微積分乙是非理工科系學生所要修習的微積分課程，應用在生命科學、醫學、農學、社會科學、管理科學等領域。若使用理工科系修習的微積分甲課本，一方面內容與學生未來的發展方向不符，另一方面教材的分量也偏多，無益於提升學生的數學能力和興趣。
本書依作者累積二十年來的教學經驗撰寫而成，結合了日常生活與前述領域常見的範例，希望能讓學生多體會數學確定、合理及美好的部分，藉此掌握數學概念的直覺，進而體會科學家式的喜悅。
具体描述
基础代数与函数精要：构建数学思维的坚实基石 第一部分：代数基础与有理数世界 本书旨在为读者奠定坚实的代数基础，深入探讨数系的结构及其在解决实际问题中的应用。我们从最基本的数概念出发，详细剖析自然数、整数的定义、运算规则及其在数轴上的几何意义。有理数的引入，不仅扩展了我们对数的认知范围，更重要的是，它揭示了分数、小数与比率之间的内在联系。 第一章：数的概念与基本运算 本章聚焦于数的本质。我们不仅复习了四则运算在整数集中的封闭性，更着重分析了负数的引入如何改变了代数运算的特性。绝对值的概念被提升到核心地位，它不仅是数轴上距离的度量，更是理解不等式和函数对称性的关键工具。乘法分配律的推广应用，是理解更高维代数结构（如多项式）的基石。我们通过大量的实例，展示了如何利用运算定律简化复杂表达式，提高计算效率。 第二章：方程与等式的艺术 等式是代数语言的核心。本章系统梳理了一元一次方程的解法，从最简单的形式到涉及括号和分母的复杂形式。我们强调了“保持平衡”的解题哲学，即对等式两边进行相同操作的必要性。线性方程组的引入，则将问题从一维空间扩展到二维乃至多维。高斯消元法（或替代法）的详细推导和应用，展示了系统性解决多变量问题的标准流程。特别地，本章讨论了方程解的存在性与唯一性问题，以及在特定情境下（如实际应用题）可能出现的“增根”或“失根”现象的判断。 第三章：不等式与有序性 与方程的“相等”概念相对，不等式描述了量之间的“大小”关系。本章详尽讲解了一元一次不等式的解法，并特别强调了不等式两边乘以负数时不等号方向的改变这一关键点。二次不等式的解法，则巧妙地结合了二次函数的图像性质——抛物线的开口方向和与x轴的交点（根），实现“穿轴法”的直观理解。我们将“解集”的概念从单一数值扩展到区间表示，为微积分中极限与连续性的讨论埋下伏笔。 第四章：有理式与分式方程 将代数运算推广到包含变量的表达式，即有理式。本章详细阐述了多项式的乘法与因式分解，尤其是平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法的熟练运用。因式分解不仅是简化表达式的工具，更是求解高次方程的有效途径。分式的运算（加减乘除）需要依赖公分母的确定，这部分内容对后续处理有理函数至关重要。分式方程的解法，核心在于“去分母”，但必须警惕导致分母为零的“限制条件”，确保所得解的有效性。 第二部分：函数：关系与变化的核心 从代数到分析的过渡，在于函数概念的建立。函数是对变量间依赖关系的抽象和描述，是描述自然界中各种变化规律的数学模型。 第五章：函数的概念与表示法 本章严格定义了函数的四个要素：定义域、值域、对应关系和自变量。我们探讨了函数的五种主要表示法：解析式法、列表法、图像法、自然语言描述法。每种方法都有其优势和局限性，理解它们之间的相互转化是掌握函数思想的关键。函数图像的绘制，特别是如何利用代数表达式的特性（如渐近线、截距）来快速描绘图像，是本章的重点训练内容。 第六章：基本初等函数（I）：线性与二次函数 我们从最简单的函数——常数函数和恒等函数入手，逐步深入到线性函数 $y=kx+b$。线性函数的图像是直线，斜率 $k$ 直观地代表了变化的“快慢”。接着，我们深入研究二次函数 $y=ax^2+bx+c$。抛物线的顶点、对称轴是分析函数最值和图像形态的决定性因素。通过配方法将标准式转化为顶点式，展示了代数变换如何直接影响几何性质。本章强调了这些基本函数在实际问题中（如成本分析、抛物线运动）的模型构建能力。 第七章：指数与对数：描述增长与衰减 指数函数 $y=a^x$ 及其相关的指数增长与衰减模型，是描述复利、放射性衰变等现象的基础。本章要求读者深刻理解指数运算的性质，并对底数 $a$ 的不同取值范围（$a>0, a
eq 1$）下函数图像的差异有清晰认识。对数函数作为指数函数的反函数，其重要性不言而喻。对数运算的四大性质（积、商、幂、换底公式）是解决指数方程和对数方程的必备工具。我们特别关注自然对数 $e$ 的特殊地位及其在连续复利模型中的应用。 第三部分：数列与极限的初步感知 微积分的精髓在于对“无限”和“变化率”的精确处理。本部分通过对特定数列的研究，为极限这一核心概念做铺垫。 第八章：数列与级数 数列是函数在自然数定义域上的特例。本章重点解析了两种最重要的数列：等差数列和等比数列。等差数列的通项公式与前 $n$ 项和的求法，是基于线性规律的直接推导。等比数列则深刻体现了指数增长的特性，其求和公式的推导依赖于对公比 $r$ 的不同情况讨论。级数部分，我们初步探讨了无限项的和的概念，特别是等比级数在 $|r|<1$ 时的收敛性，这为后续理解无穷级数奠定了直观基础。 第九章：序列的极限 极限是连接离散数学和连续分析的桥梁。本章引入了数列极限的概念，侧重于直观理解和基本判定方法，而非严格的 $epsilon-delta$ 定义。我们探讨了单调有界定理，指出有界单调数列必然收敛。无穷大和无穷小是极限分析中的两个核心概念。通过观察数列趋于无穷时的表现，读者开始建立对无限过程的数学把握能力。 附录：复习与能力自测 本附录精选了数百道涵盖代数运算、方程求解、函数图像分析及数列计算的练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并以严谨的步骤解决复杂问题。 本书特色： 强调几何意义： 所有代数概念均配以清晰的几何图像解释，帮助读者建立直观理解。 逻辑递进： 内容严格按照从具体到抽象、从有限到无限的顺序组织，确保知识体系的连贯性。 应用导向： 每一章节都包含至少两个贴近实际生活的应用实例，展示数学工具的实际效用。
著者信息
作者簡介
翁秉仁
國立臺灣大學數學系副教授，1991年畢業於加州大學聖地牙哥分校。曾獲臺灣大學傑出教學獎。曾建立《數學知識網站》，現為《數理人文》編輯委員。
翁秉仁
國立臺灣大學數學系副教授，1991年畢業於加州大學聖地牙哥分校。曾獲臺灣大學傑出教學獎。曾建立《數學知識網站》，現為《數理人文》編輯委員。
图书目录
修訂版序
自序
體例與使用說明
1 基本函數與極限
1.1 函數與圖形
1.2 方程式與平面曲線;隱函數
1.3 反函數
1.4 連續函數與極限
1.4.1 連續函數
1.4.2 數列的極限
1.4.3 函數的極限
1.5 e 與自然對數
2 微分
2.1 導函數
2.1.1 導函數的基本性質
2.1.2 一些基本函數的導函數
2.1.3 連鎖法則與反函數的導數
2.1.4 高階導數
2.1.5 隱函數微分
2.2 平均值定理
2.3 切線與線性逼近
2.4 應用:描述函數圖形
2.4.1 函數的特徵
2.4.2 函數作圖
2.5 微分的應用——最佳化
3 積分
3.1 積分的觀念:黎曼和與定積分
3.1.1 黎曼和
3.1.2 定積分
3.2 微積分基本定理
3.3 基本積分技巧
3.3.1 分部積分法←→萊布尼茲法則
3.3.2 變數變換法←→連鎖法則
3.3.3 有理函數的積分
3.3.4 三角積分
3.4 積分的應用
3.4.1 瑕積分
3.4.2 幾何度量
3.4.3 重心
3.4.4 重訪指數與對數函數
4 函數的逼近
4.1 典型的例子:從等比級數談起
4.2 泰勒定理
4.2.1 泰勒多項式與泰勒展式
4.2.2 泰勒定理
4.3 常用函數的泰勒展式
4.3.1 ex, sin x與cos x
4.3.2 二項式展開
4.4 泰勒定理的應用
4.4.1 再談極值測試
4.4.2 l’Hôpital法則
4.4.3 解微分方程
4.5 插值法
4.6 定積分的數值逼近
4.6.1 長方形法
4.6.2 梯形法
4.6.3 Simpson法
4.7 牛頓勘根法
5 多變數函數的微分
5.1 多變數函數
5.1.1 雙變數的圖形
5.1.2 作圖法
5.1.3 等高線法
5.2 多變數函數的微分
5.2.1 偏導數與偏導函數
5.2.2 切面
5.2.3 線性逼近
5.2.4 變數數目≥3的情況
5.3 多變數函數之連鎖法則
5.4 方向導數與梯度
5.5 高階偏導數與泰勒展式
5.5.1 高階偏導數
5.5.2 泰勒展式
5.6 極值測試與應用
5.6.1 應用一:最小平方法
5.6.2 應用二:合作還是不合作
5.7 Lagrange乘子法
5.7.1 方法
5.7.2 應用:無差異曲線
6 多變數函數的積分
6.1 二重積分
6.2 Fubini定理
6.3 二重積分的極坐標形式
6.3.1 極坐標
6.3.2 極坐標形式的二重積分
6.4 二重積分之變數變換
6.4.1 單變數變數變換之重新解釋
6.4.2 雙變數的變數變換
6.4.3 二重積分的變數變換
6.5 三重積分
6.5.1 三重積分的定義
6.5.2 三重積分的變數變換
6.6 應用:重心
6.6.1 平面區域的重心
6.6.2 立體區域之重心
7 數學模型與微分方程
7.1 使用指數函數的模型
7.1.1 Malthus的人口模型
7.1.2 放射衰變與考古斷代
7.1.3 利息的逼近
7.1.4 牛頓冷卻定律
7.1.5 價格模型
7.1.6 修正的人口模型:Logistic模型;S-曲線
7.1.7 傳染病之擴散模型
7.2 一階微分方程
7.2.1 總說
7.2.2 分離變數法
7.2.3 一階線性微分方程
7.3 一階微分方程的非確解:數值方法
7.3.1 定性方法或觀察法
7.3.2 泰勒級數法
7.3.3 微分方程的數值解;歐拉法
7.4 微分方程組簡介
7.4.1 方法
7.4.2 重訪傳染病模型
7.4.3 Lokta-Volterra模型
8 機率與統計
8.1 機率的複習與延伸
8.1.1 二項分配
8.1.2 隨機變數
8.1.3 期望值
8.1.4 變異數與標準差
8.1.5 大數法則
8.2 與機率有關的瑕積分
8.3 連續型機率
8.4 Poisson分配與指數分配
8.4.1 Poisson分配
8.4.2 指數分配
8.4.3 應用:可靠性
8.5 常態分配
8.5.1 常態分配
8.5.2 常態分配機率的計算
8.5.3 中央極限定理
8.6 短結
A 常用積分表
B 習題簡答
C 微積分常用詞彙漢英對照表
索引
自序
體例與使用說明
1 基本函數與極限
1.1 函數與圖形
1.2 方程式與平面曲線;隱函數
1.3 反函數
1.4 連續函數與極限
1.4.1 連續函數
1.4.2 數列的極限
1.4.3 函數的極限
1.5 e 與自然對數
2 微分
2.1 導函數
2.1.1 導函數的基本性質
2.1.2 一些基本函數的導函數
2.1.3 連鎖法則與反函數的導數
2.1.4 高階導數
2.1.5 隱函數微分
2.2 平均值定理
2.3 切線與線性逼近
2.4 應用:描述函數圖形
2.4.1 函數的特徵
2.4.2 函數作圖
2.5 微分的應用——最佳化
3 積分
3.1 積分的觀念:黎曼和與定積分
3.1.1 黎曼和
3.1.2 定積分
3.2 微積分基本定理
3.3 基本積分技巧
3.3.1 分部積分法←→萊布尼茲法則
3.3.2 變數變換法←→連鎖法則
3.3.3 有理函數的積分
3.3.4 三角積分
3.4 積分的應用
3.4.1 瑕積分
3.4.2 幾何度量
3.4.3 重心
3.4.4 重訪指數與對數函數
4 函數的逼近
4.1 典型的例子:從等比級數談起
4.2 泰勒定理
4.2.1 泰勒多項式與泰勒展式
4.2.2 泰勒定理
4.3 常用函數的泰勒展式
4.3.1 ex, sin x與cos x
4.3.2 二項式展開
4.4 泰勒定理的應用
4.4.1 再談極值測試
4.4.2 l’Hôpital法則
4.4.3 解微分方程
4.5 插值法
4.6 定積分的數值逼近
4.6.1 長方形法
4.6.2 梯形法
4.6.3 Simpson法
4.7 牛頓勘根法
5 多變數函數的微分
5.1 多變數函數
5.1.1 雙變數的圖形
5.1.2 作圖法
5.1.3 等高線法
5.2 多變數函數的微分
5.2.1 偏導數與偏導函數
5.2.2 切面
5.2.3 線性逼近
5.2.4 變數數目≥3的情況
5.3 多變數函數之連鎖法則
5.4 方向導數與梯度
5.5 高階偏導數與泰勒展式
5.5.1 高階偏導數
5.5.2 泰勒展式
5.6 極值測試與應用
5.6.1 應用一:最小平方法
5.6.2 應用二:合作還是不合作
5.7 Lagrange乘子法
5.7.1 方法
5.7.2 應用:無差異曲線
6 多變數函數的積分
6.1 二重積分
6.2 Fubini定理
6.3 二重積分的極坐標形式
6.3.1 極坐標
6.3.2 極坐標形式的二重積分
6.4 二重積分之變數變換
6.4.1 單變數變數變換之重新解釋
6.4.2 雙變數的變數變換
6.4.3 二重積分的變數變換
6.5 三重積分
6.5.1 三重積分的定義
6.5.2 三重積分的變數變換
6.6 應用:重心
6.6.1 平面區域的重心
6.6.2 立體區域之重心
7 數學模型與微分方程
7.1 使用指數函數的模型
7.1.1 Malthus的人口模型
7.1.2 放射衰變與考古斷代
7.1.3 利息的逼近
7.1.4 牛頓冷卻定律
7.1.5 價格模型
7.1.6 修正的人口模型:Logistic模型;S-曲線
7.1.7 傳染病之擴散模型
7.2 一階微分方程
7.2.1 總說
7.2.2 分離變數法
7.2.3 一階線性微分方程
7.3 一階微分方程的非確解:數值方法
7.3.1 定性方法或觀察法
7.3.2 泰勒級數法
7.3.3 微分方程的數值解;歐拉法
7.4 微分方程組簡介
7.4.1 方法
7.4.2 重訪傳染病模型
7.4.3 Lokta-Volterra模型
8 機率與統計
8.1 機率的複習與延伸
8.1.1 二項分配
8.1.2 隨機變數
8.1.3 期望值
8.1.4 變異數與標準差
8.1.5 大數法則
8.2 與機率有關的瑕積分
8.3 連續型機率
8.4 Poisson分配與指數分配
8.4.1 Poisson分配
8.4.2 指數分配
8.4.3 應用:可靠性
8.5 常態分配
8.5.1 常態分配
8.5.2 常態分配機率的計算
8.5.3 中央極限定理
8.6 短結
A 常用積分表
B 習題簡答
C 微積分常用詞彙漢英對照表
索引
图书试读
修訂版序
很高興本書有再版的機會。出書以來，我收到不少老師和學生的意見。勘誤的部分連同我自己找到的全部修正了。當然其他錯誤還是難免，這當然是作者的責任。
還有些意見則和本書的書寫策略有關，部分我因應做了調整，改寫原書不理想的地方，把一些性質或定理的條件補得更清楚。但也有部分保留原來的看法，也許藉此再說明一下。這些意見大致可分為正反兩方，一邊希望往比較嚴格的傳統微積分靠攏，另一邊希望寫得更簡單一點，不要放太多證明。我上課傾向把數學當作懸疑長篇小說，故事有方向性，也不乏意外轉折，甚或展開新的故事線，過程則要力保情節一定的結構穩定性。微積分的豐富內容與嚴格完全不乏這些要素，困難的是讓學生產生進入敘事的感受。我發現這層困難有兩方面，恰巧對應到前述的兩種意見。目前的高中數學教學，經常讓學生誤以為數學只是單純的解題，需要熟記的是公式與題型，學生甚至希望大學老師整理講義和考試重點，和高中或補習班一樣。這種認識把數學扭曲得支離破碎，神氣全失，應該是老師的痛苦共識。因此，就像一個好故事，我仍希望把該有的架構和細節呈現出來，至少讓學生的直觀有所依憑，有識的學生至少能略覽微積分理論和功業的大致樣貌。
反過來，傳統數學教科書呈現的是嚴格的概念邏輯網絡，這種邏輯秩序和小說的方向性很不一樣，往往讓數學天份平常的學生很快陷入喪失方向感的迷霧，完全不知何所之、何所為。為了讓故事講得平順有致，本書不把重點擺在比較純數學的繁瑣概念上，而是在好的函數（光滑函數）的前提下，運用微積分的關鍵想法，探討我們可以做出什麼大事。我盡量選擇非理工科的例子，希望能引起本書設定讀者的共鳴。
期盼處於左右意見中間的本書，是一個「允執厥中」的嘗試，不至於陷入左支右絀的窘境。除了再次感謝曾經使用本書的教師和學生，也希望未來的讀者能繼續給我意見。
自序
我們身邊的世界充滿變化，日出月落、星河羅布、峰谷起伏、萬紫千紅、生老病死、家國興衰，無論是時間上還是空間上，都因為各種差異而看到無盡的變化。
變化的現象是人類生存面對的真實處境與考驗，自然成為古來智哲觀察與理解世界的重要課題。變化是隨機的紊亂嗎？還是在變動的表象背後存在著不變的法則、永恆的真理或如如不動的實相。古希臘哲學家如巴門尼德斯、德謨克里特斯、柏拉圖、亞里斯多德都有一套自己對於變化的思想。古中國人也說《易經》的「易」有三層意義：變易、簡易、不易。人類對變化的畏懼、迷惑、好奇與馴服，也造就了許多偽科學、前科學，甚至宗教這些想要克服變化的嘗試。
但是真正勘破變化的祕密，掌握變化的語言與理路，進而從變化裡掘取出莫大威能的，是三百多年前牛頓和萊布尼茲（獨立）發明的微積分，足以一貫的、清晰的、嚴格的探討變化的機轉。而且正因世界充滿各種變化的模式，微積分的發明更提供了一把揭露宇宙秘密的鑰匙。
簡單的說，變化就是差異，而差異就是微分；累積差異可以得到總變化，這就是積分。原則上和人們使用簿記記錄財產的變化時的基本想法差不多。一旦你知道或假設了變化遵循的模式，就能夠依此掌握總體的變化，甚至預測未來。例如假設「銀行的利息和當時存款總數成正比」的複利模式，你就可以用試算表驗算和預測。只是一般人描述變化的慣用方式是「離散的」，一旦企圖將上述想法運用到「連續的」情境，除了一般函數的語言之外，更需要「極限」或「無窮小」的深刻概念，這正是微積分這門課程的關注焦點。
套用「易」的三重意義，微積分理論真的是以簡易的語言、不易的理論探討了變易的現象。
於是打從牛頓用微積分結合力學與萬有引力說明克卜勒行星三大定律開始，微積分在協助人類理解大自然的道路上，就一路風起雲湧、勢如破竹，其應用的廣度和深度都遠遠超出前人的成就。而且正由於物理學結合微積分的成功，讓渺小的人類有信心勘破大化流變下的天機，進而帶動科學和數學雙贏的全面蓬勃發展，產生這三百多年來的科學革命，影響更及於生命科學與社會科學領域，間接牽動了人類社會、經濟、政治體制的更迭。
這本書不可能涵蓋所有和微積分有關的課題，也不是要呈現微積分發展的歷史（微積分中很多概念可以回溯得更久遠），但希望能在這本教科書中，盡可能囊括微積分基本的概念，並且能夠多舉一些適合本書讀者的例子，示範上述的想法，讓讀者在學習上或日後應用上可以受益。
這本微積分內容的安排，和一般微積分課本或許有些不同，底下說明箇中的源由。
1993年起，我連續教了三年微積分乙，這是非理工科的微積分，相當於現在的生命科學、醫學、農學、管理、金融等領域，每年都換英文課本，卻苦無恰當的選擇。
直接使用國外為非理工科學生所寫的應用微積分，對臺灣學生真的太過簡單，補充的教材多了，顯得學生花錢買的教科書形同浪費。若使用理工學生的教科書，又不能照本宣科，因為書中強調的許多內容與學生的背景不符，教材分量也嫌多。微甲課本幾乎本本跟磚頭一樣，又厚又重，很容易領會微乙學生面對這種教科書的惶恐。
第三年後，面對自己手上已經足夠上半年課的補充教材，終於決定直接去寫一本自己認為合適的微積分乙教材。當然這其中也有一些微積分教學上的思考，或許可以跟讀者分享。
首先，既然是在地寫作，似乎沒有必要寫一本不是我母語的英文教科書。微積分理論雖然放諸四海皆準，但是範例卻可以適當的和生活周遭結合。我自己並不覺得讀微積分的英文教科書對英文語言能力會有多大的長進，英文和數學對許多學生都是重課，兩者相結合，可能斲害了本來有數學潛力或興趣的學生。我不想讓學生有一個現成的藉口拒絕微積分。這些想法，放到二十年後的今天，竟然顯得更有道理。
我並不覺得微積分乙等同簡單的微積分，但我的確不想寫一本困難的數學書。數學講究言之有物，事事皆有所本，它的嚴格是美德。但是嚴格並不完全等於邏輯語言，更不是硬梆梆的符號演算。只要相信數學和邏輯不同，數學的直覺就有寬闊的容身之處，這種對直覺的把握才是學生能夠體驗數學確定、合理與美好的根源。微乙學生的世界用到的大部分是性質良好的數學概念，我想以此為基礎去探索微積分，希望可以將重點從「數學家式的喜悅」移回「科學家式的喜悅」，多討論基本概念與有趣的例子。
但是在數學理念上，我還是堅持比高中數學多走了一步。很多學生總以為學數學就是算東西，以為數學就是計算和背公式。但是數學真正厲害的地方，其實顯現在算不出來的時候。我想這是高中數學和大學數學的差別，至少這是一種觀點。
我特別關注兩件事。平均值定理（mean value theorem）是一個不需要算出來的簡單存在性定理，讀者會發現它嵌入在全書的脈絡中，我想讓學生知道即便不算出來或算不出來都不等於無知，事實上我們能知道的還真不少，足以繼續深入思考，發展更多漂亮且重要的理論。
另一是逼近的觀點，在數學中有很多東西真的算不出來，但這不表示要放棄。有些問題的重要性，也根本逼得你不能放棄。這時我們得使用熟悉的簡單工具去「逼近」它，相當程度的解決問題。在我讀書的年代，「應用數學」似乎是個二等字眼，但是對於微乙學生的本科領域，應用是本命所在，解決問題是理所當然，所以我想在這本書中強調這個有益的面向。
這本微積分講義後來因為我忙於別的事情，竟然使用了二十年還沒有出版。這段期間，臺大微積分乙課程的長期使用，給了我很大的鼓勵。終於歷經幾次修改後，在臺大出版中心的鼓勵下決定出版了。也幸好數學和科學不同，原則上永不退流行，這些材料依然適用，只可惜有些本來想再加入的材料一直沒放，只能留待來日，還好現在的材料上課已經很足夠。
這本書的完成，得力於許多朋友的幫忙。首先是我的同事，從康明昌號召微積分教學會議開始，王金龍、王藹農、朱樺、李瑩英、張瑞吉、張海潮、楊宏章、楊維哲、楊樹文、莊正良、蔡宜洵、謝南瑞、薛克民都曾陸陸續續給我改進的意見。數學系幾位助教和助理也提供了很多協助。在我還不會中文打字時，張稚敏幫我完成初期的稿子，後來黃柏嶧、何忠益、李仲敏也陸續加入，還有許多數學系助理的熱心幫忙，原諒我無法一一列名。
另外一定要提的是，楊宏章在早期提供了一個方便的中文數學排版系統，這應該是臺灣最早的中文LATEX環境之一，我也使用早期的數學軟體（matlab）和繪圖軟體（xfig）。現在，很難想像本書的前身，就是這樣呆坐在Sun Server前慢慢排出來的。如今這些軟體和硬體都有快速的進展與變貌，這本書說起來也見證了這段電腦與網路快速發展的時代。
最後，就讀者現在看到的成書，首先要感謝兩位審稿人的鼓勵，他們提供了非常寶貴的修改意見。我以前的微積分助教李其澔畢業後仍然熱心協助我完成本書的最後排版；臺大出版中心的編輯吳育燐提供了許多專業編輯的修改意見，在此一併致謝。
時間會消逝，科技會發展，幸好，數學不會變。
很高興本書有再版的機會。出書以來，我收到不少老師和學生的意見。勘誤的部分連同我自己找到的全部修正了。當然其他錯誤還是難免，這當然是作者的責任。
還有些意見則和本書的書寫策略有關，部分我因應做了調整，改寫原書不理想的地方，把一些性質或定理的條件補得更清楚。但也有部分保留原來的看法，也許藉此再說明一下。這些意見大致可分為正反兩方，一邊希望往比較嚴格的傳統微積分靠攏，另一邊希望寫得更簡單一點，不要放太多證明。我上課傾向把數學當作懸疑長篇小說，故事有方向性，也不乏意外轉折，甚或展開新的故事線，過程則要力保情節一定的結構穩定性。微積分的豐富內容與嚴格完全不乏這些要素，困難的是讓學生產生進入敘事的感受。我發現這層困難有兩方面，恰巧對應到前述的兩種意見。目前的高中數學教學，經常讓學生誤以為數學只是單純的解題，需要熟記的是公式與題型，學生甚至希望大學老師整理講義和考試重點，和高中或補習班一樣。這種認識把數學扭曲得支離破碎，神氣全失，應該是老師的痛苦共識。因此，就像一個好故事，我仍希望把該有的架構和細節呈現出來，至少讓學生的直觀有所依憑，有識的學生至少能略覽微積分理論和功業的大致樣貌。
反過來，傳統數學教科書呈現的是嚴格的概念邏輯網絡，這種邏輯秩序和小說的方向性很不一樣，往往讓數學天份平常的學生很快陷入喪失方向感的迷霧，完全不知何所之、何所為。為了讓故事講得平順有致，本書不把重點擺在比較純數學的繁瑣概念上，而是在好的函數（光滑函數）的前提下，運用微積分的關鍵想法，探討我們可以做出什麼大事。我盡量選擇非理工科的例子，希望能引起本書設定讀者的共鳴。
期盼處於左右意見中間的本書，是一個「允執厥中」的嘗試，不至於陷入左支右絀的窘境。除了再次感謝曾經使用本書的教師和學生，也希望未來的讀者能繼續給我意見。
自序
我們身邊的世界充滿變化，日出月落、星河羅布、峰谷起伏、萬紫千紅、生老病死、家國興衰，無論是時間上還是空間上，都因為各種差異而看到無盡的變化。
變化的現象是人類生存面對的真實處境與考驗，自然成為古來智哲觀察與理解世界的重要課題。變化是隨機的紊亂嗎？還是在變動的表象背後存在著不變的法則、永恆的真理或如如不動的實相。古希臘哲學家如巴門尼德斯、德謨克里特斯、柏拉圖、亞里斯多德都有一套自己對於變化的思想。古中國人也說《易經》的「易」有三層意義：變易、簡易、不易。人類對變化的畏懼、迷惑、好奇與馴服，也造就了許多偽科學、前科學，甚至宗教這些想要克服變化的嘗試。
但是真正勘破變化的祕密，掌握變化的語言與理路，進而從變化裡掘取出莫大威能的，是三百多年前牛頓和萊布尼茲（獨立）發明的微積分，足以一貫的、清晰的、嚴格的探討變化的機轉。而且正因世界充滿各種變化的模式，微積分的發明更提供了一把揭露宇宙秘密的鑰匙。
簡單的說，變化就是差異，而差異就是微分；累積差異可以得到總變化，這就是積分。原則上和人們使用簿記記錄財產的變化時的基本想法差不多。一旦你知道或假設了變化遵循的模式，就能夠依此掌握總體的變化，甚至預測未來。例如假設「銀行的利息和當時存款總數成正比」的複利模式，你就可以用試算表驗算和預測。只是一般人描述變化的慣用方式是「離散的」，一旦企圖將上述想法運用到「連續的」情境，除了一般函數的語言之外，更需要「極限」或「無窮小」的深刻概念，這正是微積分這門課程的關注焦點。
套用「易」的三重意義，微積分理論真的是以簡易的語言、不易的理論探討了變易的現象。
於是打從牛頓用微積分結合力學與萬有引力說明克卜勒行星三大定律開始，微積分在協助人類理解大自然的道路上，就一路風起雲湧、勢如破竹，其應用的廣度和深度都遠遠超出前人的成就。而且正由於物理學結合微積分的成功，讓渺小的人類有信心勘破大化流變下的天機，進而帶動科學和數學雙贏的全面蓬勃發展，產生這三百多年來的科學革命，影響更及於生命科學與社會科學領域，間接牽動了人類社會、經濟、政治體制的更迭。
這本書不可能涵蓋所有和微積分有關的課題，也不是要呈現微積分發展的歷史（微積分中很多概念可以回溯得更久遠），但希望能在這本教科書中，盡可能囊括微積分基本的概念，並且能夠多舉一些適合本書讀者的例子，示範上述的想法，讓讀者在學習上或日後應用上可以受益。
這本微積分內容的安排，和一般微積分課本或許有些不同，底下說明箇中的源由。
1993年起，我連續教了三年微積分乙，這是非理工科的微積分，相當於現在的生命科學、醫學、農學、管理、金融等領域，每年都換英文課本，卻苦無恰當的選擇。
直接使用國外為非理工科學生所寫的應用微積分，對臺灣學生真的太過簡單，補充的教材多了，顯得學生花錢買的教科書形同浪費。若使用理工學生的教科書，又不能照本宣科，因為書中強調的許多內容與學生的背景不符，教材分量也嫌多。微甲課本幾乎本本跟磚頭一樣，又厚又重，很容易領會微乙學生面對這種教科書的惶恐。
第三年後，面對自己手上已經足夠上半年課的補充教材，終於決定直接去寫一本自己認為合適的微積分乙教材。當然這其中也有一些微積分教學上的思考，或許可以跟讀者分享。
首先，既然是在地寫作，似乎沒有必要寫一本不是我母語的英文教科書。微積分理論雖然放諸四海皆準，但是範例卻可以適當的和生活周遭結合。我自己並不覺得讀微積分的英文教科書對英文語言能力會有多大的長進，英文和數學對許多學生都是重課，兩者相結合，可能斲害了本來有數學潛力或興趣的學生。我不想讓學生有一個現成的藉口拒絕微積分。這些想法，放到二十年後的今天，竟然顯得更有道理。
我並不覺得微積分乙等同簡單的微積分，但我的確不想寫一本困難的數學書。數學講究言之有物，事事皆有所本，它的嚴格是美德。但是嚴格並不完全等於邏輯語言，更不是硬梆梆的符號演算。只要相信數學和邏輯不同，數學的直覺就有寬闊的容身之處，這種對直覺的把握才是學生能夠體驗數學確定、合理與美好的根源。微乙學生的世界用到的大部分是性質良好的數學概念，我想以此為基礎去探索微積分，希望可以將重點從「數學家式的喜悅」移回「科學家式的喜悅」，多討論基本概念與有趣的例子。
但是在數學理念上，我還是堅持比高中數學多走了一步。很多學生總以為學數學就是算東西，以為數學就是計算和背公式。但是數學真正厲害的地方，其實顯現在算不出來的時候。我想這是高中數學和大學數學的差別，至少這是一種觀點。
我特別關注兩件事。平均值定理（mean value theorem）是一個不需要算出來的簡單存在性定理，讀者會發現它嵌入在全書的脈絡中，我想讓學生知道即便不算出來或算不出來都不等於無知，事實上我們能知道的還真不少，足以繼續深入思考，發展更多漂亮且重要的理論。
另一是逼近的觀點，在數學中有很多東西真的算不出來，但這不表示要放棄。有些問題的重要性，也根本逼得你不能放棄。這時我們得使用熟悉的簡單工具去「逼近」它，相當程度的解決問題。在我讀書的年代，「應用數學」似乎是個二等字眼，但是對於微乙學生的本科領域，應用是本命所在，解決問題是理所當然，所以我想在這本書中強調這個有益的面向。
這本微積分講義後來因為我忙於別的事情，竟然使用了二十年還沒有出版。這段期間，臺大微積分乙課程的長期使用，給了我很大的鼓勵。終於歷經幾次修改後，在臺大出版中心的鼓勵下決定出版了。也幸好數學和科學不同，原則上永不退流行，這些材料依然適用，只可惜有些本來想再加入的材料一直沒放，只能留待來日，還好現在的材料上課已經很足夠。
這本書的完成，得力於許多朋友的幫忙。首先是我的同事，從康明昌號召微積分教學會議開始，王金龍、王藹農、朱樺、李瑩英、張瑞吉、張海潮、楊宏章、楊維哲、楊樹文、莊正良、蔡宜洵、謝南瑞、薛克民都曾陸陸續續給我改進的意見。數學系幾位助教和助理也提供了很多協助。在我還不會中文打字時，張稚敏幫我完成初期的稿子，後來黃柏嶧、何忠益、李仲敏也陸續加入，還有許多數學系助理的熱心幫忙，原諒我無法一一列名。
另外一定要提的是，楊宏章在早期提供了一個方便的中文數學排版系統，這應該是臺灣最早的中文LATEX環境之一，我也使用早期的數學軟體（matlab）和繪圖軟體（xfig）。現在，很難想像本書的前身，就是這樣呆坐在Sun Server前慢慢排出來的。如今這些軟體和硬體都有快速的進展與變貌，這本書說起來也見證了這段電腦與網路快速發展的時代。
最後，就讀者現在看到的成書，首先要感謝兩位審稿人的鼓勵，他們提供了非常寶貴的修改意見。我以前的微積分助教李其澔畢業後仍然熱心協助我完成本書的最後排版；臺大出版中心的編輯吳育燐提供了許多專業編輯的修改意見，在此一併致謝。
時間會消逝，科技會發展，幸好，數學不會變。
用户评价
评分
這本書在我心中，是一個既愛又恨的存在。愛它的是它的邏輯嚴謹性，恨它的是它的「冷漠」。我記得那時候，班上有個同學因為家裡經濟狀況不好，只能借閱學校圖書館的舊版，結果發現條例和修訂版有細微差異，導致解題時常出錯，可見這本書的精準度要求有多高。它幾乎沒有任何「廢話」，每一句話都是為了建立數學結構而存在的。這對於追求效率的台灣學生來說，本應是好事。但問題是，對於那些需要更多心理解讀和動機建立的學習者來說，它顯得過於抽離。你感覺不到作者想「教你」，而是感覺你在「自學」一套已經建構好的體系。我當時為了能跟上進度，不得不買了兩本翻譯的輔助書籍來對照著看，用來理解書中那些極簡到近乎禪意的證明過程。如果未來再版，我會建議編者增加一些跨學科的應用案例，讓讀者明白這些冰冷的公式，究竟在現實世界中扮演了什麼樣的角色，而不只是成為期末考的篩選工具。
评分要評價這本微積分用書，我必須從「應用」的角度來看待它。雖然它被視為基礎教材，但書中後半部關於泰勒展開式和微分方程的入門章節，其實涵蓋了非常實用的工程概念。我後來去電子業工作後才發現，很多基礎的訊號處理和系統分析，其核心概念都能在這本書的某個角落找到源頭。舉例來說，它在處理連鎖律（Chain Rule）時，不僅僅是給出公式，而是用好幾個生活化的例子（當然，那時候的生活化可能指的是物理實驗室裡的例子）來闡釋其必要性。但不得不提，或許是年代久遠的關係，書中有些數學物理的背景知識沒有交代得足夠現代，比如涉及向量場的介紹時，相較於現在的教材，對空間概念的視覺化輔助較為薄弱。我當時必須自己上網找很多三維空間的動畫來輔助理解那些曲面積分的意義。總之，它在理論上無可挑剔，但在「數位化輔助學習」這塊，確實顯得有點力不從心。
评分這本書啊，說實在的，拿到手的時候，我心裡就有個底了。畢竟在我們這邊讀書，微積分是個繞不開的坎，多少人被這個「乙」字搞得焦頭爛額。我記得我當初選課的時候，教授就特別強調，這本是經典，但絕對不好啃。翻開書頁，那種熟悉的、帶著點年代感的印刷品質，一下子把我拉回了大學時代的教室。書裡的例題編排得非常紮實，每一個步驟都交代得清清楚楚，對於那時候剛接觸極限和微分概念的學生來說，簡直是救命稻草。不過，我也發現，對於一些比較「靈活」的題目，書裡提供的解法就顯得有點制式化了，少了那麼點讓人茅塞頓開的「巧思」。如果你是那種追求速度、想在考試中拿高分的學生，可能還需要搭配一些坊間的參考書來補強解題技巧。總體來說，它是一本非常「正統」的教科書，適合打穩基礎，但要說到深入探討背後的哲學意涵，可能就得再往上走一層樓了。那時候我們班上好多人都戲稱，把這本書從頭到尾扎實地算完一遍，就算暑假沒去實習，暑假作業也算交完了。
评分哎呦，這本課本的排版風格，老實說，蠻「硬核」的。我記得那時候補習班老師在介紹這本的時候，直接用「磚頭」來形容它的重量和內容的密度。它最讓我印象深刻的是，在介紹傅立葉級數那幾章，內容的廣度和深度是當時市面上其他教材難以比擬的。很多我們後來在研究所才接觸到的進階概念，它其實在修訂版裡都已經有初步的鋪陳了。但是，這也帶來了一個問題，就是對於基礎不太穩固的同學來說，簡直是災難一場。我記得有一次為了弄懂那個曲面積分的小節，我盯著書看了整整兩個晚上，光是那些希臘字母和積分符號就能把我搞到頭暈眼花。它不太會跟你「喊話」，你知道嗎？它就是把知識擺在那裡，等著你去啃。不像現在很多新出的教材，會用很多圖示、彩色的編排來輔助理解，這本就是標準的黑白文字世界。所以，如果你是視覺學習者，或者對數學抱持著敬畏多於熱情，讀起來會比較辛苦，但只要能撐過去，你對微積分的掌握度絕對是全班頂尖的。
评分說真的，這本《微積分乙（修訂版）》在我們那一代理工科學生之間，簡直是個傳說級的存在。它最大的價值，或許不在於它提供了多少「新知」，而在於它如何精準地體現了那個時代數學教育的標準和嚴謹性。我特別懷念它在處理「收斂性」和「不連續點」時所展現的細膩度。教授們似乎都默契地認定，只要學生把這本書上的定義和定理背得滚瓜爛熟，基本上就不太可能在期末被扣冤枉分。我記得我拿到這本書時，封面其實有點褪色，顯然是前幾屆學長姐傳下來的「古董」。書邊緣有很多密密麻麻的手寫註記，有些是計算過程，有些則是看不懂的潦草數學符號，但這些痕跡反而讓這本書更有「人味」。它代表著一代又一代人曾經在這裡掙扎、奮鬥的證明。唯一的缺點或許是，它的符號選用風格比較偏向傳統，對於習慣了更現代化符號系統的年輕人來說，初次接觸可能需要花點時間去適應那種排版邏輯。
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