學測極速衝刺：數學A(附解答本) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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林誌強

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深度探索：高等代數與微積分的精妙交織 導論：超越基礎的數學視野 本書旨在為有誌於深入理解高等數學核心概念的學習者提供一個紮實而全麵的框架。我們聚焦於那些在現代科學、工程和經濟學中占據基石地位的數學分支——綫性代數與多變量微積分。不同於側重於考試技巧或基礎運算的傳統教材，本書強調數學思想的內在邏輯、概念的嚴謹定義以及工具的實際應用。我們相信，真正的數學能力源於對“為什麼”的深刻理解，而非僅僅對“如何做”的機械記憶。 全書結構經過精心設計，力求在邏輯連貫性和知識廣度之間取得完美的平衡。我們首先從綫性代數的角度切入，建立起對嚮量空間、矩陣運算和特徵值理論的直觀認知，隨後無縫過渡到微積分的世界，特彆關注在更高維度空間中函數的行為分析和優化問題。 --- 第一部分：綫性代數的基石與結構（The Architecture of Algebra） 本部分將帶領讀者係統地構建對嚮量空間的抽象理解，這是後續所有綫性代數和許多高級分析的基礎。 第一章：嚮量空間與子空間：概念的抽象與具象 我們從嚮量的最基本定義齣發，逐步提升至抽象的嚮量空間。討論瞭域的性質（實數域 $mathbb{R}$ 與復數域 $mathbb{C}$）對嚮量空間結構的影響。 基與維數 (Basis and Dimension)： 深入探討一組綫性無關嚮量如何“張成”一個空間，並定義瞭空間的維數。我們詳細解析瞭如何通過坐標變換來實現基的更換，以及基的選擇如何影響矩陣的錶示。 子空間的完備性： 區彆於簡單的子集，我們詳細闡述瞭子空間的代數結構要求，特彆是零空間 (Null Space)、列空間 (Column Space) 和行空間 (Row Space) 之間的內在聯係。通過對這些基本子空間的分析，讀者可以全麵洞察一個綫性變換的本質。 直和與投影： 引入內積空間的概念，這使得我們能夠討論長度、角度和正交性。詳細講解瞭正交基的構造方法（如Gram-Schmidt過程），並重點剖析瞭正交投影在求解最小二乘問題中的核心作用。 第二章：矩陣理論與綫性變換：操作與幾何的統一 矩陣不再僅僅是數字的矩形排列，而是綫性變換在特定基下的精確描述。本章緻力於揭示矩陣運算背後的幾何意義。 矩陣的秩 (Rank) 與行列式 (Determinant)： 深入探討秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），理解其對係統解集的決定性影響。行列式的幾何意義——空間體積或定嚮變化的縮放因子——將被詳盡分析，並展示其在判斷矩陣可逆性上的關鍵作用。 特徵值與特徵嚮量 (Eigenvalues and Eigenvectors)： 這是理解係統動態行為的鑰匙。我們不僅教授如何計算它們，更側重於理解特徵值/特徵嚮量的物理或幾何含義——即變換下方嚮不變的嚮量。 相似性與對角化 (Similarity and Diagonalization)： 探討如何通過相似變換將矩陣轉化為最簡潔的對角形式。對於不可對角化的矩陣，我們將引入Jordan標準型，作為理解更復雜綫性係統行為的必要工具。 --- 第二部分：多變量微積分：空間的分析與優化（The Calculus of Higher Dimensions） 本部分將已知的單變量微積分概念提升到多維空間，探索函數的形貌、變化率以及在復雜結構上的積分。 第三章：嚮量值函數與偏導數：空間中的切綫與斜率 我們從描述空間中運動的嚮量值函數開始，引入在多維環境中衡量函數變化的工具。 偏導數與梯度 (Partial Derivatives and Gradient)： 明確偏導數是沿著坐標軸方嚮的變化率。梯度嚮量被定義為指嚮函數增長最快方嚮的單位嚮量，它在優化和等高綫分析中至關重要。 方嚮導數與鏈式法則 (Directional Derivatives and the Chain Rule)： 學習如何計算函數沿著任意指定方嚮的變化率，並掌握多變量鏈式法則的矩陣形式，這對於復閤函數和隱函數求導至關重要。 泰勒級數的多變量推廣： 介紹二階導數構成的Hessian矩陣，它是描述函數局部麯率的關鍵工具，並用於構建多變量泰勒公式，以實現高精度逼近。 第四章：多重積分：體積、質量與纍積效應 本章將積分的概念擴展到二維和三維空間，用於計算麵積、體積乃至物理量（如質量、質心）。 二重積分與Fubini定理： 詳述在笛卡爾坐標係下計算麵積和體積的方法。重點分析Fubini定理的適用條件，以及如何通過改變積分次序來簡化計算。 坐標係的變換： 深入研究極坐標、柱坐標和球坐標的轉換機製。理解雅可比行列式 (Jacobian Determinant) 在坐標變換中扮演的角色，它是體積元素（$dV$ 或 $dA$）發生變化的比例因子。 綫積分與麵積分： 引入綫積分來計算沿著麯綫的功或質量，以及麵積分來計算穿過麯麵的通量。這為下一部分對嚮量場的深入理解打下基礎。 第五章：場論與嚮量微積分：對流與鏇轉的刻畫 這是連接數學分析與經典物理學的橋梁，聚焦於描述空間中流體、電磁場等現象的嚮量場。 嚮量場、散度與鏇度 (Vector Fields, Divergence, and Curl)： 散度 (Divergence) 衡量一個點上嚮量場的“源”或“匯”的強度（即流體的密度變化）。 鏇度 (Curl) 衡量嚮量場在該點上的“鏇轉”趨勢（即流體的渦鏇程度）。 格林公式、斯托剋斯公式與高斯散度定理： 本章的壓軸部分是三大基本定理，它們統一瞭積分在不同維度上的關係： 格林公式（平麵上的綫積分與二重積分的關係）。 斯托剋斯公式（麯麵上的麵積分與邊界麯綫的綫積分的關係）。 高斯散度定理（閉閤麯麵上的通量與麯麵內部散度的三維積分的關係）。 這些定理展示瞭“邊界上的行為決定瞭整體的特性”這一深刻的數學哲學。 --- 結語：理論與應用的融閤 本書的最後部分將穿插大量的實例分析，涵蓋從數據科學中的主成分分析（PCA，基於特徵值分解）到物理學中的保守場、電磁場方程的微分形式。通過這些實例，讀者將親身體驗到綫性代數提供的結構框架如何與微積分提供的動態分析能力完美結閤，共同構建起理解復雜世界的數學語言。學習者應以批判性的眼光去審視每一定理的假設條件，從而真正掌握這些強大工具的適用邊界。