簡易離散數學（2版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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黃西川

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好的，這是一份關於一本名為《高等代數基礎教程》的圖書簡介，內容詳細，不包含您提到的《簡易離散數學（2版）》中的任何知識點。 --- 《高等代數基礎教程》 —— 紮實的理論構建與豐富的應用實踐 圖書簡介 《高等代數基礎教程》旨在為理工科專業學生，尤其是需要深入理解代數結構、綫性空間理論以及矩陣理論的讀者，提供一本全麵、嚴謹且富有啓發性的教材。本書立足於傳統高等代數的核心內容，同時融入瞭現代數學的視角，力求在概念的清晰闡述與方法的靈活運用之間找到最佳平衡。全書內容組織層次分明，邏輯推進嚴謹，是構建堅實數學基礎的理想選擇。 第一部分：集閤、映射與數域 本書的開篇著重於奠定嚴謹的數學語言基礎。我們首先係統迴顧瞭集閤論的基本概念，包括集閤的運算、笛卡爾積以及集閤的勢。在此基礎上，我們深入探討瞭映射的性質，如單射、滿射和雙射，這些概念是後續所有抽象結構討論的基石。 隨後，我們對數域進行瞭詳盡的討論。從有理數域 $mathbb{Q}$ 的構造性理解齣發，本書詳細分析瞭實數域 $mathbb{R}$ 的完備性——通過戴德金分割或柯西序列的引入，嚴格證明瞭實數的連續性性質，這是微積分乃至更高等數學得以成立的關鍵。更進一步，我們引入瞭復數域 $mathbb{C}$，探討瞭其代數和幾何結構，特彆是歐拉公式及其在極坐標下的運算。對於初學者而言，理解這些數域之間的層次關係和完備性的重要性，是後續學習綫性代數中嚮量空間概念的先決條件。 第二部分：矩陣代數與行列式理論 綫性代數的核心——矩陣理論，是本書的重點章節之一。我們從矩陣的定義、基本運算（加法、數乘、乘法）開始，詳細分析瞭矩陣乘法的結閤律和分配律，並引入瞭轉置、共軛轉置等重要概念。 行列式理論是本部分的核心。我們從二階、三階行列式的定義齣發，逐步推廣到 $n$ 階行列式，並嚴格給齣瞭基於代數餘子式或拉普拉斯展開的定義。隨後，本書深入探究瞭行列式的基本性質，例如行/列互換、倍加操作對行列式值的影響，這些性質為後續求解綫性方程組提供瞭高效的工具。剋拉默法則的推導和應用被放在專門的章節進行講解，旨在展示代數計算在求解特定方程組時的直接優勢。 第三部分：綫性空間（嚮量空間） 這一部分標誌著從具體計算嚮抽象理論的過渡。本書以清晰的定義引入嚮量空間（或綫性空間），明確界定瞭綫性組閤、生成集閤和綫性相關性的概念。我們通過一係列具體的例子（如多項式空間、函數空間、矩陣空間）來幫助讀者理解抽象定義。 綫性無關性、基與維數是本章的核心。我們嚴格證明瞭嚮量組綫性無關的充要條件，並論證瞭任意嚮量空間都存在一組基。維數的概念被定義為基所含嚮量的個數，並證明瞭其唯一性。 隨後，我們討論瞭子空間的概念，包括子空間的交與和，以及它們對應的維數公式（如著名的 Grassmann 公式）。綫性變換（或綫性映射）作為連接不同嚮量空間的橋梁被引入，我們詳細分析瞭綫性變換的核（Null Space）和像（Image Space），並闡明瞭秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的深刻含義。 第四部分：綫性變換的錶示與對角化 在確定瞭基之後，任何綫性變換都可以用一個矩陣來錶示，即矩陣的相似性。本書詳細闡述瞭如何根據不同基的選取來獲得相似矩陣，並給齣瞭相似矩陣的性質。 對角化問題是本章的重中之重。我們引入瞭特徵值與特徵嚮量的概念，並推導瞭求解它們的特徵方程。本部分詳盡討論瞭特徵值與特徵嚮量的性質，特彆是對於實對稱矩陣，我們用正交對角化的方法證明瞭其可對角化的充要條件，並給齣瞭具體的對角化步驟。對角化在動力學係統、微分方程求解等領域的重要應用被穿插介紹。 第五部分：內積空間與歐幾裏得結構 為瞭引入長度、角度和正交性等幾何概念，本書引入瞭內積的概念，從而構造齣內積空間。我們討論瞭內積的性質，並基於內積定義瞭嚮量的長度（範數）和兩個嚮量之間的夾角。 正交性是本章的焦點。我們詳細介紹瞭施密特正交化過程，它是一種構造標準正交基的強大算法。正交矩陣和正交變換的性質被深入研究，它們在保持幾何結構（如長度和角度）方麵的作用被突齣強調。對於實對稱矩陣，我們再次利用正交對角化的理論，係統闡述瞭其在二次型分析中的應用。 第六部分：二次型與矩陣分解 本書最後一部分聚焦於二次型及其矩陣錶示。我們討論瞭二次型的基本概念，並將其與對稱矩陣聯係起來。 閤同關係和閤同標準形的推導是本章的關鍵。我們運用特徵值理論，推導齣瞭著名的慣性定理，並基於此給齣瞭二次型的規範形。這部分內容為理解二次麯綫和二次麯麵的分類提供瞭堅實的理論基礎。 總結與特色 《高等代數基礎教程》的特色在於其清晰的結構和嚴謹的推導。書中包含瞭大量的例題，這些例題不僅用於演示理論，更旨在培養讀者將抽象概念應用於具體計算的能力。每章末尾均設有“概念迴顧與習題精選”，以鞏固學習效果。本書的敘述風格力求精確而不失流暢，是理工科學生深入掌握綫性代數，為後續學習綫性規劃、數值分析及抽象代數打下堅實基礎的必備參考書。 ---