研究所2023試題大補帖【工程數學(2)機械所】(109~111年試題)[適用臺大、清大、陽明交通、成大、中山、中央、中正、臺科大研究所考試] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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周易

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【工程數學精要：從理論到應用】 適用對象： 國內外高等工程學研究所考生、需要紮實數學基礎的工程師、對應用數學有興趣的自學者。 本書特色： 本書旨在提供一套結構完整、深入淺出的高等工程數學學習資源，涵蓋了絕大多數頂尖理工研究所入學考試的核心範圍，並側重於概念的清晰闡述與解題技巧的實戰演練。我們深知，工程數學不僅是抽象的符號操作，更是解決複雜工程問題的關鍵工具。因此，本書的編排邏輯緊密圍繞“理解原理—掌握方法—實戰應用”的學習路徑展開。 第一部分：線性代數的基石 線性代數是現代工程科學的語言，貫穿於訊號處理、控制理論、數值分析乃至機器學習之中。 第一章：矩陣與向量空間 本章詳述矩陣的運算、性質及其在線性變換中的幾何意義。我們不僅探討高斯消去法（Gauss Elimination）的標準流程，更深入解析其背後的秩（Rank）、零空間（Null Space）和行空間（Row Space）的內在關聯。向量空間的概念是理解更高維度問題的基礎，本書將嚴謹定義線性獨立性、基底（Basis）與維度（Dimension），確保讀者能準確描述和操作向量空間。對於初學者常感困惑的直和（Direct Sum）與子空間投影（Projection）等概念，將輔以豐富的圖解和具體範例加以剖析。 第二章：特徵值問題 特徵值（Eigenvalues）與特徵向量（Eigenvectors）是理解線性系統穩定性與模式的關鍵。本書詳細介紹如何計算特徵值與特徵向量，並探討其在矩陣對角化（Diagonalization）中的重要性。特別地，對於實數對稱矩陣的正交對角化（Orthogonal Diagonalization），我們將闡述其背後的譜定理（Spectral Theorem）在最小平方問題和主成分分析（PCA）中的核心地位。此外，對於非對稱矩陣的喬丹標準型（Jordan Canonical Form）雖然在應用中較少直接計算，但其理論意義在於完整描述線性變換的結構，本書會提供清晰的構造步驟。 第三章：矩陣的範數與矩陣函數 範數（Norms）是衡量向量和矩陣“大小”的標準，對於數值穩定性分析至關重要。本書涵蓋了向量的 $L_1, L_2, L_infty$ 範數，以及相應的矩陣誘導範數。矩陣函數的討論，如矩陣指數（Matrix Exponential）、矩陣對數等，將著重於其在常微分方程初值問題（ODE Initial Value Problems）中的應用，特別是通過泰勒級數展開或對角化方法進行求解的實用技巧。 第二部分：常微分方程的動態描述 微分方程是描述物理系統隨時間或空間變化的核心工具。本書的重點在於掌握不同類型方程的求解策略及其背後的物理意義。 第四章：一階常微分方程 從最基礎的變量分離法、積分因子法，到更具挑戰性的恰當方程（Exact Equations）和黎卡提方程（Riccati Equations）的簡化技巧，本章提供了全面的求解工具箱。著重討論線性一階方程的通解結構，並結合實際的增長模型、衰減模型（如放射性衰變、RLC電路瞬態響應）來強化理解。 第五章：高階線性常微分方程 這是本部分的核心。對於常係數齊次與非齊次方程，本書系統地介紹了待定係數法（Undetermined Coefficients）和參數變易法（Variation of Parameters）。對於非齊次項的處理，如脈衝函數（Dirac Delta Function）和階躍函數（Heaviside Function）的應用，將通過拉普拉斯變換的預備知識進行引入，使讀者理解在邊界條件複雜情況下的求解思路。 第六章：拉普拉斯變換 拉普拉斯變換是將微分方程轉化為代數方程的強大工具。本書不僅詳盡列舉了常見函數的拉普拉斯變換對，更著重於掌握微分、積分、卷積（Convolution）定理的靈活應用。特別是使用拉普拉斯變換求解含有不連續或衝擊輸入的系統響應時，其簡潔性與有效性將得到充分展示。逆變換的求解，包括部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）的技巧，將通過大量工程實例進行演練。 第七章：系統的解法與穩定性 對於二階或更高階的常係數系統，本書將運用矩陣方法（利用特徵值和特徵向量）來求解聯立微分方程組。重點分析自由振動、阻尼振動系統的行為。同時，引入相平面分析（Phase Plane Analysis）的概念，用於定性分析二階非線性系統的穩定性、極限環等拓撲性質，為深入學習非線性動力學打下基礎。 第三部分：傅立葉分析與偏微分方程的基礎 傅立葉分析是處理週期性信號和波現象的基石，而偏微分方程（PDE）則是用來描述空間與時間耦合變化的模型。 第八章：傅立葉級數與傅立葉變換 本書從週期函數的傅立葉級數展開開始，詳述正交性原理。對於非週期信號，則過渡到傅立葉變換（Fourier Transform）。我們將詳細討論傅立葉變換的性質，特別是時域的卷積對應於頻域的乘積，以及其在濾波器設計、頻譜分析中的應用。對傅立葉級數和變換中收斂性（如狄利克雷條件）的討論將避免過度複雜的數學證明，而著重於其實際物理意義。 第九章：偏微分方程（PDE）的基礎解法 本書選取工程中最常見的三種基本PDE進行探討：熱傳導方程（拋物型）、波動方程（雙曲型）和拉普拉斯/泊松方程（橢圓型）。我們將重點講解分離變量法（Separation of Variables）的標準應用流程，包括邊界條件（Boundary Conditions）和初始條件（Initial Conditions）的處理。對於無限域或半無限域問題，將介紹傅立葉變換在求解PDE上的應用，作為拉普拉斯變換的自然推廣。 附錄：數值方法簡介 鑑於現代工程計算的需要，附錄簡要介紹了解決難以解析求解問題的數值方法概述，包括歐拉法（Euler's Method）和龍格-庫塔法（Runge-Kutta Methods）在常微分方程求解中的基本思想，以及有限差分法（Finite Difference Method）處理簡單PDE的雛形。 本書的編寫理念： 我們堅持數學工具必須服務於工程實踐。因此，每一章節的理論推導之後，都緊接著詳細的範例解析，這些範例涵蓋了經典的電路分析、振動學、流體力學中的基本模型。通過嚴謹的數學推導和大量的實戰演練，期望讀者不僅能“會算”，更能“理解”背後的物理和工程意義，從而為研究所的專業課程學習和未來的研究工作奠定最堅實的數學基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本《工程數學(2)機械所》的試題大補帖，光看書名就知道是衝著台、清、交、成、中字輩的研究所考試來的，對於我們這些想跨入頂尖機械所門檻的考生來說，簡直是及時雨。我手上這本涵蓋了109到111年這幾年的實戰題目，這段時間的考題風格變化其實不小，尤其是一些熱門學校，像是交大和成大，他們出的題目越來越靈活，不再是單純的公式代入，更著重於對觀念的理解深度和應用能力。很多補習班的講義可能只停留在基礎題型的講解，但這本不同，它直接把近幾年的「真題」攤開來，讓我們直面戰場上的真實考驗。光是看那些題目，就能感受到出題教授的思維脈絡，像是特定章節的偏重程度，或者某些冷門但關鍵的定理是不是又被拿出來考了。對於我這種時間有限的考生來說，能省下自己去各校網站下載、整理考古題的時間，光這點就值回票價了。而且，考古題的價值不在於做一遍，而在於做「多遍」並「徹底搞懂」，這本書把這個最關鍵的準備環節打包好了，接下來就是我們個人下苦功的時候了，說真的，光是翻閱這些近年的題目，我就對接下來的準備方向清晰不少，感覺腳步穩多了。

评分☆☆☆☆☆

話說工程數學這科，向來是機械所考試裡最讓人頭痛的一環，它不像專業科目有明確的設計、熱力學那樣有套路可循，它考的是邏輯、是分析能力，是那種橫跨微積分、線性代數、微分方程的綜合素養。而這本試題集給我的最大啟示就是「務實」。它沒有過多的理論闡述，就是純粹的考題堆疊，這點對我這種已經上過好幾輪課、急需實戰演練的人來說，簡直是太棒了。我發現，不同學校對同一知識點的側重點真的差很多，比如說台大可能在拉普拉斯變換的應用題上會玩得比較花，需要結合控制系統的概念去解；而清大在矩陣分析的部分，對特徵值、特徵向量的運算細節要求更高。光是比對這幾年的題目，就能看出各校的「偏心」在哪裡。我個人習慣的做法是，先把特定年份的題目拿出來，嚴格按照考試時間來做一次計時測驗，模擬那種時間壓力下的解題手感，然後再翻閱參考解答（如果有的話，但重點是自己先算出答案），找出自己在哪個環節會卡住。這本書的排版似乎也考慮到了這一點，讓人在做題目的時候不會被太多花俏的設計干擾，就是最純粹的解題介面，非常專注。

评分☆☆☆☆☆

坦白講，市面上的參考書良莠不齊，很多所謂的「詳解」其實寫得比題目本身還難懂，看了跟沒看一樣。我對這本大補帖印象比較好的一點是，它雖然是試題集，但它呈現的題目本身就帶有一種「結構感」。我觀察到，很多題目並不是單純的計算題，而是結合了幾個知識點的複合式問題，這其實更貼近研究所考試的真實水準。舉個例子，線性代數的題目可能不會直接問你特徵值，而是會讓你用特徵值去分析一個動態系統的穩定性，這就要求考生必須將數學工具與物理意義連結起來。這本試題集讓我意識到，光是把公式背熟是遠遠不夠的，真正的關鍵在於「建模」和「詮釋」。如果只是機械式地代入公式得到一個數字答案，在研究所口試或筆試中是遠遠不夠的，教授想看的是你思考的邏輯鏈條。這幾年的題目尤其強調這一點，所以我現在在寫題目的時候，也會強迫自己多寫幾行解釋，說明我為什麼選擇這個方法，而不是直接跳到答案，這對於提升解題的「完整度」非常有幫助。

评分☆☆☆☆☆

我記得我準備研究所時，最怕的就是「抓不到重點」。尤其是在工程數學這種範圍廣泛的科目裡，你投入太多時間在太偏的題目上，結果正式考試卻考了最基礎但你沒複習到的地方，那種挫折感真的很難受。這本《大補帖》的價值就在於它幫我「過濾」了那些過於艱深或已經退流行的考古題，直接鎖定近三年，這三年通常代表了當前教授們認為最核心、最必要的知識體系。例如，這幾年來，偏微分方程（PDE）在部分學校的考試中比例有上升的趨勢，可能與計算流體力學或熱傳導的應用有關。透過這本試題集，我可以很明顯地看出哪些類型的PDE題目是高頻率出現的，比如熱傳導方程式的邊界條件處理，或是波方程的齊次解法。我的策略就是針對這些高頻率主題，用這本的題目去驗證自己對觀念的掌握度是否達到「一眼就能看出解題方向」的程度。如果連近三年的題目都還需要花很多時間思考，那就代表基礎還不夠紮實，必須回頭補強。這種「對焦」的過程，是自修者最難自己拿捏的，很高興這本書提供了這個清晰的指南針。

评分☆☆☆☆☆

對於準備報考陽明交大或成大的學生來說，這本的參考價值尤其高，因為這兩所學校的考試風格相對保守但細膩，特別是在微分方程的部分，他們對各種解法的條件限制和收斂性討論比較嚴苛。我對比了一下之前舊版的考古題，發現近三年來，對於像傅立葉級數在不連續點的收斂性分析，或是用級數解法處理邊界值問題時，對級數的「展開範圍」要求更明確了。這本大補帖收錄的題目，剛好能捕捉到這種細微的變化。我個人拿到書後，並沒有急著從頭做到尾，而是先依照我的弱點科目去篩選題目，像是先把所有「級數解法」的題目集中起來做。這種針對性的訓練，遠比漫無目的地從頭寫到尾有效率。而且，這些題目既然是近三年的精華，代表它們的難度分佈和章節權重，很可能就是未來一兩年考試的風向標。總之，它不是一本讓你學會基礎的教科書，而是一本讓你「從及格邁向頂尖」的實戰軍火庫，是準備衝刺階段不可或缺的戰略物資。