簡易離散數學（2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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黃西川

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好的，这是一份关于一本名为《高等代数基础教程》的图书简介，内容详细，不包含您提到的《簡易離散數學（2版）》中的任何知识点。 --- 《高等代数基础教程》 —— 扎实的理论构建与丰富的应用实践 图书简介 《高等代数基础教程》旨在为理工科专业学生，尤其是需要深入理解代数结构、线性空间理论以及矩阵理论的读者，提供一本全面、严谨且富有启发性的教材。本书立足于传统高等代数的核心内容，同时融入了现代数学的视角，力求在概念的清晰阐述与方法的灵活运用之间找到最佳平衡。全书内容组织层次分明，逻辑推进严谨，是构建坚实数学基础的理想选择。 第一部分：集合、映射与数域 本书的开篇着重于奠定严谨的数学语言基础。我们首先系统回顾了集合论的基本概念，包括集合的运算、笛卡尔积以及集合的势。在此基础上，我们深入探讨了映射的性质，如单射、满射和双射，这些概念是后续所有抽象结构讨论的基石。 随后，我们对数域进行了详尽的讨论。从有理数域 $mathbb{Q}$ 的构造性理解出发，本书详细分析了实数域 $mathbb{R}$ 的完备性——通过戴德金分割或柯西序列的引入，严格证明了实数的连续性性质，这是微积分乃至更高等数学得以成立的关键。更进一步，我们引入了复数域 $mathbb{C}$，探讨了其代数和几何结构，特别是欧拉公式及其在极坐标下的运算。对于初学者而言，理解这些数域之间的层次关系和完备性的重要性，是后续学习线性代数中向量空间概念的先决条件。 第二部分：矩阵代数与行列式理论 线性代数的核心——矩阵理论，是本书的重点章节之一。我们从矩阵的定义、基本运算（加法、数乘、乘法）开始，详细分析了矩阵乘法的结合律和分配律，并引入了转置、共轭转置等重要概念。 行列式理论是本部分的核心。我们从二阶、三阶行列式的定义出发，逐步推广到 $n$ 阶行列式，并严格给出了基于代数余子式或拉普拉斯展开的定义。随后，本书深入探究了行列式的基本性质，例如行/列互换、倍加操作对行列式值的影响，这些性质为后续求解线性方程组提供了高效的工具。克拉默法则的推导和应用被放在专门的章节进行讲解，旨在展示代数计算在求解特定方程组时的直接优势。 第三部分：线性空间（向量空间） 这一部分标志着从具体计算向抽象理论的过渡。本书以清晰的定义引入向量空间（或线性空间），明确界定了线性组合、生成集合和线性相关性的概念。我们通过一系列具体的例子（如多项式空间、函数空间、矩阵空间）来帮助读者理解抽象定义。 线性无关性、基与维数是本章的核心。我们严格证明了向量组线性无关的充要条件，并论证了任意向量空间都存在一组基。维数的概念被定义为基所含向量的个数，并证明了其唯一性。 随后，我们讨论了子空间的概念，包括子空间的交与和，以及它们对应的维数公式（如著名的 Grassmann 公式）。线性变换（或线性映射）作为连接不同向量空间的桥梁被引入，我们详细分析了线性变换的核（Null Space）和像（Image Space），并阐明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的深刻含义。 第四部分：线性变换的表示与对角化 在确定了基之后，任何线性变换都可以用一个矩阵来表示，即矩阵的相似性。本书详细阐述了如何根据不同基的选取来获得相似矩阵，并给出了相似矩阵的性质。 对角化问题是本章的重中之重。我们引入了特征值与特征向量的概念，并推导了求解它们的特征方程。本部分详尽讨论了特征值与特征向量的性质，特别是对于实对称矩阵，我们用正交对角化的方法证明了其可对角化的充要条件，并给出了具体的对角化步骤。对角化在动力学系统、微分方程求解等领域的重要应用被穿插介绍。 第五部分：内积空间与欧几里得结构 为了引入长度、角度和正交性等几何概念，本书引入了内积的概念，从而构造出内积空间。我们讨论了内积的性质，并基于内积定义了向量的长度（范数）和两个向量之间的夹角。 正交性是本章的焦点。我们详细介绍了施密特正交化过程，它是一种构造标准正交基的强大算法。正交矩阵和正交变换的性质被深入研究，它们在保持几何结构（如长度和角度）方面的作用被突出强调。对于实对称矩阵，我们再次利用正交对角化的理论，系统阐述了其在二次型分析中的应用。 第六部分：二次型与矩阵分解 本书最后一部分聚焦于二次型及其矩阵表示。我们讨论了二次型的基本概念，并将其与对称矩阵联系起来。 合同关系和合同标准形的推导是本章的关键。我们运用特征值理论，推导出了著名的惯性定理，并基于此给出了二次型的规范形。这部分内容为理解二次曲线和二次曲面的分类提供了坚实的理论基础。 总结与特色 《高等代数基础教程》的特色在于其清晰的结构和严谨的推导。书中包含了大量的例题，这些例题不仅用于演示理论，更旨在培养读者将抽象概念应用于具体计算的能力。每章末尾均设有“概念回顾与习题精选”，以巩固学习效果。本书的叙述风格力求精确而不失流畅，是理工科学生深入掌握线性代数，为后续学习线性规划、数值分析及抽象代数打下坚实基础的必备参考书。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简洁明了，封面上的字体选用了一种非常现代的无衬线体，给人一种清晰、高效的感觉。拿到手里，纸张的质感相当不错，不是那种过于光滑的反光纸，而是略带磨砂质感的哑光纸，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳。内页的排版也看得出下了不少功夫，图文混排的部分处理得非常得当，公式的编号和引用清晰可见，页边距也留得比较合理，方便读者在上面做批注。特别是对于一些复杂的图示，如逻辑门的电路图或者图论中的结构，黑白印刷的层次感处理得非常到位，线条干净利落，没有出现模糊不清的情况。整体来看，这本书的物理呈现已经达到了专业教材应有的水准，让人在翻阅之初就充满了阅读的欲望，感觉这是一本被认真对待的学术工具书，而不是匆匆忙忙赶工出来的产品。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格可以说是教科书里一股清流，它避开了那种故作高深的学术腔调，而是选择了一种非常平易近人的口吻来引导读者进入离散数学的深水区。作者似乎深谙初学者在面对抽象概念时的畏惧心理，所以每当引入一个新的定理或定义时，总会先用非常贴近生活或计算机科学实际应用的例子进行铺垫。比如，在讲解集合论的基本运算时，没有直接抛出符号逻辑，而是先用“用户分组”或者“文件查找”的场景来阐述其必要性。这种“先应用，后理论”的渐进式教学方法，极大地降低了初次接触这门学科时的认知门槛。而且，作者在行文过程中，会不时地穿插一些小小的“思考题”或者“陷阱提示”，这些并非正式的习题，而是引导你去质疑和深入思考当前概念的微小观察点，使得阅读过程充满了主动性，而不是被动接受。

评分☆☆☆☆☆

在章节的组织结构上，作者展现了清晰的层次感和逻辑递进关系。本书并非按照传统的数学分支顺序简单堆砌，而是精心设计了一条学习路径。它先从基础的逻辑和集合论打好坚实的基石，然后自然地过渡到关系和函数，这些概念相互勾连，构建了理解后续算法和数据结构的基础框架。令人印象深刻的是，在引入图论之前，作者花了专门的一章来讨论计数原理和组合分析，并且非常巧妙地将排列组合的公式与图的边数、路径数联系起来。这种跨章节的知识串联，使得读者能够不断回顾旧知，加深对知识体系整体性的理解，而不是将各个章节孤立地看待，这对于构建扎实的离散数学知识体系至关重要。

评分☆☆☆☆☆

作为一本强调“离散”特性的数学分支，其核心的挑战往往在于逻辑的严密性和推理的完整性。我发现这本书在处理逻辑推理和证明方面做得尤为出色。它不仅仅是罗列了如何进行归纳法、反证法等标准证明技巧，更重要的是，它细致地剖析了每种证明方法背后的核心思想和适用边界。比如，在讲解哥德巴赫猜想（作为一个未解难题的例子）时，作者用了好几页篇幅来演示如何通过“有限步的归纳”来推导出“无限情况下的可能缺失”，这比那些只给出一个简单例子就草草收场的教材要深刻得多。对于那些希望真正掌握数学证明思维而非仅仅套用模板的学生来说，这种对“为什么这样证明有效”的深度挖掘，是极其宝贵的资源。

评分☆☆☆☆☆

我特别欣赏本书在习题设置上的多样性和难度梯度。初级的练习题旨在巩固基本概念和计算熟练度，通常只需要直接套用定义或公式即可。然而，中等难度的题目就开始要求读者进行小规模的证明或构造性论证，检验对概念的理解深度。最让我感到挑战和收获的是那些“拓展与探究”环节的难题。这些题目往往需要结合多个章节的知识点，甚至引入一些高级或前沿的离散数学主题作为线索，比如涉及到生成函数的应用或者有限状态机的设计。这些题目并非为了难倒人而设置，而是真正起到了启发思维、将理论知识转化为解决实际问题的能力的作用，它们是检验一个人是否真正掌握了离散数学精髓的试金石。