綫性代數決戰60天 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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本書適閤電機、資訊、統計、數學係研究所入學考試與一般自修用。綫性代數在理工類所與統計課程中被廣泛應用，很多轉業問題，隻要稍作整理，即可以綫性代數方法解之，因此綫性代數是從事專業學習和科學研究的重要基礎。

　　綫性代數理論類似蜘蛛網，每個單元之間彼此都有關聯，課堂上之學習就像迷宮般，入口進齣口齣，順利齣迷宮，知道每個單元內容，但是不知道不同單元間聯結。本書嘗試同時以不同方法，解釋綫性代數問題，讓綫性代數觀念達到極大化。

　　很多學校研究所入學考試，考很多的是非題，而是非題是綫代觀念大熔爐，同一個問題，有很多種不同的解釋，都可以得到相同結論，有些時候少考慮一個反例，即造成錯誤結果。本書採用很多是非題，將綫性代數不同單元理論，透過是非題錶達齣來並作聯結，提升同學判斷能力，必能在考場上得高分。

深入解析：現代數學的基石與應用 主題：綫性代數在理論與實踐中的核心地位 本書旨在為讀者構建一個全麵、深入且富有洞察力的綫性代數知識體係。我們不局限於傳統的矩陣運算和行列式求解，而是將重點放在理解綫性代數作為現代科學和工程學“語言”的核心作用。本書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在使讀者能夠從根本上掌握嚮量空間、綫性變換、特徵值分解等關鍵概念的本質及其在不同學科中的實際應用。 第一部分：代數基礎與嚮量空間的構建 本部分是理解整個綫性代數框架的起點。我們從最基礎的元素——嚮量——開始，探討它們如何構成一個完整的空間。 第一章：數域與嚮量空間的概念重構 本章將超越實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的簡單介紹，深入探討抽象嚮量空間的定義。我們將詳細分析為什麼一個集閤必須滿足特定的“加法”和“標量乘法”公理纔能被稱為嚮量空間。重點內容包括： 抽象嚮量空間的實例： 考察多項式空間 $P_n(x)$、函數空間 $C[a, b]$，以及它們如何與 $mathbb{R}^n$ 保持同構關係。 子空間識彆： 闡述如何通過驗證封閉性和包含零嚮量來嚴格證明一個集閤是子空間，並通過非平凡的例子（如滿足特定微分方程的函數集）進行練習。 綫性組閤、張成與綫性無關性： 深入探討綫性無關的幾何意義——信息冗餘度的缺失。我們使用直覺模型輔助理解，例如在三維空間中，三個嚮量的“相互正交”與“張成整個空間”之間的微妙平衡。 第二章：基與維度的確定 基是嚮量空間的骨架。本章將嚴格定義基和維度，並展示如何從任意一組生成元中提取齣（或構造齣）一個閤法的基。 基的唯一性與構造算法： 詳細介紹如何使用行階梯形矩陣（RREF）來確定列空間的基和零空間的基。我們將分析行空間、列空間和零空間（核）之間的關係，特彆強調 Rank-Nullity 定理 ($ ext{rank}(A) + ext{nullity}(A) = n$) 的普適性。 坐標係變換： 引入過渡矩陣 $P$ 的概念，解釋坐標變換如何改變嚮量的錶示形式而不改變其在空間中的幾何位置。這一部分為後續的相似矩陣和特徵值分析奠定基礎。 第二部分：綫性變換的幾何洞察 綫性代數的核心在於理解變換——函數如何“移動”和“重塑”空間。 第三章：綫性映射的性質與矩陣錶示 綫性變換 $T: V o W$ 被定義為保持加法和標量乘法的映射。本章旨在建立 $T$ 與矩陣 $A$ 之間的橋梁。 核與像 (Kernel and Image)： 將抽象定義與具體的矩陣 $Amathbf{x} = mathbf{0}$ 的解空間和 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的解空間聯係起來。探討 $ ext{dim}( ext{Ker}(T))$（零度）如何量化變換對信息的“壓縮”程度。 滿射性與單射性： 從綫性變換的角度解釋逆矩陣的存在性（可逆性）的充要條件。 第四章：矩陣乘法與復閤變換 矩陣乘法不再被視為簡單的數值運算，而是兩個綫性變換的依次作用。 復閤變換的順序效應： 通過具體的二維鏇轉和拉伸操作，直觀展示 $AB$ 通常不等於 $BA$ 的幾何原因。 矩陣的分解視角： 引入初等矩陣，解釋任何矩陣都可以被分解為一係列基本操作的序列，這為理解矩陣的秩提供瞭一種直觀的代數方法。 第三部分：內積、正交性和幾何投影 本部分將嚮量空間提升到具有度量結構的歐幾裏得空間，關注長度、角度和投影的概念。 第五章：內積空間與幾何結構 引入內積（點積的推廣）的概念，它賦予瞭嚮量空間度量屬性。 正交性與範數： 嚴格定義嚮量間的正交關係，並推導齣由內積導齣的範數（長度）。 Gram-Schmidt 正交化過程： 詳細演示如何將任意一組基 $mathcal{B}$ 轉化為一組正交基 $mathcal{B}'$。重點分析該過程的數值穩定性和理論上的優越性（例如，正交矩陣的逆非常容易計算）。 第六章：正交投影與最小二乘法 投影是綫性代數中最具實用性的工具之一，尤其是在數據擬閤和誤差最小化問題中。 投影定理： 闡述嚮量 $mathbf{b}$ 在子空間 $W$ 上的正交投影 $hat{mathbf{x}}$ 是使誤差嚮量 $mathbf{b} - hat{mathbf{x}}$ 與 $W$ 中所有嚮量正交的唯一嚮量。 最小二乘解的推導： 通過最小化誤差的平方範數，推導齣正規方程 $A^T A mathbf{x} = A^T mathbf{b}$，並解釋其在求解超定係統（方程多於未知數）中的關鍵作用。 第四部分：特徵分析與動力學 特徵值和特徵嚮量是揭示綫性變換內在“不變方嚮”的鑰匙。 第七章：特徵值與特徵嚮量的發現 本章關注那些在變換作用下隻被拉伸而不改變方嚮的嚮量。 特徵方程的建立： 詳細分析 $det(A - lambda I) = 0$ 的求解過程，並區分代數重數和幾何重數。 特徵空間的幾何意義： 闡述特徵空間是作用於該空間上嚮量時，綫性變換錶現得最為簡單的子空間。 第八章：對角化與矩陣的冪運算 對角化是簡化復雜矩陣運算的終極手段。 可對角化條件： 判定一個 $n imes n$ 矩陣是否可對角化的充要條件——是否存在一組 $n$ 個綫性無關的特徵嚮量。 應用：動力係統的穩定性分析： 結閤斐波那契數列的遞推關係，展示如何通過對角化快速計算矩陣的高次冪，從而預測係統的長期行為。 第九章：對稱矩陣的特殊性質 對稱矩陣（$A = A^T$）在物理和統計中占據核心地位。 譜定理 (Spectral Theorem)： 闡述實對稱矩陣一定可以正交對角化，即存在正交矩陣 $Q$ 使得 $A = Q Lambda Q^T$。這保證瞭特徵嚮量可以相互正交。 二次型與主軸定理： 引入二次型函數 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，並利用正交對角化將二次麯麵（如橢圓、雙麯綫）的主軸方嚮確定下來，這是數據降維（如 PCA 的理論基礎）的必要步驟。 第五部分：係統與高級分解 本部分將理論知識應用於求解更復雜的係統，並介紹現代數學中最重要的分解方法。 第十章：奇異值分解 (SVD) 的普適性 SVD 是比特徵值分解更具普適性的工具，因為它適用於任何矩陣，無論方正與否，是否可逆。 SVD 的構建與解釋： 將任意矩陣 $A$ 分解為 $A = U Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩陣，$Sigma$ 是包含奇異值的對角矩陣。 低秩近似與信息壓縮： 重點討論如何利用奇異值從大到小排列的特性，截斷 SVD 得到最佳的低秩近似矩陣，這是圖像壓縮和推薦係統算法的數學核心。 結語：綫性代數與計算思維 全書以一種強調“為什麼”而非僅僅“如何做”的視角貫穿始終，鼓勵讀者將矩陣視為一組相互作用的嚮量和變換，而非單純的數字錶格。通過對抽象概念的深入挖掘和對應用場景的精確定位，讀者將建立起堅實的數學直覺，為後續學習如偏微分方程、機器學習算法和數值分析打下堅不可摧的基礎。

第1 章 矩陣基本運算
1 行列式與逆矩陣
2 Gram-Schmide 正交化法
3 基本矩陣(elementary matrix)
4 LU 分解
5 QR 分解
6 頻譜（特徵值）分解
7 差分方程式
8 嚮量範數與矩陣範數
9 矩陣奇異值分解
精選習題
 
第2章 嚮量空間
1 嚮量的綫性獨立與綫性相關
2 生成集與基底
3 子空間(subspace)
4 矩陣四大空間
5 子空間的和與交
精選習題
 
第3章 綫性代數應用分析
1 矩陣對角化
2 Cayley-Hamilton 定理與最小多項式
3 Jordan form
4 厄米特矩陣與實對稱矩陣
5 正定與負定
6 二次麯綫
7 其他
精選習題
 
第4章 綫性映射與基底變換
1 綫性映射
2 值域(range or image)與映成(onto)
3 核域(kernel or null)與一對一映射
4 可逆映射or 同構映射
5 基底變換與座標變換
6 綫性映射之基底變換
7 矩陣相似
精選習題
 
第5章 正交投影嚮量
1 內積空間
2 正交投影嚮量
3 如何建立正交投影矩陣
4 正交投影矩陣性質
5 斜投影矩陣
6 鏡射矩陣與正交投影矩陣的關係
7 鏡射矩陣性質
8 如何建立鏡射矩陣
9 Householder 矩陣
10 其他
精選習題

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在備考某項考試的學生，時間對我來說非常寶貴。這本書的“60天”這個時限，對我而言是一個非常重要的考量因素。我需要一本能夠幫助我在有限的時間內，最高效地掌握綫性代數核心內容的書籍。我希望這本書的講解能夠抓住重點，提煉齣最關鍵的知識點和方法，避免冗餘和過於深入的理論探討，以最大化學習效率。同時，我希望它在內容編排上能夠有一定的靈活性，比如能夠根據不同的學習目標和時間安排，提供一些學習路綫的建議。如果書中能夠有針對性的模擬題或者章節測試，幫助我快速檢驗學習成果，並且能夠根據我的薄弱環節進行查漏補缺，那麼它就真正稱得上是一本“決戰”利器瞭。我期待它能夠幫助我以最快的速度，最紮實地通過綫性代數的學習難關。

评分☆☆☆☆☆

這本書的外觀設計相當簡潔大氣，深藍色的封麵搭配銀色的字體，給人一種專業且嚴謹的感覺，仿佛預示著一場智力上的“決戰”。我尤其喜歡封麵上那種細微的紋理處理，在光綫下會摺射齣不同的光澤，這一點小小的細節就足以提升整體的質感。拿到手裏，能感受到紙張的厚實，翻閱起來非常順暢，不會有廉價感。雖然我還沒深入閱讀，但光是這份包裝和印刷質量，就讓我對它充滿瞭期待。我平時對數學類書籍的品味比較挑剔，不希望封麵花裏鬍哨，更看重內容的深度和呈現方式。這本書的封麵風格很符閤我的喜好，沒有多餘的裝飾，直擊主題，讓人一眼就能感受到它是一本認真做學問的書。我還會特彆留意它的排版，畢竟閱讀體驗非常重要，好的排版能讓復雜的公式和定理更容易理解，減少閱讀疲勞。期待它在內容上也能給我帶來驚喜，畢竟“決戰60天”這個標題本身就帶著一種緊迫感和目標感，希望它能幫助我快速掌握綫性代數的核心知識。

评分☆☆☆☆☆

我對於數學學習有一個很深的體會，那就是“熟能生巧”在理論學科中也同樣適用，尤其是綫性代數這種需要大量練習來鞏固理解的學科。我非常看重教材中的例題和習題的質量，這直接關係到我能否有效地進行自我檢測和提升。這本書給我的初步感覺是，它在例題的設計上非常用心，不僅僅是簡單地重復概念，而是能夠層層遞進，引導讀者逐步深入。而習題部分，我希望它能夠覆蓋到各個知識點的不同難度和類型，既有基礎鞏固的題目，也有一些能夠鍛煉思維能力的拔高題。如果書中還能夠提供詳細的解題思路或者答案解析，那就更完美瞭，這樣可以幫助我及時發現和糾正錯誤，避免走彎路。我期待這本書能夠提供一個完整的學習閉環，讓我在練習中不斷進步，最終真正掌握綫性代數。

评分☆☆☆☆☆

我選擇學習綫性代數，很大程度上是因為它在很多領域都有著廣泛的應用，比如計算機圖形學、機器學習、數據科學等等，這些都是我非常感興趣的領域。因此，我在選擇教材時，也會特彆關注它在理論知識與實際應用之間的聯係。這本書的標題“決戰60天”就暗示瞭一種高效的學習模式，我希望它在內容設計上，能夠清晰地闡述綫性代數的核心概念是如何被應用到這些實際場景中的。比如，矩陣的運算在圖像處理中扮演什麼角色，特徵值和特徵嚮量如何幫助我們理解數據，等等。如果書中能夠通過案例分析或者僞代碼的形式，將這些理論與實際聯係起來，那將大大提升我的學習動力和學習效果。我希望這本書不僅僅是一本純粹的數學教材，更是一扇通往其他學科大門的鑰匙。

评分☆☆☆☆☆

我一直覺得，學習數學知識，尤其是像綫性代數這樣基礎又重要的學科，找到一本既講解透徹又能夠激發學習興趣的書籍至關重要。我翻閱過不少綫性代數的教材，有些過於理論化，讓人望而卻步；有些則過於簡化，又顯得不夠深入。而這本書，從我的初步印象來看，似乎找到瞭一個很好的平衡點。它的內容編排邏輯性很強，章節之間的過渡自然流暢，這一點從目錄的設計上就能看齣來。而且，我注意到書中似乎運用瞭一些比較新穎的講解方式，比如引入瞭一些實際應用的例子，這對於我這種更側重於理解概念背後意義的學習者來說，非常有吸引力。我希望它在概念的解釋上能夠做到通俗易懂，同時又不失嚴謹性，能夠真正幫助我構建起對綫性代數紮實的理解，而不是僅僅停留在死記硬背公式的層麵。畢竟，學習的最終目的還是在於運用，而清晰的概念理解是成功運用的基石。