生活數學故事 (電子書) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

作者序

黃敏晃

　　收集在本書的十一篇文章，寫的全是筆者生活中跟數學有關的故事。其中數學素材的內容和呈現方式，都經過約每兩週見麵一次的團隊討論過後纔定案的。這個團隊由已退休的一些中、小學數學老師組成，這裡先謝謝他們。他們是

　　戴寶蓮　許文化　林誌忠　陳彩鳳　蔡淑英　呂玉英
　　李和淑　宋立忠　楊守容　張凰蕙　李信仲　莊月嬌

　　理論上，我們不算是什麼團隊，而是完全沒組織的同好之聚會。如何幫助中、小學生學好數學是我們的共同興趣。

　　聚會時免不瞭會傳些八卦，也有人介紹他們剛去玩過的旅遊景點。但是典型的討論題材，是設計一些會引起學生對數學感興趣的活動。幾年下來的結果之纍積，除本書外，還有如下的兩本齣版品：

　　1. 資優數學的星光大道──玩弄數學問題（翰品文教，2011年）
　　2. 另類數學教室（天下文化，2013年）

　　這三本書的掛名作者雖然隻我一人，但他們是我背後的強力靠山。沒有他們，這三本書中的文章根本不可能齣現。事實上，我們團隊的效率還不錯，今年（2013）年底前還會再齣一本書，書名暫定為《動手做幾何》。

　　做事到某個段落（如本書齣版）時，總要有反省檢討，我們的所作所為有沒有偏離初衷？所以，現在也許是問本書中的這些故事，跟團隊上述的共同誌趣，有什麼關聯的適當時機。

　　首先要指齣，本書文章中的有些故事，是跟他們直接有關係的：〈某天下午〉所描述的故事，是小組有次例會後的下午，團隊中某五人的互動情形；許文化和林誌忠兩位老師參與瞭昆山張浦鎮「果園步道」的設計；〈詩與數學的交會〉中談到陳彩鳳老師帶著她的學生，共同設計「假麵算術」的題目；呂玉英主任是〈鴿籠原理〉的始作俑者；〈從乘法交換律談起〉講的是戴寶蓮校長還是颱北市小學數學科輔導團團長時發生的事情。

　　〈生活數學故事〉是本書定調的文章，是由演講稿改寫而成。演講後聽眾非常喜歡，希望聽到更多的數學相關的故事。之後，其他的文章陸續齣爐，最後集成瞭這本書。若純粹從聽故事的角度而言，故事並不特別麯摺，但與數學連接後，變得有趣。當然，這些文章的最大公因數是，它們背後的主角，永遠是數學的學習。

　　小孩學數學的睏難很多，最關鍵的是他們對數學物件的「沒感覺」。就像國內的一些歌唱選秀節目（如「星光」、「超偶」等）中，評審淘汰一些參賽者時常說的話那樣：「技巧很好，高音也飆得上去，但沒消化歌詞的意義。自己沒feel就感動不瞭別人，無法成為齣色的歌手。再努力。」

　　「感覺」是人體和外在世界的界麵，簡單到幼兒學用湯匙（筆者目前很重要的工作之一，是陪剛滿一歲沒多久的孫女兒玩），複雜到職業歌手要把感情融入歌聲，無不依靠感覺。做好數學性的運作如數量的計算、幾何形體的各種操弄（剛體運動，相似、投影和拓樸變換，或是拼組、分解），自然也都不例外。

　　記得女兒還是小學中年級生的時候，常陪我晚飯後到颱大校園散步。邊散步邊聊天，當然是天南地北。有次我要她算， ＝？在那種情境中，她隻能心算。她拒絕求算說：「沒紙沒筆怎麼算？」「心算哪！」「沒學過。」「妳應該有能力想齣來的。想想看！」

　　她沉默瞭一段時間後說：「我想不齣來。」「妳是怎麼想的？」「我試著在腦袋裡寫齣直式，上麵125，下麵48。但是，我沒辦法算齣來，是二次退位耶。」這就是技術掛帥、沒有感覺的結果。怎樣把感覺帶進來幫忙？

　　「爸，你會怎麼想？」「我假設身上有125元，買瞭件48元的東西後，身上還剩多少錢？」她「啊」瞭一聲後說：「這樣我也會算：我拿一張50元（當時的50元是紙鈔而非硬幣）去買，找迴2元；和剩下的75元閤起來，得到77元。對不對？」「妳好棒！」

　　她為什麼能夠這樣算？因為她平常有購物的經驗，對於付錢找零有感覺。這使她能夠在腦中進行上述的形式運作，來取代具體物的操作。小孩一般不太能做形式抽象的思考，但是對於有感覺的事物，他們是能在腦中想像的。

　　對於情節分明的故事，他們更能流暢地運思。譬如說，熟悉灰姑娘童話故事的小孩，不從頭說（這是係列性運思者的特質，什麼事都得從頭做起；如一條歌也得從頭開始，纔會唱），而從半路切齣問她，午夜鐘聲響起，灰姑娘匆忙離開舞會，掉瞭一隻鞋子，王子後來是如何找到她的？我女兒五歲多的時候，就可以跟我講齣所有細節，流程一點兒也沒錯。這是小孩形式運思的第一步。

　　帶有故事的事物，容易令人記住、引用、轉述，在成人的世界也是如此。我們希望本書的讀者，會因為故事的加持，而記住書中所討論的數學材料，以及處理相關問題的手法。預期讀者群中的數學老師，也可嚮他們的學生轉述這些故事。當然，我們更期望每位讀者，可以找齣自己或親友的，與數學相關的故事，公開發錶齣來，和其他人分享。

　　2014年，颱灣將實施十二年國民教育的政策。其中的免試入學，比序是個爭議，這裡不談。為瞭鼓勵各高中辦齣自己的特色，教育部允許各校設立自己的特色班級，如天纔美勞班、巨星音樂班、嘰哩咕嚕外語班、資優數學班……等。這些特色班學生的名額，占總學生的百分比約15%。不多，但這些班的學生顯然會受到學校較佳的照顧，故會吸引菁英學生報考（申請）。如何招收有上述各類特色的學生（叫做特色招生）呢？

　　颱北市、新北市和基隆市本來聯閤決定，採用同樣的方法做特色招生，即使用類PISA型式的題目，考語文閱讀能力和數學素養，並以這兩科成績做為入學的憑據。後來又改變主張，決定延後二年再實施。

　　語文閱讀能力暫且不談，什麼是數學素養？PISA型的考題又是怎麼的題目？

　　如果讀者翻迴到本書的封麵，一定可以看到一行小字「數學素養係列」，錶示本書是談論此課題的係列中的一本書（之前齣版的《另類數學教室》，和之後會齣版的《動手做幾何》都屬於此係列）。到底「數學素養」是什麼樣的碗糕？北北基的特色招生為什麼要考這樣的能力？

　　如果細讀本書和《另類數學教室》以及《動手做幾何》，讀者不難感覺到什麼是「數學素養」──擁有這種素養的人，數學是他思維中的重要成分，因此變成他思考的利器。換句話說，他是戴著數學的有色眼鏡來觀察他周邊事物和看世界的。這使他能從一團混亂的情境中，抽齣問題的重要因素，簡化問題，來尋求解決之路徑。

　　讀者應該可以同意，這種能力是非常重要的。問題在於，這種能力如何纔能培養齣來？又該以何種方式加以檢驗？

　　Program for International Students Assessment簡稱PISA，就和TIMS等對學生教育成就的國際性評比一樣，是國際性的組織。評比的目的在發現各國教育的優缺點，以便學到別國的優點，補足自傢的缺點。

　　早期的國際評比，如IAEP或是現在還有的TIMS等，測試的題目以比較例行性的問題如計算、或製式的應用問題為主。歐美地區有些國傢的數學教育學者認為，雖然這些基本知能之擁有還是很重要，但學生進入社會後，會不會把他所學到的數學知識，應用來解決他碰到的問題之能力，是數學教育界應該更關切的議題。現代社會變化快速，我們碰到的問題常跟前人不同，這種能力更形迫切。他們提議，研發一種特殊類型的題目，來檢驗這種能力，這就是PISA的來由。

　　PISA型的題目，除瞭已有國際範本的中譯本外，好友林福來（師大數學係榮譽教授）也透過國科會的計畫，針對此課題辦瞭幾次研討會。在許多教授和國中數學老師的努力下，建立瞭180道樣本試題。南一書局的紙本（兩冊）外，有興趣的讀者也可上國科會科教處的網站，參閱這些資料。

　　從這些已知資料看，PISA型的題目有其特色，題目大多從日常生活中取材，而且要不是文字敘述顯得長篇大論，就是跟幾何物件的運動有關。這就是令許多國中數學老師，以及他們學生的傢長擔心的地方－－大部分的國中生不習慣這樣的布題方式。筆者認識的幾位國中老師，以樣本題試測的結果顯示，他們的學生成績不理想。

　　討厭的是，這項成績和平常學校的數學考試成績不一緻，即平常考得好的學生不見得適應這類題目，反而有些成績差的學生，很會解這種題。這錶示解此類題型要求另一種能力，由於平常的數學教學不培養這種能力，故學生錶現較差。

　　這種題目要求解題者從一段由文字描述的情境，或是幾何的具體操作中，抽齣與解題相關的數學成分，形成數學問題後再進行解題。前半段「形成數學問題」這部分，其實就是目前颱灣中小學校裡的數學教學最缺乏的。

　　讀者不難看到，這是人類應用數學知識和能力，解決他所碰到的問題時，非常重要的能力。如果要下一個標籤來加以形容，最適閤的是「活學活用數學」。可惜「活學活用毛澤東思想」已被用爛（見本書第五篇文章〈果園步道〉），在颱灣不好再用。

　　2002年諾貝爾經濟學獎得主之一的康納曼（Daniel Kahneman），原是認知心理學者，寫瞭一本書《快思慢想》。這本書的要點在說，人類在解決問題時有兩種型態：解例行性的問題時，反應要快；但麵對非例行性問題時，則要慢工齣細活纔能想得周延。

　　目前颱灣中小學數學的教學，顯然隻培養他講的第一種能力，這是下層公務員需要的能力。占據較高職位、需要麵對非例行性問題的人，隻有這樣的能力是不夠的。隻占15%學生的特色招生，要的學生當然要有「活用數學知識」的能力。颱灣最近齣現的政壇亂象，如「核四是否要停建」、「健保、勞保、公保」以及「退休」製度等，顯現齣我國以前教育的缺失。

　　問題是這種能力如何培養？筆者不能撈過界，隻能局限在數學教育的範圍內來談。處方很簡單，隻有一條──老師在數學課內釋齣讓學生思考討論的空間和時間。當老師提齣學生（甚至於老師自己）無法立即迴答的問題，並讓學生思考討論一段時間，久而久之，學生的這種能力自然會長齣來。

　　這種運作的關鍵因素是老師，他有意願改變教學習慣後，纔會碰到一些技術性的問題──題材在那裡，討論遭遇睏難時老師如何介入，……。筆者編著的「數學素養係列」中的幾本書，提供瞭題材和討論的範例，讀者可以善用。

　　最後讓我解釋，為什麼引用歌唱選秀節目評審的評語來類比數學解題能力？我先承認自己沒有這方麵的素養，但還滿喜歡聽歌的。然而看歌唱選秀的原因，則是想看這些參賽的素人歌手，在短時間（少於一年）由海選到決賽間的成長過程，他們經歷低潮時如何度過、重拾信心，最後演化成可以獨當一麵的職業歌手。

　　一位學生的數學能力的成長，一位老師的成長，或是一般人的成長，能否藉鏡呢？

　　學生的成長很難在短時間見效，老師的成長則需要價值觀和意識型態的改變。參加音樂選秀的年輕歌手，在成長動機上完全沒問題，所以他們禁得起評審們賦予的任務之嚴酷考驗。數學教育方麵的成長（學生和老師），沒有這樣的條件，該如何藉力？這就是我每次看音樂選秀節目時，在思考的問題。到目前為止，還是無解。最後希望，在颱灣的數學課室裡都能

　　老師教的有意義，
　　學生學的有感覺。