圖解數學：圖像式教學，六大章節，184個國中、小必備數學知識，包含基礎數學概論、加減乘除、分數、測量、幾何、統計、代數 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

英國DK編輯部

图书标签:

• 数学
• 图解
• 小学数学
• 初中数学
• 基础数学
• 学习辅导
• 教材
• 科普
• 教育
• 算术

探索數學的宏偉殿堂：解析概念，駕馭運算，洞察結構 這是一部旨在為讀者開啟數學思維大門的專著，它深入探討了高等數學領域的精妙結構與應用，完全聚焦於超越國中、小學基礎知識範疇的前沿學科。本書的目標讀者群鎖定在對嚴謹數學理論有濃厚興趣的愛好者、理工科學生，以及需要鞏固大學數學基礎的專業人士。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在引導讀者從抽象概念的建立，逐步過渡到複雜問題的解析能力。 全書共劃分為六大核心模塊，涵蓋了數學科學的關鍵支柱，總計約涵蓋了超過兩百個關鍵概念的詳盡闡述與深度探討。 --- 第一章：微積分的基石——極限、連續性與導數的精確定義 (約佔全書篇幅的 20%) 本章深入探討了微積分學的嚴格基礎，著重於 $varepsilon-delta$ 語言的掌握，這是理解現代數學分析的必要門檻。我們將從集合論的基礎出發，定義實數系統的完備性，並以此為依託，建立極限的嚴格框架。 核心內容詳述： 1. 拓撲初步與實數軸結構： 探討開區間、閉區間、鄰域、極限定點（聚點）等基本拓撲概念在 $mathbb{R}$ 上的體現。 2. 極限的嚴格論證： 詳解函數在某點的極限存在的 $varepsilon-delta$ 判據，並對特定函數序列的極限進行嚴格證明，區分右極限與左極限的異同。 3. 連續性與一致連續性： 不僅介紹函數的點態連續性定義，更將深入探討一致連續性，並通過反例說明兩者區別，探討在緊緻集上的連續函數性質。 4. 導數的定義與應用： 嚴格定義一階導數，探討高階導數的存在性。深入分析導數在局部最佳值（極值）判斷中的作用，重點討論費馬定理、羅爾定理（Rolle's Theorem）及其推廣——拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）的證明與應用，而非僅限於計算。 5. 微分的幾何意義與線性近似： 將微分視為最佳線性逼近，探討泰勒定理（Taylor's Theorem）的拉格朗日餘項形式與柯西餘項形式，並利用高階泰勒展開式分析函數的彎曲性（凹凸性）。 --- 第二章：積分學的深化——黎曼積分、不定積分的技巧與變數變換 (約佔全書篇幅的 25%) 本章將微積分的第二大支柱——積分學，從基礎的面積計算提升到嚴謹的勒貝格積分思想的初步接觸，並著重於計算技巧的系統化整理。 核心內容詳述： 1. 黎曼積分的定義與性質： 詳述上、下達布積分（Darboux Sums），定義可積函數，探討連續函數和單調函數的可積性。探討積分的線性性、單調性及區間可加性。 2. 微積分基本定理的嚴謹闡述： 詳細論證牛頓-萊布尼茨公式的兩個核心部分（微分與積分的互逆關係），並探討其適用條件。 3. 不定積分的系統化計算方法： 涵蓋分部積分法（Integration by Parts）的多次應用、三角代換、萬能代換（Weierstrass Substitution）等高級技巧。重點在於處理有理函數的三角代換，例如使用歐拉代換法處理根式積分。 4. 定積分的應用拓展： 應用定積分計算旋轉體的體積（圓盤法與殼層法）、平面曲線的弧長，並引入旋轉曲面的面積計算。 5. 廣義積分的收斂性判斷： 介紹瑕積分（Improper Integrals）的概念，重點討論判別廣義積分收斂性的比較判別法和極限比較判別法，區分條件收斂與絕對收斂。 --- 第三章：線性代數的結構——向量空間、矩陣變換與特徵分析 (約佔全書篇幅的 25%) 本章是理解現代科學與工程學的基石，它要求讀者徹底擺脫對數字的依賴，轉而關注空間中的線性結構。 核心內容詳述： 1. 向量空間的抽象定義： 嚴格定義向量空間的公理體系，探討子空間的判斷準則，並引入線性組合、線性相關性、基底與維度的概念。 2. 線性映射與矩陣表示： 深入分析線性變換的性質，理解矩陣如何作為線性映射在特定基底下的表示。重點討論核空間（Kernel）和像空間（Image）的維度關係（秩-零化度定理）。 3. 行列式的計算與幾何意義： 闡述行列式的代數定義及其在向量組外積、體積變換中的幾何意義，重點介紹通過初等行/列變換計算行列式。 4. 特徵值與特徵向量： 詳解如何通過特徵方程求得特徵值，並理解特徵向量在變換下的不變方向性。本節將重點討論可對角化條件（相似矩陣的判斷），以及對稱矩陣的譜分解定理。 5. 二次型與正交對角化： 介紹二次型（Quadratic Forms）的矩陣表示，並運用施密特正交化過程，將二次型轉化為標準型，理解其在幾何上的意義（如橢圓、雙曲線的標準化）。 --- 第四章：微分方程的動態模型——一階、高階常微分方程的求解與應用 (約佔全書篇幅的 15%) 本章聚焦於描述自然界和工程學中動態系統的核心數學工具——常微分方程（ODE）。 核心內容詳述： 1. 一階 ODE 的分類與求解： 詳解可分離變數法、齊次方程、精確方程（Integrating Factor）以及一階線性微分方程的通解結構。 2. 高階線性常係數 ODE： 深入研究二階及以上線性齊次與非齊次方程的求解法，重點討論常數變易法和未定係數法。 3. 常係數齊次方程的特徵根分析： 分析特徵方程根的實根、重根、共軛複根對應的通解形式，並探討阻尼振盪等物理模型的數學表述。 4. 拉普拉斯變換在 ODE 中的應用： 引入拉普拉斯變換作為求解含有初始條件的非齊次 ODE 的強大工具，特別適用於階躍函數和狄拉克 $delta$ 函數源項。 --- 第五章：多變數微積分——偏導數、方向導數與多元函數優化 (約佔全書篇幅的 10%) 本章將單變數微積分的工具擴展到高維空間，為理解多維空間中的變化率和極值問題奠定基礎。 核心內容詳述： 1. 多變數函數的極限與偏導數： 定義空間中的極限，區分偏導數與全微分。闡述方向導數的概念及其與梯度向量的關係。 2. 鏈式法則與梯度向量： 系統推導多變數鏈式法則在複合函數中的應用。深入理解梯度向量指向函數值增加最快的方向。 3. 多元函數的極值問題： 應用二階偏導數構成的海森矩陣（Hessian Matrix）來判斷多元函數的局部極大值、極小值或鞍點。 4. 條件極值與拉格朗日乘數法： 詳細介紹拉格朗日乘數法在求解受約束優化問題中的嚴謹步驟與理論依據。 --- 第六章：解析數論基礎——同餘關係、模運算與數論在密碼學中的雛形 (約佔全書篇幅的 5%) 本章提供一個完全不同於分析和代數視角的數學分支，專注於整數的性質，為更深層次的數學應用做準備。 核心內容詳述： 1. 同餘關係的定義與基本性質： 引入模 $n$ 的同餘關係，探討同餘式的加法與乘法運算規則。 2. 歐拉定理與費馬小定理： 嚴格證明費馬小定理（當 $p$ 為質數時 $a^{p-1} equiv 1 pmod{p}$）及其推廣——歐拉定理，理解歐拉 $phi$ 函數的計算。 3. 中國剩餘定理（CRT）： 詳細闡述 CRT 的構造性證明和應用，如何同時求解一組線性同餘方程組。 4. 線性同餘方程的求解： 在模 $n$ 下，討論形如 $ax equiv b pmod{n}$ 的方程何時有解，以及解的個數判定準則。 --- 總體而言，本書內容高度依賴讀者具備紮實的代數運算能力和對抽象邏輯的接受度，其深度遠超基礎代數、基礎幾何或基礎統計學的範疇，旨在引領讀者掌握大學理工科專業中的數學核心，理解數學語言的精確性與強大推導力。

评分☆☆☆☆☆

老實說，我對數學的印象一直停留在那種公式背了就對的年代，長大後工作需要用到數字的地方不多，頂多就是算個稅金，但最近接手家裡的一些財務規劃，突然發現自己對「代數」和「統計」的概念幾乎是空白的。我買這本書，其實是想幫自己「惡補」一下，順便看看現代的數學教育到底在教什麼。這本書的厲害之處就在於，它真的做到「圖解」這兩個字。特別是「代數」那單元，以前學的未知數 $x$ 和 $y$ 根本搞不懂它們代表什麼實質意義，結果這裡是用天平的平衡原理來解釋等式，瞬間茅塞頓開！原來數學不只是計算，它更是一種邏輯推理的藝術。而且，它裡面對「測量」單元的處理也很細膩，不只是教公式，還教你如何實際動手去測量，體會單位換算的麻煩與樂趣。我個人最喜歡的是它編排的流暢度，從最基本的概念一步步往上爬升，中間穿插的那些小漫畫和實際案例，讓我這個中年阿姨都能看得津津有味。如果當年學校教科書能有這種設計，我現在可能已經是個數學家了（開玩笑的，但至少不會那麼痛苦就是了）。

评分☆☆☆☆☆

這本書拿到手，我整個眼睛都亮了！我女兒是那種看到數字就頭痛的小朋友，平常補習班教的那些死板板的公式，對她來說簡直是天書。每次看到她皺著眉頭苦臉的樣子，當媽的我都很心疼。但這本《圖解數學：圖像式教學》真的太神了！它把國中、小那些拗口的數學觀念，用超直觀的圖畫把它們串起來。像「分數」那塊，以前怎麼解釋「三分之二」都讓她聽不懂，結果這本書用顏色和切塊的方式一畫出來，她馬上就領悟了。「加減乘除」也不再只是單純的運算，而是用生活化的場景去帶領，像是買東西找零錢的樣子，讓抽象的數學突然變得好貼近生活。我本來還擔心是不是圖案太多，反而會分散注意力，結果完全不會，那些圖畫根本就是「翻譯機」，把數學語言直接轉成我們看得懂的白話文。看到她終於願意主動拿起數學課本，而不是一臉「世界末日」的表情，身為家長真的覺得這本書花得太值得了。而且裡面涵蓋的廣度也夠，從最基礎的概論到後面的幾何、統計都有碰，感覺是一套可以陪孩子從國小用到國中的寶典，不會買了沒多久就過時了。

评分☆☆☆☆☆

這本《圖解數學》真的是一本「救火隊」等級的教材。我有一個表弟，他最近在準備轉學考，但基礎實在太不穩固，特別是國中階段的基礎數學，很多觀念像是「分數」的通分、或是「幾何」裡面的角度計算，他總是搞不清楚來龍去脈。我們本來想找家教，但費用太高，而且家教老師的說法有時候還是太偏學術化了。後來透過朋友介紹，我們嘗試用這本書來輔助。它最棒的地方是，它不是單純的題目集，它更像是一位耐心十足的老師，用最簡單的方式把知識點「拆解」開來。例如在處理「加減乘除」的運算順序時，它甚至用到了類似程式邏輯的流程圖來呈現，讓他馬上理解「乘除優先於加減」背後的邏輯依據。而且，書中提到的「統計」單元，也把平均數、中位數這些概念用得很生活化，像是班級分數分布圖，讓他感覺這些知識是真實存在於他生活中的。經過這本書的洗禮，他對數學的恐懼感大幅降低，至少現在願意主動翻開書本面對這些挑戰了。

评分☆☆☆☆☆

對於我們這些在台灣教育體系裡摸爬滾打過來的家長來說，數學常常跟「分數」、「補考」畫上等號，總覺得那是一條繞不開的坎。我買這本書，其實是想建立一個跟過去補習班完全不同的「數學氣氛」。我希望我的孩子能從這本書裡感受到數學的「趣味性」，而不是只有壓力。這本書的「基礎數學概論」部分，處理得非常溫和，它不是一開始就丟一堆數字給你，而是從計數、集合的概念慢慢引入，讓孩子建立起對數字世界的基本信任感。特別是關於「統計」的章節，它用了很多圖表來分析生活中的現象，像是不同時段的交通流量變化，讓孩子理解數學工具如何幫助我們理解這個世界。我最欣賞它的一點是，它成功地把不同章節的知識點巧妙地串聯起來。例如，在講述分數的應用時，它會回扣到前面學過的測量概念，形成一個完整的知識網，而不是一塊一塊零散的板塊。這讓孩子在學習新東西時，不是孤立地去記，而是知道這個知識點在整個數學體系中的位置，這才是真正有效的學習方法。

评分☆☆☆☆☆

說真的，現在的教科書排版越來越花俏，但很多時候內容卻是空洞的，重點看不出來。這本《圖解數學》在這方面做得非常到位，它懂得什麼是「重點」。它用極簡但精準的圖形來描繪複雜的數學概念，這對於我們這些視覺型學習者來說，簡直是天降甘霖。我本身是設計背景的，對線條和空間感比較敏感，所以當我看到它解釋「幾何」單元時，那種空間感的呈現非常到位，像是對稱性、旋轉的概念，用幾張圖就說明白了，比我以前看過的任何一本參考書都有效率。而且，它並沒有因為強調「圖解」就忽略了數學的嚴謹性，在每個單元結束後，它還是會用清晰的文字條列出重要的公式和定義，確保學習者在理解概念的同時，也能掌握標準的學術表達方式。這本書的編輯群顯然非常了解學習者的「認知負荷」，他們知道什麼時候該用圖，什麼時候該用字，拿捏得恰到好處，讓我感覺這不是一本「給小孩看的書」，而是一本「給所有想弄懂數學的人看的書」。