微積分（10版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Ron Larson

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好的，这是一本名为《高等代数基础与应用》的图书简介，旨在涵盖除微积分基础概念之外的线性代数、矩阵理论、向量空间等高等数学核心内容。 --- 图书名称：《高等代数基础与应用》（第5版） 内容简介 《高等代数基础与应用》（第5版）是一本专为数学、物理、工程、计算机科学及经济学等领域本科生和研究生设计的教材。本书全面深入地阐述了高等代数的核心概念、理论框架及其在现代科学与技术中的广泛应用。相较于侧重极限、导数和积分的微积分课程，本书聚焦于线性结构、多维空间以及代数运算的抽象化与系统化。 本书的结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助读者建立扎实的代数思维，并熟练掌握处理多变量、多约束问题的数学工具。我们摒弃了传统教材中可能存在的过度冗余的计算练习，转而强调理论的深刻理解、概念的内在联系以及实际问题的建模能力。 第一部分：基础概念与域的结构 (Chapters 1-3) 本部分为后续所有高级主题奠定坚实的代数基础。 第1章：数系与抽象代数入门 本章首先回顾并拓展了有理数、实数和复数域的性质。重点在于引入域 (Field) 的概念，考察其封闭性、结合律、分配律以及乘法逆元的定义。随后，我们引入环 (Ring) 的基本概念，作为更一般化的代数结构。本章的难点在于抽象定义的理解，通过具体的数系例子，展示代数结构是如何约束和定义运算行为的。我们避免了对连续性、收敛性等微积分核心概念的讨论，而是专注于代数操作的完备性与一致性。 第2章：多项式环与唯一分解 本章深入研究多项式在不同域上的性质。我们详细阐述了多项式的加法、乘法、除法运算，并严格证明了多项式带余除法的唯一性。随后，核心内容聚焦于因式定理和余数定理，以及在特定域（如复数域 $mathbb{C}$）上多项式可以完全分解为一次因式的代数基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)。对于特征为零的域，本章阐明了多项式的唯一分解性质，这为后续讨论特征值和特征向量的代数重数打下了基础。 第3章：线性方程组的理论与高斯消元法 本章是本书连接理论与计算的桥梁。我们从最基础的线性方程组开始，系统地介绍了行阶梯形 (Row Echelon Form) 和简化行阶梯形 (Reduced Row Echelon Form) 的概念。通过高斯-约旦消元法，我们不仅给出了求解线性方程组的有效算法，更重要的是，从理论上证明了线性方程组解的存在性与唯一性条件（即系数矩阵的秩）。本章严格区分了增广矩阵的秩与系数矩阵的秩，并讨论了齐次与非齐次方程组的解空间结构。 第二部分：线性空间与线性变换 (Chapters 4-6) 本部分是高等代数的核心，引入了现代线性代数的抽象框架——向量空间。 第4章：向量空间与子空间 本章正式引入线性空间（或称向量空间） 的公理化定义。我们考察了在不同结构下（如函数空间、矩阵空间）满足这些公理的具体实例。核心概念包括线性组合、线性相关性与线性无关性。通过极大线性无关组的构造，我们定义了向量空间的维数 (Dimension)。本章特别强调了子空间的概念，并探讨了和子空间、交子空间的性质及维度公式。我们完全避开了对无限维空间的拓扑依赖，严格限制在有限维的代数框架内。 第5章：基与坐标变换 在确定了向量空间的维数后，本章致力于如何“测量”向量。我们定义了基 (Basis)，并基于基，引入了向量在特定基下的坐标表示。本章的关键在于坐标变换公式。当基底发生变化时，向量的坐标如何通过一个特定的矩阵——过渡矩阵（或称基变换矩阵）——进行转换。这为后续的线性变换矩阵表示的唯一性提供了必要的代数基础。 第6章：线性变换与矩阵表示 本章将抽象的线性映射（线性变换）与具体的矩阵运算紧密联系起来。我们定义了线性变换的核（Null Space，或称零空间）和像（Range Space，或称像空间），并严格证明了秩-零化度定理 (Rank-Nullity Theorem)。关键成果是证明了对于有限维向量空间，任意线性变换都可以被表示为一个唯一的矩阵，该矩阵的选取依赖于选定的基。本章的重点在于理解矩阵乘法如何对应于线性变换的复合运算。 第三部分：矩阵理论与特征值问题 (Chapters 7-9) 本部分侧重于矩阵的深入分析，特别关注其结构特性以及在微分方程和动力系统中的应用。 第7章：矩阵的运算与等价性 本章详细讨论了矩阵的加法、数乘、乘法，并引入了矩阵的秩 (Rank) 这一核心概念，将其与线性变换的像空间维度联系起来。我们探讨了相似变换和等价变换，明确了在不同基下，线性变换的矩阵表示之间存在什么样的关系。本章为理解矩阵的规范形（如Jordan标准型）奠定了矩阵等价性的基础。 第8章：特征值与特征向量 本章是全书的理论高潮之一。我们引入了特征值 (Eigenvalue) 和特征向量 (Eigenvector) 的概念，它们描述了线性变换作用下保持方向不变的向量。我们通过求解特征多项式来确定特征值，并讨论了特征值的代数重数与几何重数的关系。本章强调了矩阵对角化的充分必要条件——线性无关的特征向量组。 第9章：对角化、相似理论与Jordan标准型 本章在第8章的基础上，深入研究矩阵的结构。我们提供了矩阵可对角化的判定准则。对于不可对角化的情形，本章引入了Jordan标准型 (Jordan Canonical Form)，这是任何方阵在线性代数中最简洁的表示形式。我们详细解释了广义特征向量和分块对角化的概念，展示了如何通过这一规范形来彻底解析矩阵的结构，即便在特征值重数大于1且几何重数不足的情况下。 第四部分：内积空间与二次型 (Chapters 10-11) 本部分将代数结构提升到更具几何直觉的内积空间，并探讨二次型的应用。 第10章：内积空间与正交性 本章引入了内积 (Inner Product) 的概念，使其可以定义长度和角度（如欧几里得空间中的点积推广）。核心内容是施密特正交化过程 (Gram-Schmidt Orthonormalization)，用于将任意基转换为正交基或标准正交基。我们阐述了正交投影的概念，并证明了正交基的优越性。本章还介绍了正交补空间和正交矩阵的性质。 第11章：对称矩阵与二次型 本章聚焦于内积空间在实数域上的重要应用。我们证明了实对称矩阵具有实特征值，并且总能被一个正交矩阵对角化（谱定理）。在此基础上，我们研究二次型的矩阵表示，并使用合同变换将二次型化为最简（对角）形式。我们讨论了正定、负定等概念，这些在优化理论和物理稳定性分析中至关重要。 --- 本书特色与目标读者 《高等代数基础与应用》的撰写完全基于代数结构和线性空间的抽象理论，不涉及任何关于函数变化率、极限过程或积分累积的微积分主题。本书旨在为读者提供一个坚实、独立的代数基础，使他们能够自如地驾驭多维空间中的线性问题，为后续的泛函分析、数值方法和高级理论物理打下无懈可击的代数基石。 本书适合作为大学数学、物理、航空航天、电子工程、以及数据科学等专业学生两年期高等代数课程的教材，或作为研究生入门的参考书。每章后附有大量精心设计的习题，旨在巩固计算技能并激发理论洞察力。

评分☆☆☆☆☆

然而，客觀來說，這套書並非完美無瑕，尤其是對於已經具備一定微積分基礎的讀者而言，它或許顯得有些「冗長」。我個人是屬於那種「想快點看到高階應用」的類型，所以當我翻到介紹三角函數積分的章節時，那些詳盡到連每一步拆解都寫出來的過程，說真的，讓我有點不耐煩。它太過於謹慎了，恨不得把讀者當成從未接觸過任何高等數學的學生來教導。如果你是資優生，或者之前在補習班已經被操練過一遍基本技巧，那麼這本書的前半部分（單變數部分）可能會讓你覺得拖沓。我記得有幾次，我跳著看，想直接看後面的多變數微積分，結果發現，因為跳過了幾個關鍵的「橋接」部分，導致在理解多重積分中的變數變換（Jacobian）時，產生了概念上的斷層。這說明了作者的設計邏輯其實是「強迫你打好地基」，不允許你偷工減料。所以，我的建議是，如果你是初學者，請務必老實地、一步一步地跟著它走；但如果你是複習者，你可能需要花點時間習慣它這種「慢工出細活」的敘事節奏，或者直接利用它的索引功能，精準定位你需要加強的章節。

评分☆☆☆☆☆

總體來說，如果你在尋找一本能夠陪伴你度過整個大學微積分學習生涯，並且未來還能作為工具書長期保留的教材，那麼這本《微積分》（第十版）絕對是值得投資的。它不是那種追求「新穎」或「花俏」的入門讀物，而是一本厚重、可靠、且經過時間考驗的「百科全書」級別的教材。它的深度和廣度，足以應付從基礎微積分到部分高等微積分的課程需求，而且它建立起來的數學思維框架，對未來學習微分方程、複變函數乃至更深入的數學領域都有著基礎性的指導作用。雖然價格不便宜，但考慮到它能提供的學習效益和知識的全面性，我認為這筆投資是非常划算的。我身邊很多畢業多年的學長姐，他們的書架上都還留著這套書，當他們遇到工作上的複雜計算難題時，還是會習慣性地翻開它來查找最初的定義和推導過程。這就證明瞭它的生命力所在——它賣的不僅僅是知識，更是一種長期的學習夥伴關係。

评分☆☆☆☆☆

從排版和視覺設計的角度來看，這第十版相較於早期的版本，進步是顯而易見的。在這個資訊爆炸的時代，一本教科書如果內容紮實但排版混亂，那簡直是種罪過。這本書的內文清晰度很高，字體選用適中，不會讓人有閱讀疲勞感。最讓我欣賞的是它對數學符號和圖形的處理：圖表製作精良，線條分明，色彩運用得當但不花俏。舉例來說，在解釋偏導數時，書中會用三維空間的圖形來輔助理解，那些曲面的繪製和座標軸的標示都做得非常到位，讓你一眼就能抓住「在某一點上沿著某個方向的變化率」的立體概念。更別提那豐富的附錄部分，它不僅僅是公式的堆砌，更像是一本小型的「數學工具箱」，裡面包含了向量代數的快速回顧、常見積分公式表，甚至是關於複數在微積分中的初步應用。這種對細節的關注，是這本教科書能屹立不搖這麼多年，並且持續更新迭代的關鍵。它照顧到了讀者在不同學習階段可能產生的各種「小需求」。

评分☆☆☆☆☆

說到這本經典教材的實戰應用層面，那真的是讓我這個工程科的學生大開眼界。我們都知道，微積分的厲害之處在於「變動量」的處理，但光有理論，在面對真實世界的複雜系統時，還是會顯得力不從心。這本書的例題設計，比起坊間其他版本，簡直是「有料」太多了。它不只是停留在計算面積和體積這種基礎題型，而是大量的引入了物理學、經濟學乃至生物學中的實際問題。舉個例子，在講述級數收斂性時，書中穿插了一個關於「放射性物質衰變速度」的模型建構，以及如何利用泰勒展開式來近似計算某種債券的價值變動，這些內容在其他只強調純數學推導的書裡幾乎看不到。這讓我體會到，微積分其實是所有理工學科的「內功心法」。而且，書中的習題難度分級非常明確，從基礎暖身到需要花費一整個下午才能解開的挑戰題都有。特別要稱讚的是，它對「證明」的處理方式，既保持了數學的嚴謹性，又不會讓讀者感覺像是在啃石頭，它會引導你思考證明背後的「直覺動機」，而不是死板地要求你複製步驟。這對我們未來要進行研究的人來說，是無價的訓練。

评分☆☆☆☆☆

這本《微積分》（第十版），說實在話，我剛拿到手的時候，內心是有些忐忑的。畢竟，微積分這門學問，對理工科的學生來說，簡直就是一道繞不開的「天險」，而這第十版，厚得像磚頭一樣，光是翻閱目錄，就覺得頭皮發麻。不過，實際開始啃讀後，才發現它對基礎概念的闡述，那種細膩程度，簡直是教科書裡的「神隊友」。特別是對於極限和連續性的介紹，作者並沒有一開始就丟出那些抽象難懂的 $epsilon-delta$ 定義，而是循序漸進，用生活化的例子，例如火車的進站、水龍頭的出水速度變化，慢慢引導讀者進入那個嚴謹的數學世界。我記得最清楚的是，以前我學導數的時候，總是死記硬背求導公式，對其幾何意義模糊不清。但這本書不同，它花了大量的篇幅去解釋斜率如何與瞬時變化率銜接，圖形的切線如何定義了導數的本質。那種「豁然開朗」的感覺，比我後來自己摸索出來的理解要深刻得多。坦白說，如果你是第一次接觸微積分，或者想重新鞏固高中數學基礎，這本書的「入門體驗」絕對是業界頂尖的，它讓我覺得，原來數學不只是枯燥的符號堆砌，而是一種描述世界運作的優雅語言。