高等数学题解词典(下)问题与解答-(繁体) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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1.收录范围 本书是以工科高等数学内容为中心，兼顾理科数学分析的内容。本书辑录了目前我国工科院校高等数学课程新涉及到的主要题型，还选进了一部分数学分析的题目，吸收了国外有影响资料的部分题目，也辑录了我国高等院校、科研单位的硕士研究生入学试题、本科生试题和数学竞赛试题的部分内容，还辑录了国内数学杂志的部分典型题目，共收录题目4000余道。附录介绍高等数学发展简史，简介高等数学中有关的数学家。

2.目录与问题的编排 为了使读者容易找到所查问题或者类似问题的解法，本辞典仍按我国目前高等数学的体系，按章、节、段来编排，这完全体现在目录中，从而使目录能起到索引的作用。在问题的编排上採取尽量收罗的办法，每段内题目安排的原则是由浅入深，由易到难，以典型带一般，使读者能举一反三，触类旁通，使本书起到辞典的作用。

　　题号是按节来编的，比如，10.1.81表示第10章第1节第81题。插图是随题号编序的。

3.内容提要 每节开头的内容提要，为解题国证题提供了必要的依据(包括定义、定理、法则、公式等内容)。

4.概念题与综合题的处理 在每章或每节中均安排有概念题(是非题)和选择题，其意义在于从正、反两个方面来理解概念，这是近年来在本科生考试中试题通标准化时，经常出现的形式。

　　在每章最后安排有一节综合题目。它的内容系指在本节以前各章、节出现的，但不涉及以后的内容。在研究生的入学考试题中这类问题很多。

5.一题多解 题目一般是一题一解，部分题目有其它较好解法的，则安排一题多解，以启迪解题的思维能力和熟悉各公式的应用。在本书中已放录题目的结论，在其他题目中应用时一般不再重复，只注明"参阅第XXX题"。

深入浅出：现代数学思维的构建与应用 本书聚焦于高等数学的核心概念、逻辑推理的严谨性以及在工程、物理、经济等多个领域的实际应用。它并非仅仅是一本习题解答手册，而是一部旨在帮助读者构建扎实数学基础、提升抽象思维能力的综合性学习指南。 本教材面向当前高等教育中对数学理论有深入学习需求的理工科学生、研究生，以及需要复习和深化数学知识的专业人士。全书结构紧凑，内容涵盖了微积分（单变量与多元）、线性代数、微分方程等现代数学体系中的关键支柱。 第一部分：微积分的深度剖析与技巧精炼 本部分将微积分的理论基础与实际解题技巧相结合，力求做到深入浅出，将复杂的分析过程条理化。 1. 函数、极限与连续性：奠定分析学基石 我们首先回顾函数的基本性质，包括有界性、周期性、奇偶性以及复合函数的性质。重点在于极限的 $varepsilon-delta$ 定义的严格理解，并辅以大量经典和非经典的极限计算案例。 连续性的讨论超越了简单的定义叙述，深入探讨了闭区间上连续函数的性质（如介值定理、最大值最小值定理）的几何意义和代数推导。通过对不连续点类型的分类讨论（可去、跳跃、无穷不连续点），读者能够全面把握函数行为的局部特性。 2. 导数与微分：速率、变化率与切线几何 导数的定义从差商的极限出发，逐步推广至各种函数类型的求导法则。本书详细剖析了隐函数求导法、反函数求导法以及参数方程求导法的适用范围与步骤。 微分的应用部分，我们着重讲解了泰勒公式的构造及其在函数近似、误差估计中的强大作用。对于多元函数，方向导数和梯度的引入，不仅是概念的推广，更是从几何直观向向量分析过渡的关键桥梁。梯度在优化问题中的核心地位被清晰阐述。 3. 不定积分与定积分：累积与面积的统一 积分学部分，我们采取“理论先行，技巧随后”的策略。不定积分的求解不再是简单的公式堆砌，而是系统地分类探讨了凑微分法、换元法、分部积分法的最佳应用时机。对于有理函数、三角函数和无理函数积分，提供了详尽的解题流程图。 定积分的计算部分，重点在于微积分基本定理的严格应用。几何应用部分，除了标准的面积、体积计算外，还涵盖了平面曲线的弧长、旋转体的表面积，以及更具挑战性的功、质心和转动惯量的计算，这些均与物理学紧密相关。 4. 广义积分与级数：收敛性的严苛检验 广义积分的讨论聚焦于瑕点的处理，如积分区间的无限性或被积函数在端点处的无界性。收敛性的判断标准（如比较判别法、比值判别法、积分判别法）被系统地总结，并配以对收敛/发散边界的精确辨识练习。 无穷级数是分析学的难点之一。本书详细区分了常数项级数和函数项级数。对于函数项级数，一致收敛性的探讨是重中之重，它关乎函数项级数能否与微分、积分运算进行交换。幂级数的展开、收敛半径的确定以及在特定区间内的性质保持，均有详尽的推导和实例支撑。 --- 第二部分：线性代数：结构、变换与求解的艺术 本部分旨在揭示线性代数的内在结构和其在求解复杂系统中的高效性。 1. 矩阵代数与初等变换：运算与等价性 矩阵的运算规则，从加法到乘法，其非交换性被强调。初等行变换被视为一种等价关系，是简化矩阵、求解线性方程组的根本工具。矩阵的秩作为衡量线性无关性的核心指标，其计算方法和性质被细致阐述。 2. 线性方程组的求解与向量空间 克拉默法则、高斯消元法与矩阵求逆法作为求解线性方程组的三大主流方法，其适用条件、计算复杂度及几何意义被清晰对比。 向量空间的概念引入，包括子空间、生成集、基与维度，是理解抽象线性代数的关键。本部分详细解释了线性无关性的判断，以及如何通过基变换来简化矩阵表示。 3. 线性变换与特征值问题 线性变换被定义为保持向量空间结构的映射。矩阵被视为线性变换在特定基下的坐标表示。理解核空间（Kernel）与像空间（Image）对于分析映射的性质至关重要。 特征值与特征向量的求解，是理解系统动态行为的核心。本书不仅讲解了如何通过解特征方程求得特征值，更深入探讨了相似变换（对角化）的意义，即如何通过选择合适的基来简化矩阵的结构，揭示系统的本质行为。对于非对角化的情况，如若尔当标准型的构造原理也被适度介绍。 --- 第三部分：常微分方程：描述动态系统的语言 本部分聚焦于用数学语言刻画自然界和工程中普遍存在的动态变化过程。 1. 一阶微分方程的分类与求解 一阶ODE的求解策略是本章的重点。我们系统地分类讨论了变量可分离方程、齐次方程、线性一阶方程、伯努利方程等。对于恰当方程，着重讲解了积分因子法的构造过程。 2. 高阶常系数线性微分方程 对于高阶常系数线性方程，我们深入探讨了特征方程的应用，包括重根、复根情况下的通解形式。常数变易法作为求解非齐次方程的通用方法，其推导过程清晰展现了微分算子的构造性思想。 3. 级数解法与特殊方程 当方程系数不是常数时，幂级数解法成为重要的工具。本书演示了如何围绕一个普通点或正则奇点展开级数解，并确定系数之间的递推关系。对欧拉方程等特殊形式的方程，给出了封闭形式的解法。 4. 降阶与应用模型 微分方程的应用部分，侧重于物理背景的建模，如振动系统、RLC电路、种群增长模型等。对于二阶方程，共振现象的分析，通过对驱动项和系统固有频率的对比，展示了数学模型在预警工程问题中的价值。 全书的特点在于，每一个理论概念的提出都紧密伴随着严谨的逻辑推导和丰富的解题示例，确保读者不仅知其然，更能知其所以然。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在备考国家统一考试的研究生，而高等数学的“下册”内容，无疑是我备考过程中最头疼的部分。那些关于空间几何、多元函数、微分方程、级数等知识点，虽然在课堂上有所接触，但真正遇到题目时，往往感到无从下手。在对比了市面上众多的参考书后，《高等数学题解词典(下)》以其独特的“题解词典”模式，深深吸引了我。它不像一般的题库那样只有题目和答案，而是更侧重于对解题过程的详细讲解，以及对相关概念的深入剖析。我尤其看重它在例题选择上的精当和全面，涵盖了各种类型的题目，并且对每一个题目都进行了深入的解析，包括了多种解题思路和技巧。我相信，通过这本书，我能够系统地复习和巩固高等数学的知识，提高解题能力，顺利通过考试，为我未来的学术研究奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我曾一度认为，高等数学的学习，就像是在一个漆黑的房间里摸索，摸不清方向，也找不到出口。尤其是那些涉及多变量微积分、向量分析、微分方程等“下册”的内容，更是让我望而却步。传统的教材，虽然严谨，但对于我这样缺乏数学直觉的学习者来说，往往过于抽象，难以消化。然而，《高等数学题解词典(下)》的出现，仿佛为我点亮了一盏明灯。它以“题解”为核心，将抽象的理论与具体的应用紧密结合，通过一道道精心设计的题目，引导读者逐步理解和掌握复杂的数学概念。我尤其看重它在解题思路上的阐述，不仅仅是给出答案，更是深入分析了如何思考、如何选择方法、以及如何避免常见的错误。这种“由解题而学，以学促解”的学习模式，对于我这种实践型学习者来说，简直是完美的契合。我相信，通过这本书的陪伴，我将能够克服对高等数学的恐惧，一步步地解锁那些曾经让我束手无策的难题，并在解决问题的过程中，真正地提升自己的数学能力。

评分☆☆☆☆☆

作为一个在职人员，想要在忙碌的工作之余提升自己的数学能力，寻找一本既能系统梳理知识，又能提供实际解题方法的书籍，一直是我心中的渴求。《高等数学题解词典(下)》的出现，恰好满足了我的这一需求。它打破了传统教材的枯燥模式，以“题解”为核心，将复杂的数学概念巧妙地融入到一道道具有代表性的题目中。我特别欣赏书中对每一个解题步骤的清晰阐述，以及对涉及到的定理和公式的准确引用。我期待这本书能够帮助我快速回顾和巩固高等数学“下册”的关键知识点，特别是那些在实际工作中经常会用到的数学工具，例如微分方程的应用，以及概率统计在数据分析中的作用。我相信，通过这本书的学习，我将能更自信地应对工作中遇到的数学挑战，并将其转化为解决实际问题的有力武器。

评分☆☆☆☆☆

我一直相信，学习数学最好的方式，就是通过解决实际问题来掌握理论知识。然而，在高等数学的学习过程中，找到那些既能体现理论精髓，又能激发解题兴趣的题目，并非易事。《高等数学题解词典(下)》正是这样一本难得的宝藏。它以“题解”为核心，将抽象的数学概念与具体的应用场景紧密结合，使得学习过程变得生动有趣。我特别喜欢书中对每一道例题的深入讲解，它不仅仅给出了最终答案，更重要的是剖析了作者是如何一步步思考、如何选择合适的工具、以及如何规避潜在的错误。我期待书中能包含更多涉及物理、工程、经济等交叉学科的题目，让我看到高等数学在现实世界中的广泛应用。我相信，通过这本书的指导，我将能更有效地提升自己的数学思维能力，并将其转化为解决实际问题的强大武器，为我未来的职业发展打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我对高等数学中的一些抽象概念，例如向量空间、线性变换、多项式代数等，都感到非常困惑。虽然理论课本给出了严谨的定义和定理，但总感觉与实际应用脱节，难以理解其深层含义。直到我翻阅了《高等数学题解词典(下)》，我才真正体会到“化繁为简”的魅力。这本书的独特之处在于，它将抽象的理论概念，通过大量的具体例题来加以阐释，并且对每一个例题的解题过程都进行了细致入微的分析。我尤其期待书中对一些高级概念，如复变函数、积分变换等，是如何通过题目来展现其应用价值的。我相信，通过这本书，我能够逐渐建立起对这些抽象概念的直观理解，并能够将所学知识灵活地运用到解决实际问题中，从而真正掌握高等数学的精髓。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻读研究生学位，但数学基础相对薄弱的学生。在备考过程中，我深切体会到了高等数学“下册”内容的挑战性。那些关于向量、空间、曲面、积分变换等概念，对于我来说，简直是无法逾越的鸿沟。在网上搜寻了无数的解题视频和论坛讨论，但总感觉碎片化，缺乏系统性。直到我看到《高等数学题解词典(下)》这本厚实的著作，我心中涌起了一股强烈的冲动。它以“词典”的形式，将复杂的数学概念和定理一一拆解，并辅以大量精心挑选的例题，这对于我这种需要“啃硬骨头”的学生来说，简直是雪中送炭。我尤其欣赏它对每个题目的解析，不仅仅给出了答案，更重要的是剖析了解决问题的思路、运用的定理、以及可能遇到的陷阱。这种“授人以渔”的教学方式，是我一直以来所追求的。我期待通过这本书，能够真正理解那些抽象的数学模型，并能够灵活地运用它们来解决实际的研究问题。我相信，这本书将成为我研究生学习期间不可或缺的得力助手，帮助我打下坚实的数学基础，为我未来的科研道路保驾护航。

评分☆☆☆☆☆

在多年的学习生涯中，我接触过不少数学书籍，但真正能让我感到“如获至宝”的，并不多见。《高等数学题解词典(下)》绝对是其中之一。作为一本以“题解”为核心的书籍，它打破了传统教材的刻板印象，将高等数学的精髓融入到一道道精心编排的题目之中。我尤其欣赏它在解题思路上的深度挖掘，作者并没有满足于给出标准的解法，而是花大量篇幅分析了问题的本质、不同解法的优劣，以及作者是如何一步步推导出最优解的。这对于我这种喜欢刨根问底的学习者来说，简直是无价之宝。我非常期待书中对一些复杂数学模型，如傅里叶级数、拉普拉斯变换，以及它们在信号处理、物理建模等领域的应用是如何解读的。我相信，通过这本书，我不仅能够掌握解决具体问题的能力，更能培养出一种对数学问题的深刻理解和灵活运用能力，这对于我未来的学术研究和职业发展都将有着至关重要的意义。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇但又常常被“高等”两个字吓倒的自学者，我在探索高等数学的道路上，如同一个在知识的海洋中漂泊的迷航者。过去的学习经历，总是停留在一些基础概念的浅层理解，一旦触及到更加深入和抽象的领域，便感到力不从心。这次，《高等数学题解词典(下)》的出现，给了我极大的鼓舞。它并非单纯的公式汇编，而是如同一个经验丰富的向导，将那些复杂晦涩的定理和方法，用一种更加易于理解和实践的方式呈现出来。我注意到书中的例题，从基础到综合，环环相扣，而且每一步的解答都清晰明了，仿佛在娓娓道来一个数学故事。我尤其期待它对一些高级积分技巧，例如重积分、曲线积分、曲面积分等内容的讲解，以及它们在物理、工程等领域的实际应用。我相信，通过这本书的引导，我能够逐步拨开高等数学的迷雾，真正领略到数学的魅力，并将其应用到我感兴趣的领域，实现知识的转化和创新。

评分☆☆☆☆☆

在学习高等数学的过程中，我常常会遇到一些“卡点”，即便是看了很多遍教材，也无法完全理解某个定理的推导过程，或者某个公式的实际意义。《高等数学题解词典(下)》的出现，恰恰填补了我在这些方面的空白。它并非简单地罗列题目和答案，而是更侧重于对解题思路的深度剖析，以及对数学概念的精准解释。我尤其期待书中对一些看似难以理解的证明过程，是否会提供更加直观的解释，或者通过类比的方式来帮助理解。例如，对于一些复杂的积分变换，我希望书中能通过具体的例子，让我看到它们是如何简化问题，以及在哪些领域发挥关键作用。我相信，这本书将成为我学习高等数学的得力助手，帮助我突破思维瓶颈，真正理解数学的逻辑之美，并将其运用到我的学习和研究中。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直是我在高等数学这片迷宫里跋涉的救星！一直以来，我对数学那些抽象的概念和繁复的计算都感到力不从心，尤其是到了“下册”的阶段，内容更是像天书一样难以理解。每次遇到难题，翻遍了各种教材和网络资源，都觉得似懂非懂，直到我偶然间发现了这本《高等数学题解词典(下)》。它的名字就足够吸引人——“题解词典”，这暗示着它不仅仅是理论的堆砌，更重要的是提供了解决实际问题的思路和方法。拿到书的那一刻，我就被它厚重的质感和严谨的排版所吸引。虽然只是初步翻阅，但那些清晰的解题步骤、详尽的公式推导，以及对每一个关键概念的深入剖析，都让我看到了希望。我迫不及待地想要深入其中，去理解那些曾经让我头痛不已的微积分、多元函数、级数，甚至微分方程。我相信，有了它，我将不再孤军奋战，而是能找到一条清晰的学习路径，最终克服学习上的难关，掌握高等数学的精髓。它的出现，不仅仅是一本参考书，更像是为我指明方向的灯塔，让我对未来的学习充满了信心和期待。