 的理论基础）的必要步骤。 第五部分：系统与高级分解 本部分将理论知识应用于求解更复杂的系统，并介绍现代数学中最重要的分解方法。 第十章：奇异值分解 (SVD) 的普适性 SVD 是比特征值分解更具普适性的工具，因为它适用于任何矩阵，无论方正与否，是否可逆。 SVD 的构建与解释： 将任意矩阵 $A$ 分解为 $A = U Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$Sigma$ 是包含奇异值的对角矩阵。 低秩近似与信息压缩： 重点讨论如何利用奇异值从大到小排列的特性，截断 SVD 得到最佳的低秩近似矩阵，这是图像压缩和推荐系统算法的数学核心。 结语：线性代数与计算思维 全书以一种强调“为什么”而非仅仅“如何做”的视角贯穿始终，鼓励读者将矩阵视为一组相互作用的向量和变换，而非单纯的数字表格。通过对抽象概念的深入挖掘和对应用场景的精确定位，读者将建立起坚实的数学直觉，为后续学习如偏微分方程、机器学习算法和数值分析打下坚不可摧的基础。

第1 章 矩阵基本运算
1 行列式与逆矩阵
2 Gram-Schmide 正交化法
3 基本矩阵(elementary matrix)
4 LU 分解
5 QR 分解
6 频谱（特征值）分解
7 差分方程式
8 向量范数与矩阵范数
9 矩阵奇异值分解
精选习题
 
第2章 向量空间
1 向量的线性独立与线性相关
2 生成集与基底
3 子空间(subspace)
4 矩阵四大空间
5 子空间的和与交
精选习题
 
第3章 线性代数应用分析
1 矩阵对角化
2 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式
3 Jordan form
4 厄米特矩阵与实对称矩阵
5 正定与负定
6 二次曲线
7 其他
精选习题
 
第4章 线性映射与基底变换
1 线性映射
2 值域(range or image)与映成(onto)
3 核域(kernel or null)与一对一映射
4 可逆映射or 同构映射
5 基底变换与座标变换
6 线性映射之基底变换
7 矩阵相似
精选习题
 
第5章 正交投影向量
1 内积空间
2 正交投影向量
3 如何建立正交投影矩阵
4 正交投影矩阵性质
5 斜投影矩阵
6 镜射矩阵与正交投影矩阵的关系
7 镜射矩阵性质
8 如何建立镜射矩阵
9 Householder 矩阵
10 其他
精选习题

评分☆☆☆☆☆

我选择学习线性代数，很大程度上是因为它在很多领域都有着广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、数据科学等等，这些都是我非常感兴趣的领域。因此，我在选择教材时，也会特别关注它在理论知识与实际应用之间的联系。这本书的标题“决战60天”就暗示了一种高效的学习模式，我希望它在内容设计上，能够清晰地阐述线性代数的核心概念是如何被应用到这些实际场景中的。比如，矩阵的运算在图像处理中扮演什么角色，特征值和特征向量如何帮助我们理解数据，等等。如果书中能够通过案例分析或者伪代码的形式，将这些理论与实际联系起来，那将大大提升我的学习动力和学习效果。我希望这本书不仅仅是一本纯粹的数学教材，更是一扇通往其他学科大门的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习数学知识，尤其是像线性代数这样基础又重要的学科，找到一本既讲解透彻又能够激发学习兴趣的书籍至关重要。我翻阅过不少线性代数的教材，有些过于理论化，让人望而却步；有些则过于简化，又显得不够深入。而这本书，从我的初步印象来看，似乎找到了一个很好的平衡点。它的内容编排逻辑性很强，章节之间的过渡自然流畅，这一点从目录的设计上就能看出来。而且，我注意到书中似乎运用了一些比较新颖的讲解方式，比如引入了一些实际应用的例子，这对于我这种更侧重于理解概念背后意义的学习者来说，非常有吸引力。我希望它在概念的解释上能够做到通俗易懂，同时又不失严谨性，能够真正帮助我构建起对线性代数扎实的理解，而不是仅仅停留在死记硬背公式的层面。毕竟，学习的最终目的还是在于运用，而清晰的概念理解是成功运用的基石。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在备考某项考试的学生，时间对我来说非常宝贵。这本书的“60天”这个时限，对我而言是一个非常重要的考量因素。我需要一本能够帮助我在有限的时间内，最高效地掌握线性代数核心内容的书籍。我希望这本书的讲解能够抓住重点，提炼出最关键的知识点和方法，避免冗余和过于深入的理论探讨，以最大化学习效率。同时，我希望它在内容编排上能够有一定的灵活性，比如能够根据不同的学习目标和时间安排，提供一些学习路线的建议。如果书中能够有针对性的模拟题或者章节测试，帮助我快速检验学习成果，并且能够根据我的薄弱环节进行查漏补缺，那么它就真正称得上是一本“决战”利器了。我期待它能够帮助我以最快的速度，最扎实地通过线性代数的学习难关。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观设计相当简洁大气，深蓝色的封面搭配银色的字体，给人一种专业且严谨的感觉，仿佛预示着一场智力上的“决战”。我尤其喜欢封面上那种细微的纹理处理，在光线下会折射出不同的光泽，这一点小小的细节就足以提升整体的质感。拿到手里，能感受到纸张的厚实，翻阅起来非常顺畅，不会有廉价感。虽然我还没深入阅读，但光是这份包装和印刷质量，就让我对它充满了期待。我平时对数学类书籍的品味比较挑剔，不希望封面花里胡哨，更看重内容的深度和呈现方式。这本书的封面风格很符合我的喜好，没有多余的装饰，直击主题，让人一眼就能感受到它是一本认真做学问的书。我还会特别留意它的排版，毕竟阅读体验非常重要，好的排版能让复杂的公式和定理更容易理解，减少阅读疲劳。期待它在内容上也能给我带来惊喜，毕竟“决战60天”这个标题本身就带着一种紧迫感和目标感，希望它能帮助我快速掌握线性代数的核心知识。

评分☆☆☆☆☆

我对于数学学习有一个很深的体会，那就是“熟能生巧”在理论学科中也同样适用，尤其是线性代数这种需要大量练习来巩固理解的学科。我非常看重教材中的例题和习题的质量，这直接关系到我能否有效地进行自我检测和提升。这本书给我的初步感觉是，它在例题的设计上非常用心，不仅仅是简单地重复概念，而是能够层层递进，引导读者逐步深入。而习题部分，我希望它能够覆盖到各个知识点的不同难度和类型，既有基础巩固的题目，也有一些能够锻炼思维能力的拔高题。如果书中还能够提供详细的解题思路或者答案解析，那就更完美了，这样可以帮助我及时发现和纠正错误，避免走弯路。我期待这本书能够提供一个完整的学习闭环，让我在练习中不断进步，最终真正掌握线性代数。