前言
作為通識教育的數學應該是什麼樣的？
如果要問人類的理性精神最具持久力和影響力的知識體系是什麼？答案是數學；如果有外星高等文明想和人類進行交流，最方便的語言是什麼？答案也是數學。
數學一方面在人類的文明史上享有巨大的聲望和榮譽，給我們的文明帶來了發展的動力和手段，另一方面卻也讓很多人感到自卑，並因此被人們厭惡。後者的結果當然不是數學本身的問題，甚至也不能怪那些學不好數學的人，主要是因為我們的教法有問題。我們沒有把學生當作未來的自由人來教，更沒有考慮到每個人的接受能力之間存在巨大的差異。
1.為什麼要學數學通識？
二○一七年，原央視主持人、今天頗有成就的媒體人請我和王渝生先生（原中國科技館館長、科學史專家）做一期有關數學的節目。在節目開始前，主持人問我，她高考時數學不及格，是否是學渣啊？我說，你能有今天這樣的成就，顯然不可能是學渣。數學沒學好，不是你的問題，恐怕是教學的方法和考量學生的方法不對。然後，我就告訴她美國頂級的高中和大學如何教數學。
美國最好的高中，會把數學由一門課變為八至十門內容不同的課程，每門課常常還要開設A、B、C三個難度不同的班。例如幾何學會被分為平面幾何A、B和C；立體幾何B和C；三角學B和C；解析幾何A、B和C；以及微積分先修課B和C等各種課程和班級。入門的那幾門數學課足夠淺顯。例如平面幾何的A班，講清楚幾何學的原理和用途，以及推理的方式就好了，根本不會讓學生做那些比較難的證明題。在幾何中，點、線、面、三角形、四邊形和多邊形等概念，以及平行、垂直等關係，其實對任何人都不難，任何學生只要別太偷懶，把這些搞懂了總是做得到的，這樣也就能在平面幾何A班得到好成績。
說到這裡，我問那位主持人，這些內容、這樣的教法，你總能考九十分吧？她很有信心地說：「那當然呢！」但是她又有點擔心地問我，如果是這樣的話，誰還會想上難的數學課呢？我說在美國申請大學的時候，如果別人成績單上有六門數學課，而且都是高難度的，而你只上了兩門數學課，還是難度最低的，大學錄取時當然會在數學上吃點虧。但是，由於你少學了數學，將時間用在個人更喜歡的文學和歷史，在這些方面多學了很多課程，在申請更適合自己的大學時，一定比學了一堆數學的人有優勢。更重要的是，雖然你上的數學課不算多，也不難，但好歹掌握了一些內容，相應的思維方式學會了，如果將來真想再學點，還是可以繼續學的。否則學了一大堆理解不了的、考試考不過的內容，不僅浪費時間，而且本來能學會的簡單內容也學不好。很多人因為做不出那些數學難題，打從心底放棄了數學，以至於很多簡單的數學知識也全忘光了。
把自己能夠學懂的數學學好，對每一個人都有巨大的好處。對於理工科或商科的學生來講，他們的感受可能會比較明顯，因為數學是自然科學以及許多學科的基礎。但是，對於學習人文和社會學科、甚至學習藝術的人來講，學懂數學也同樣有好處，因為它可以幫助我們培養起比較獨特的思維方式，看問題會比較深入，並且能夠把各種知識體系相互連結。
讀到這裡，細心的讀者可能注意到了，我剛才用了「能夠學懂的數學」的說法，而不是泛泛地談數學。這也意味著，對於數學通識教育來說，講什麼內容很重要。如果把人類的知識體系用學科劃分的話，數學可能是最龐大的一個，因此要想用一本書完整地介紹數學，幾乎是不可能的事。所幸，作為通識教育，讀者其實無須了解數學的每一個分支，更不須要掌握分支中最難的內容，甚至不須要聽說過那些分支名稱，因為數學的各個分支，從體系的構建到研究方法，再到應用方法，都是共通的。因此，我在選取本書內容時，完全是圍繞著一個明確的目標，也就是幫助大家了解數學的底層邏輯和方法。
對於已經走出校門若干年的成年人來說，再回過頭來接受數學通識教育的目的是什麼？其實只要能夠把自己對數學的理解從初等數學提升至高等數學，就足夠了。當然，很多人會認為，我在大學已經學了高等數學，怎麼能說我的理解還是初等數學的水準呢？學過高等數學的知識，和思維方式提升至高等數學的層次是兩回事。不信的話，你不妨問問自己，大學畢業後可曾用過一次微積分？如果一次都沒有用過，是否有其他的收穫？據我的了解，在學過微積分的人中，99%以上的人都覺得自己並未受益於這門課。那麼大家是否想過，為什麼大學一定要學習微積分呢？
其實在大學教授微積分是很有道理的，它能夠幫助一個年輕人把自己對世界、對變化、對規律的理解，從靜態的、孤立的和具體的層面，提升至動態的、連續的和規律性的層面。後文我會介紹導數、微分和積分這些概念時提到這一點。學完微積分後的十年，哪怕一道題都不會做了，也沒有關係，這種看待世界、處理問題的方法一旦形成、並變為習慣，你就比同齡人不知道要高出幾個層次了。做到這一點，才算是進入到高等數學的認知水準。對於即將進入高中的學生來講，更早從這個角度、帶著這個目的學習數學，效果肯定比背誦定理，再瘋狂做題目好太多。
如果我們把提升認知水準和掌握思維方法作為學習數學的目的，其實根本不須面面俱到地學習非常多的內容，重要的是透過一些線索將各種有用的知識貫穿起來、理解數學的方法，並好好利用那些方法。為了達到這個目的，我精心挑選了本書的內容，並且按照便於提升認知的方式，將它們組織了起來。
2. 書裡有什麼內容？
在基礎篇中，我們要講述數學是什麼？它和自然科學有什麼不同？人類在數學方面的認知又是如何發展的？當然，這樣空洞的講解沒有意思，我們需要一個線索、一些實例，將相關的知識和方法串聯起來，這個線索就是畢達哥拉斯（Pythagoras）。從畢達哥拉斯出發，我們會串起下面諸多的知識。首先自然是他得以出名的畢氏定理（Pythagorean theorem），也就是我們所說的勾股定理。書中會詳細分析為什麼東方文明更早發現了勾股數的現象，卻沒有提出這個定理。這件事可以幫助我們理解什麼是定理？以及如何發現定理？
畢達哥拉斯另一個了不起的成就是計算出黃金分割的值。從黃金分割出發，畢達哥拉斯發現了數學和美學的關係，並且開始用數學指導音樂。我們今天使用的八度音階，就始於畢達哥拉斯的數學研究。從黃金分割出發，我們就可以得到人們熟知的費氏數列（Fibonacci series），從這個數列入手，我們就能了解數列與級數的特點。
畢達哥拉斯可以講是數學史上的第一人，他開創了純粹理性的數學。但是畢達哥拉斯也有他的局限性——否認無理數的存在，這是他最被後人詬病的地方。說起來，無理數的發現恰恰是畢氏定理的直接推論之一，但是據說他對此假裝視而不見，還把提出這個問題的學生害死了。對此，今天很多人說他無知、頑固、拒絕接受真理等。其實這只是站在普通人的角度理解畢達哥拉斯的行為。如果我們了解這樣一個事實，即在當時人們所知有限的數學領域中，畢達哥拉斯是這個體系的教主，他需要這個建立在邏輯之上的體系具有一致性和完備性，而邏輯方面的一致性也是數學最基礎的原則。因此，當他發現無理數的出現會破壞他所理解的數學體系的一致性和完備性，並且動搖數學大廈時，他就採取了教主們才會採用的激進行為。畢達哥拉斯的錯誤在於，他不懂得維繫數學體系的完整性，還需要定義新的概念，比如無理數，而不是否認它們的存在。無理數的出現是數學史上的第一次危機，危機解決之後，數學反而得到了更大的發展，並沒有像畢達哥拉斯設想地崩潰。
從上述這些內容中，你會看到我們透過畢達哥拉斯，把數學中那麼多看似孤立的知識串聯了起來。透過這一篇，大家就能體會數學是什麼樣的體系？東方文明所發現的數學知識和完整的數學定理有什麼區別？一個定理被發現後，會有什麼樣的自然推論出現？然後又如何與其他知識體系聯繫，並且有什麼實際應用？
在數字篇中，我們的線索是數學中最基本的概念——數。你會看到這個概念是如何起源、發展並且被不斷地拓寬。透過人類對數字這個概念的認識歷程，你能體會到人類在思維工具上的進步——從具體到抽象，再到完全的想像。一個人對數的概念的理解程度，反映出他在數學上認知水準的高低。
照理說，我們的認知水準應該隨著所學內容難度的提升而提升，但是通常不是如此。在大學學習關於數字的概念時，很多人對數字的理解方式還停留在小學階段。例如，對於無窮大和無窮小的概念，很多人依然以為它們只是巨大的數字和極小的數字。事實上它們和我們日常遇到的具體數字不同，它們代表的是變化的趨勢和快慢。因此，從小學到了大學，大家對數字的理解就應該從靜態發展到動態，但是實際情況並非如此。
如果一個人用小學的思維方式學習大學數學的內容，一定會覺得非常難，這是很多人後來數學學不好的原因。但這不能怪罪於學習的人，因為很多數學課程都是把學生當作未來的工匠來教育，教給學生們的都是一些能夠讓他們更能好好幹活的知識。因此，當學生一旦發現某些知識和將來幹的活沒有關係，就直接放棄了，或者混個說得過去的成績就可以了，而不會想它和我認知水準的提高有什麼關係。反過來，如果我們放棄教授學生具體技能的目的，而是讓他們透過認識數字從自然數到負數、從整數到有理數、從有理數到實數、從實數到複數，最後從有限的數到無限的數，了解了此發展歷程，理解數學作為工具的作用，了解人類的認識從具體到抽象、從有限到無限的過程，就更容易掌握數學方法的精髓了。
隨後兩篇的內容集中在我們熟知的幾何學和代數學上。它們不僅是數學的兩大支柱，更重要的是，它們的發展歷程反映出了數學體系化的建立過程。
在幾何篇中，我們將重點放在幾何的公理化體系上，這是幾何學最大的特點，也讓幾何學成為邏輯上最嚴密的數學分支。透過幾何學的產生和公理化過程，你可以看到數學如何從經驗發展起來，逐漸構建成邏輯嚴密的知識體系。人類在搭建幾何學大廈時，先是有了一些直觀認識，然後從一些例子中總結出被稱為引理（lemma）的簡單規律，引理的擴展可能會導引定理（theorem）的出現。定理會有自然的推論（corollary），最後無論是定理或推論，都會有實際的應用，即便有些應用百年後人們才找到。這既是數學發展的過程，也是我們組織本書內容的思路。在以後的篇章也可以看到，微積分、機率論是如何從經驗變成公理化體系。尤其須指出的是，許多數學的應用並非都是直接的應用，它對其他知識體系具有借鑑意義，因此我們會講到數學公理化的體系對法學的影響。
