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原文作者： G. Polya

圖書標籤:

• 解題技巧
• 數學學習
• 學習方法
• 應試指導
• 思維訓練
• 問題解決
• 數學輔導
• 學習指南
• 中小學數學
• 解題策略

任何領域的每一個人，都必須學會怎樣解題。

　　本書作者波利亞，是數學教育史上極重要的數學教育傢，《怎樣解題》可說是流傳最廣、影響最深遠的代錶作，自齣版以來，已經影響瞭一代又一代的讀者。在書中，波利亞提齣瞭解題的四大步驟，並且穿插瞭範例，你可以跟著波利亞的腳步，學會如何從推理與提問，直搗證明題或求解題的核心，而這樣的數學方法，對解決任何問題都有幫助。

　　熟讀《怎樣解題》，你就能成為思考、分析、解題的頂尖高手。
 

《科學思維與創新實踐指南》 一、本書主題與核心理念 《科學思維與創新實踐指南》是一部麵嚮所有對邏輯推理、問題解決和創新思維抱有濃厚興趣的讀者、專業人士和學生群體的深度指南。本書並非聚焦於某一特定學科的知識傳授，而是緻力於剖析人類在麵對未知、復雜或既有範式無法解答的問題時，所應采取的係統性思維框架與操作流程。 本書的核心理念在於：任何領域的重大突破，都源於對問題本質的深刻洞察，以及一套嚴謹、可復用的思維工具箱。 我們相信，思維本身是一種可以被學習、訓練和優化的技能，而非僅僅依賴天賦。 二、內容架構與章節導覽 本書內容被劃分為四大核心闆塊，層層遞進，旨在構建一個從基礎認知到高級應用的完整思維閉環。 第一部分：理解思維的基石——認知的校準（約350字） 本部分首先探討人類認知的基本結構與局限性。我們從認知心理學和決策科學的角度齣發，揭示直覺、啓發式偏見（Heuristics and Biases）如何影響我們的初步判斷。 偏見的識彆與量化： 詳細剖析確認偏誤、錨定效應、可得性啓發等在實際決策中的錶現，並提供即時的自檢清單。 心智模型的構建： 介紹強大的心智模型（如奧卡姆剃刀原理、復利效應、臨界點理論）如何作為思考的“底層操作係統”，幫助我們過濾噪音，抓住關鍵。 批判性思維的入門： 強調區分事實（Fact）、觀點（Opinion）和推論（Inference）的重要性，為後續的深入分析打下堅實的基礎。 第二部分：問題界定的藝術——探究的起點（約400字） 我們深知“定義瞭一個好問題，就解決瞭一半問題”。本部分聚焦於如何將模糊、龐大或看似無解的挑戰，轉化為清晰、可操作的研究對象。 “為什麼”的深度挖掘（五問法進階）： 超越傳統五問法，引入情境依賴性提問，探究問題的深層結構、邊界條件和潛在的利益相關者影響。 問題空間的映射： 教授如何使用矩陣分析、思維導圖或概念圖譜（Concept Mapping）來可視化問題的各個維度，識彆關鍵的變量和相互作用。 從描述性到規範性： 指導讀者如何將對現狀的描述性觀察（“是什麼”）轉化為對未來狀態的規範性目標設定（“應該是什麼”），明確成功的標準和衡量指標。 第三部分：推理、分析與假設檢驗（約450字） 這是本書的技術核心，詳細闡述瞭從信息收集到得齣可靠結論的邏輯路徑。 演繹、歸納與溯因推理的實戰應用： 講解經典三段論在商業分析、工程設計中的嚴謹運用，並特彆強調溯因推理（Abductive Reasoning）在形成新穎解釋和假設生成中的作用。 數據素養與模型思維： 探討如何審視數據的可靠性（數據偏差、樣本代錶性），並介紹基礎的建模思維，即如何用簡化的框架來模擬復雜係統的運行，而非沉溺於不必要的細節。 實驗性思維與快速原型驗證（Rapid Prototyping）： 介紹如何設計“最小可行性測試”（Minimal Viable Test）來驗證高風險假設。這部分強調的是在信息不完全的情況下，如何以最低成本獲取最有價值的反饋，從而快速迭代。我們深入探討瞭對照組的設置、變量控製的重要性，以及如何從失敗的測試中提取結構性知識。 第四部分：創新與係統集成——超越解決方案（約300字） 最終部分關注於如何將解題的思維成果轉化為實際的、具有長遠影響力的創新。 跨界思維與類比的力量： 介紹如何通過觀察生物學、曆史、藝術等不同領域的解決方案，進行高階的結構性類比，從而激發非綫性的創新思路。 係統的反思與反饋迴路： 強調解決方案不能孤立存在。讀者將學習如何分析新方案對更大係統的影響，識彆潛在的副作用和反饋迴路，確保解決方案的可持續性和適應性。 敘事與溝通： 探討最終的“解決方案”必須通過有效的敘事纔能被接受和實施。如何清晰、有邏輯地嚮不同受眾傳達復雜的思維過程和最終的結論，是確保思維實踐價值的關鍵一步。 三、本書的價值定位 《科學思維與創新實踐指南》旨在成為一本“方法的工具書”，而非“知識的百科全書”。它不提供任何現成的答案或特定的行業知識，而是賦予讀者一套普適於任何領域、任何挑戰的認知操作係統。無論您是麵對復雜的工程難題、進行商業策略製定，還是僅僅希望提升日常生活中的決策質量，本書提供的結構化框架都將是您最有力的思維夥伴。通過係統的訓練，讀者將能夠剝離問題的錶象，直達核心驅動力，最終實現高效、原創性的問題解決。

作者簡介

波利亞G. Polya

　　1887年生於匈牙利布達佩斯，父母為猶太人。求學時期攻讀哲學、物理、數學，在布達佩斯大學取得數學博士學位。

　　第一次世界大戰期間，波利亞在蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）擔任教職，於1928年升為正教授。1933年曾前往美國普林斯頓大學訪問。

　　1940年，由於歐陸政治情勢，被迫移民美國，1943年起獲聘為史丹福大學的教授，直到1953年榮譽退休。退休後，波利亞仍十分忙碌，除瞭繼續在史丹福授課，更熱心數學教育，緻力研究數學問題的解題策略。

　　波利亞是二十世紀極重要的數學傢、數學教育傢。在純數學領域，他與Gabor Szego閤寫瞭《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis）這部傑作；在數學學習及教學方麵，除瞭《怎樣解題》，還陸續齣版瞭《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning，共兩捲）與《數學的發現》（Mathematical Discovery，共兩捲）。

譯者簡介

蔡坤憲

　　東海大學物理係畢業，國立交通大學電子物理所碩士，曾在中學服務三年，任教國中理化與高中物理等科目。目前在紐西蘭懷卡托大學（University of Waikato）科學與科技教育研究中心，攻讀科學教育博士學位，研究領域為科學教育、物理教學、師資培育與教育多媒體設計；也在懷大物理係兼任助教的工作。劍道是主要的課餘興趣。

　　譯有《觀念物理II：轉動力學、萬有引力》、《怎樣解題》，著有《觀念物理VI：習題解答》（皆為天下文化齣版）。
 

英文版初版序
初版第七刷序
第二版序
「怎樣解題」提示錶
序　康威（John H. Conway）
前言

第一部：在教室裏
目的
第1節： 幫助學生
第2節： 提問、建議、心智活動
第3節： 普遍性第4節 常識
第5節：老師與學生、模仿與練習
主要步驟及主要提問
第6節： 四個階段
第7節： 瞭解問題
第8節： 例子
第9節： 擬定計畫
第10節： 例子
第11節： 執行計畫
第12節： 例子第
第13節 驗算與迴顧
第14節： 例子
第15節： 不同的做法
第16節： 老師提問的方法
第17節： 好的提問與壞的提問
更多的例子
第18節： 作圖題
第19節： 證明題
第20節： 速率問題

第二部：怎樣解題 一段對話
認識問題
進一步瞭解問題
尋找有用的好想法
執行計畫迴顧

第三部　啓發法小辭典
類比／輔助元素／輔助問題／波爾察諾／靈感／
你能驗算結果嗎？／你能用不同的方法導齣這個結果嗎？／
你能運用這個結果嗎？／執行計畫／條件／矛盾／係理／
你能從已知數中找到什麼綫索？／你可以把問題重述一遍嗎？／
分解與重組／定義／笛卡兒／決心、希望與成功／診斷／
你是否使用瞭所有的已知數？／你知道什麼相關的問題嗎？／
畫個圖／檢查你的猜測／圖形／一般化／你以前見過它嗎？／
這裏有個已經解決過的相關問題／啓發法／啓發式推理／
如果不能解決眼前的問題／歸納與數學歸納法／發明者的悖論／
這個解能否滿足所給的條件？／萊布尼茲／引理／仔細看未知數／
現代啓發法／符號與記法／帕普斯／拘泥與精通／實際的問題／
求解題與證明題／進展與成就／字謎／歸謬法與間接證法／多餘的／
例行性的問題／發現的法則／錶達風格的守則／教學的守則／
把條件的各個部分分開／列方程式／進度的象徵／特殊化／潛意識的工作／
對稱／解題的術語／量綱檢驗法／未來的數學傢／聰明的解題高手／
聰明的讀者／傳統的數學教授／改變問題／未知數是什麼？／
為什麼要證明？／諺語的智慧／倒推法

第四部：問題、提示、解答

序

　　《怎樣解題》是很棒的書！早在多年前，當我還是個學生，第一次讀這本書的時候，我就已經知道它是本好書瞭，但是，我卻花瞭很久的時間，纔真正體會這本書有多麼棒！為什麼會這樣？部分的理由，是因為這本書很特彆。在我做學生與當老師的這些年裏，我從來沒有讀過另外一本書，像波利亞這本書的書名所說的，教你怎麼樣解題。荀菲爾德（A. H. Schoenfeld）1987年在美國數學協會（MAA）的期刊發錶的文章〈波利亞、解題與教育〉中，正確地描述齣這本書的重要性：「在數學教育以及解題的世界裏，本書為兩個時期清楚地畫下瞭一條界綫：波利亞之前的解題活動，與波利亞之後的解題活動。」

　　《怎樣解題》是有史以來最成功的數學書。從1945年首次齣版以來，銷售已經超過百萬冊，並譯成十七種語言（編注：根據英文版齣版社的資料，已經不隻十七種瞭）。波利亞稍後還寫瞭兩本關於做數學研究這門藝術的書：《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）（1954）與《數學的發現》（Mathematical Discovery）（共兩捲，1962與1965）。

　　這本書的書名，讓它看起來好像隻是一本為學生所寫的書，但是事實上，它寫給老師的內容，並沒有比較少。誠如波利亞自己在「前言」裏所說的，本書的第一部，大部分是站在老師的觀點來寫的。

　　不過，每個人都因此而獲益。如果是學生來讀這本書，將會「偷聽到」波利亞對書中那位事實上並不存在的老師所給的一些建議，彷彿身旁好像真的有這麼位好老師一樣。這就是我自己讀這本書的感覺，而且很自然地，在我幾年後開始教書時，我發現自己也不斷使用那些我認為重要的建議或意見。

　　然而一直到不久前，我有機會重讀此書，而且在讀完之後，我忽然瞭解到，這本書的價值比我以前所想像的還高！我自己是學生時，波利亞所給的許多意見，感覺並不太有幫助，然而，這些意見現在卻讓我變成一位比較好的老師，知道怎麼去幫助和我遭遇不一樣問題的人。

　　顯然，波利亞教過的學生比我多，而他也一直很努力地在思考，在數學的學習上，怎麼樣纔能對學生最有幫助。也許，他最重要的觀點是：學習必須是「主動的」。誠如他在某一堂課裏提到的：「數學，不是一門讓人用來觀賞的活動。所謂的『瞭解』數學，意思是要有能力去『做』數學。什麼叫作（有能力）『做』數學呢？它的第一個意義就是：有能力去解決一個數學問題。」

　　我們常說，若要教好某個科目，教的人懂得的「至少得跟他的學生一樣多」。對教數學來說，有一個很弔詭的事實就是：老師還得知道學生可能會産生什麼樣的誤解！如果老師講述的內容，可以用兩種以上的方式來解讀，那麼必然會導緻有些學生理解到其中一種，另外的學生各有體會，極好或極糟的情形皆有。

　　李特伍德（J. E. Littlewood）舉瞭兩個有趣的例子，說明我們可能不自覺地就對假設産生誤解。首先，他提到在藍姆（Lamb）的《力學》這本書裏，對座標軸的描述（「因為Ox與Oy是二維平麵，所以Oz是垂直的」）是錯誤的，因為藍姆總是蹺著腳坐在椅子上工作！其次，藍姆要求他的讀者畫一條封閉麯綫，讓它完全位於某條切綫的一側，然後他說，總共隻有四種主要不同的可能性（垂直切綫的左方或右方，水平切綫的上方或下方），而且在沒有圖形解說的情形下，他假定這條封閉麯綫位於它的垂直切綫的右方，而不知不覺地忽略瞭另外三種可能性。

　　因應這類假定的方法，我想不齣有什麼建議比波利亞的更好：在試著解題之前，學生應該要能清楚、明確地展示齣自己對問題的理解；最好是有位真實的老師在眼前，否則，也要自己想像有位老師在身旁。有經驗的數學傢多半知道，數學研究最難的部分，往往就是不容易很明確地瞭解問題究竟在說些什麼。碰到這種狀況，他們通常也都遵循波利亞的建議：「如果你不能解決眼前的問題，試著從簡單一點的問題著手：把這個問題找齣來。」

　　各位除瞭可以從這本書的內容學到東西之外，應該也會從作者波利亞的生平事蹟，得到很多啓示。

　　喬治‧波利亞（George Polya）於1887年12月13日生於匈牙利的布達佩斯。他齣生時所取的名字是György Pólya，稍後纔略去這些抑音符號。父親是Jakab Pólya，母親是Anna Deutsch。由於Jakab、Anna和他們的三個小孩（Jenő、Ilona和Flóra）於前一年放棄猶太教而改信天主教，所以喬治一齣生就受洗為天主教徒。他們傢的第五個小孩（László）則在四年後齣生。

　　父親Jakab在喬治齣生的五年前，把姓氏從Pollák改成聽起來比較像匈牙利文的Pólya，因為他認為，這樣有助於他在大學裏找到工作。他也的確謀得大學裏的教職，但他不幸於1897年突然逝世，所以隻在大學裏服務瞭一段很短的時間。
小波利亞在中學時期，除瞭匈牙利文之外，還選讀瞭希臘文、拉丁文與德文。有點意外的是，他當時對數學並不特彆感興趣，與他在文學、地理與其他科目的「傑齣」錶現相比，他在幾何學方麵的錶現隻能算是「及格」而已。在文學之外，生物學則是他最喜歡的科目。

　　他於1905年就讀於布達佩斯大學（University of Budapest）法律係，不過，因為覺得很無聊，所以他很快就轉係瞭。之後，他取得瞭教師證書，可以在高中教授拉丁文與匈牙利文；雖然他從來沒有使用過這張教師證書，但這卻是他一直引以為傲的一件事。他之所以最後會學習數學，是因為他的指導教授亞曆桑德（Bernát Alexander）建議他，他應該選讀一些數學與物理的課程，以幫助他在哲學上的學習。後來他曾自嘲說：「我的物理不行，哲學又太好──數學剛好在它們中間。」

　　波利亞在布達佩斯大學的物理老師是厄特沃什（Eötvös），數學老師是費耶（Fejér）。1910至1911學年度，他前往維也納大學，受沃廷格（Wirtinger）和梅藤斯（Mertens）兩位老師指導，隨後迴到布達佩斯，取得博士學位。隨後的兩年，他大都留在哥廷根；在那裏，他結識瞭許多數學傢，例如：剋萊因（Klein）、卡拉泰奧多裏（Caratheodory）、希爾伯特（Hilbert）、龍格（Runge）、蘭道（Landau）、魏爾（Weyl）、庫朗（Courant）和托普利茨（Toeplitz）。

　　接下來的1914年，他到巴黎訪問研究，並與皮卡（Picard）與阿達瑪（Hadamard）逐漸熟識，並得悉鬍維茲（Adolf Hurwitz）幫他在蘇黎士安排瞭一個工作機會。他接受瞭這個工作機會，並在稍後寫到：「我之所以會到蘇黎士，是為瞭能與鬍維茲就近一起工作。從我於1914年抵達蘇黎士，一直到他辭世〔1919年〕之前，有六年的時間，我們有緊密的閤作關係。我對他印象非常深刻，並編輯他的許多作品。」

　　當然，就在此時發生瞭第一次世界大戰。起初，這對波利亞沒有很大的影響，因為早期的足球運動傷害，他已經申請免除從軍，但是後來戰情吃緊，需要更多的新兵加入戰場，匈牙利政府曾要求他迴國從軍，為國而戰。由於他強烈的和平主義觀點，因此拒絕瞭政府的要求，結果導緻他有一段很長的時間被禁止迴國；事實上，他一直到1976年纔再次迴到匈牙利，距離他離開祖國，已經54年瞭。

　　在這段期間，他入瞭瑞士國籍，並在1918年和瑞士女孩韋伯（Stella Vera Weber）小姐結婚。在1918和1919這兩年裏，他發錶瞭許多篇的數學論文，涵蓋瞭許多不同的領域，例如：級數、數論、組閤數學、投票錶決係統、天文學，以及機率學等。他於1920年，升等為蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）副教授。稍後幾年，他與澤果（Gábor Szegó）共同齣版瞭《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis），在亞曆山德森（G. L. Alexanderson）和藍格（L. H. Lange）悼念波利亞而寫的傳記中，把此書描述為「確立他們大師級地位的數學傑作」。

　　這本書於1925年問世。之後，波利亞得到洛剋斐勒奬學金（Rockefeller Fellowship）並轉往英國工作，在那裏，他與哈地（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）共同閤作，成果就是稍後齣版的《不等式》（Inequalities，劍橋大學齣版社1936年齣版）。他利用第二次的洛剋斐勒奬學金，於1933年前往普林斯頓大學訪問，當他還在美國的時候，應布利區費爾德（H. F. Blichfeldt）之邀，也到史丹福大學訪問；他非常喜愛史丹福，而史丹福最後也成瞭他的傢。從1943年起，他獲聘為史丹福大學的教授，一直到1953年退休為止，但他繼續授課到1978年，開的最後一門課是組閤數學。他於1985年9月7日逝世，享年97歲。

　　有些讀者可能會希望知道波利亞在數學上的貢獻。他大部分的貢獻都與分析學有關，但都是非常專門的數學研究，不在數學領域裏的社會大眾，可能難以理解，不過，有些貢獻還是值得在此一提。

　　在機率理論裏，現在已經是公定用語的「中央極限定理」（Central Limit Theorem），就是波利亞的貢獻。此外，他也證明齣機率測度的傅立葉變換是一個特徵函數，以及證明瞭在整數晶格中隨機漫步（random walk）的機率接近1，若且唯若其維度的最大值為2。

　　在幾何學上，波利亞獨立地再次列舉齣17個平麵結晶體群（crystallographic groups）；首次完成這項工作的人是費多羅夫（E. S. Fedorov），但他的研究工作已經失傳。波利亞還與尼格利（P. Niggli）閤作，發展齣這些結晶體群的記法。

　　在組閤數學裏，波利亞的計數定理（Enumeration Theorem）現在已經成為根據對稱性來計數構形的標準方法。裏德（R. C. Read）曾把這個方法描述成「一篇非凡論文中的一個非凡定理，也是組閤分析（combinatorial analysis）曆史上的重要裏程碑」。

　　《怎樣解題》是波利亞還在蘇黎士的最後一年（1940年），以德文寫成的。稍後，由於歐洲的情況，他被迫遷往美國。雖然事後證明這本書非常成功，但是在普林斯頓大學齣版社於1945年齣版它的英文版之前，曾遭到四傢齣版社的拒絕。透過普林斯頓大學齣版社，《怎樣解題》迅速且持續地成為有史以來最成功的數學書籍。
 
英文版初版序

　　大發現解決大問題，然而，並不是隻有大發現纔有存在的價值；每一個問題的解答，都需要有某個「發現」纔行。你所麵臨的也許隻是個小問題，但是如果它能引起你的好奇心，引發你的創造力，而且，如果你是用自己的方法來解決這個問題的，那麼，你一樣會經曆到發現過程中的緊張情緒，以及享受到最後那份「勝利」的喜悅與興奮。這一類的經驗，也許會讓年輕人培養齣智性上的品味，甚至烙印在心裏，成為陪伴終生的一種性格。

　　因此，數學老師也就掌握瞭大好良機。如果他（她）在教學過程中總是讓學生不斷做些機械性的計算，那無異於扼殺瞭學生的興趣，阻礙瞭學生的智能發展，同時浪費瞭大好良機。但是，如果他（她）能夠掌握良機，刺激學生的好奇心，能夠因材「齣題」，刺激學生思考，協助他們解決問題，如此一來，也許就能夠讓學生培養齣獨立思考的愛好，也學會獨立思考的方法。

　　如果大專院校的學生選修的學科還包括數學的話，可以說他們掌握瞭一個獨特的機會。然而，學生如果將數學單純視為修滿畢業學分所需的一門學科，隻要通過期末測驗就可以立刻把所學拋到腦後、忘得乾乾淨淨的話，那當然可說是坐失良機瞭。就算學生在數理上頗具天分，機會還是可能從指尖溜走，因為這些天賦異稟的學生也跟其他人一樣，必須花點功夫探索自己的天分，培養自己的興趣。想想看，如果沒嘗過覆盆子派，哪裏會知道自己喜不喜歡呢？

　　然而，學生最後可能還是會發現，數學問題也許就像填字遊戲一樣好玩，他們還可能發現解數學題時的心智活動，也可以像一場勢均力敵的網球賽一樣讓人嚮往。學生一旦嘗過瞭數學的愉悅之處，就很難再忘記，而這樣一來，數學就有機會在他們的生命中占有一席之地，成為他們的嗜好、未來從事專業工作時必需的工具、成為他們的專業，或幻化成他們的抱負。

　　筆者還記得自己的學生時代稱得上是一個有理想、有抱負的有為青年，對於數學與物理相關知識，有強烈的求知慾。他上課聽講、也多方閱讀，試圖廣納老師所教以及書本上的知識，但是有個問題卻一再睏擾著他。「嗯，沒錯，這樣解題似乎行得通，看起來是正確的答案，看起來也像是事實；但是這樣的解或事實是怎麼發現的？我要怎麼樣纔能夠創造這些？就算不能創造，至少能夠自己發現這些解法？」

　　多年後的今天，筆者於大學任教，專門教授數學；他也希望自己的眾多學生中，能有一些積極進取的學生提齣雷同的問題，而他則盡量滿足他們的好奇心。他不僅試圖瞭解各種各樣問題的解答，還希望能瞭解這些解答背後的動機和過程；他還試著解釋這些動機和過程讓他人瞭解，而這也是促成他完成這本書的原因。他希望本書能夠為每一位想要培養學生自行解決問題能力的老師，提供一些實用的知識，也為那些想要發展自我解題能力的學生，提供實際的幫助。

　　盡管筆者主要是以數學係師生的需求為本書的關注點，但實際上對於每一個關心發明及發現方法的人，這本書應該都能挑起大傢閱讀的興趣。而這樣的人數量之多，可能完全齣乎我們的意料，我們實在不應該未經思索就草率假設。填字遊戲和各種猜謎遊戲常見於報紙或雜誌上，這情形似乎顯示瞭人們也挺喜愛解答一些與日常生活不直接相關、不能帶來任何物質利益的問題。如果深究這種解題的欲望，我們也許能夠推測：人們內心深處應該是有更深切的好奇心，也急於瞭解問題解答的方法、動機及解題過程。

　　後麵各章節可說刻意寫得十分精確，但是盡量用淺顯易懂的方式來寫，盡管寫得簡單，仍然根據瞭長期而嚴謹的解題方法研究為基礎。有些作者把這樣的研究稱為「啓發法」（heuristic），這種研究現今已經不再流行，但是由來已久，也許未來還會再領風騷呢。

　　在研究解題方法的過程中，我們察覺到數學的另一麵。是的，數學有兩麵，它不僅是嚴謹的歐幾裏得學，還具有其他麵嚮。以歐幾裏得的方式所呈現的數學，看起來像是一門有係統的演繹科學；然而，發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學。這兩個觀點，其實都跟數學本身的曆史一樣久遠，不過，從某個角度來說，第二個觀點顯得比較新鮮一些，因為這種「創造數學的過程」，從來沒有這樣子呈現給學生、老師或社會大眾。

　　「啓發法」所涵蓋的範圍，可說是五花八門；數學傢、邏輯學傢、心理學傢、教育學傢，甚至哲學傢，都能在其中找到屬於他們的專精領域。筆者相當瞭解可能來自相反立場的批評，也很願意承認自己所知有限，在此隻想說明一件事：他自己有一些解題的經驗，也有許多不同程度的數學授課經驗。

　　筆者也正緻力於另外一本書，希望能對啓發法這門學問，作更進一步的探討。
第二版序

　　除瞭一些小修正之外，這一版主要新增瞭第四部「問題、提示與解答」。

　　就在本版即將付梓之際，一份由美國教育測驗服務社（ETS）所做的研究適切地指齣一些現象（參考1956年6月18日的《時代》雜誌）：「……數學很『光榮地』成為學校課程中，最不受歡迎的一個科目……未來的老師在小學裏，學會怎麼討厭數學……長大之後，他們迴到學校去，教導下一代該怎麼討厭數學。」對圈內人來說，這也許不是什麼新鮮事，但的確是該讓社會大眾知道的時候瞭。

　　我希望本書的這一版，能夠更為普及，也可以讓某些讀者瞭解到，學習數學，除瞭是為將來從事工程工作或學習科學知識預作準備之外，也可以是有趣的，還可以開啓高階心智活動的大門。
 

第一部　在教室裏

主要步驟及主要提問

6. 四個階段

在尋求解答的過程中，我們的想法往往會一再改變，看待問題的方式與觀點，也都會一再産生變化。在剛開始解題時，我們對問題的瞭解可能很有限，也不完整；在有些進展以後，會對問題産生不同的瞭解；到瞭快要知道答案的時候，對問題自然又有一番新的認識。

為瞭方便把「提示錶」上的提問和建議分門彆類，做個整理，我們把解題活動分成四個主要階段：首先，我們必須要瞭解問題：我們必須很清楚地知道，什麼是我們要尋找的解答。第二，我們必須要瞭解問題裏存在的各個關係，例如已知數和未知數之間有什麼關係，並據此擬定一個計畫，來求得解答。第三，我們確實動手來執行計畫（數學計算）。最後，我們要迴顧整個解答過程，驗算答案並討論它的意義。

每個階段都有它的重要性。有時候，學生也許會靈光一閃，可以跳過所有的準備步驟，直接得齣解答。當然很多人都希望能有這種幸運的時光；但是相對來說，沒有人會希望，在辛辛苦苦經曆這四個階段之後，卻還是無法得齣什麼好點子。最糟的情形則是，學生在瞭解問題之前，就匆匆動手開始計算。一般來說，在不瞭解問題的整體關聯，或是心裏還沒有份計畫之前，就開始從事細節的計算工作，往往是無濟於事的。此外，在執行計畫（計算）的過程中，如果學生可以一步一步地檢查，往往可以避免很多錯誤與疏失。若少瞭驗算，或是沒有迴顧一下解答的過程，則往往無法從解題的活動中，獲得最佳的結果。

7. 瞭解問題

去迴答一個你不瞭解的問題，實在是件愚蠢的事情。為瞭你不想得到的結果，卻又必須辛勤工作，實在很令人沮喪。不論在學校裏或學校外，這類愚蠢而又令人沮喪的事，卻經常發生。老師實在應該避免讓這類的事情，在他的課堂上發生。學生應該要瞭解問題，但是，光隻有瞭解問題是不夠的，他們還應該要有份渴望或動機，希望去把解答找齣來。如果學生缺乏對問題的瞭解或興趣，這並不全然是他們的錯；選題或齣題要恰當，不要太難，也不要太簡單，並要自然而有趣，而且要有足夠的時間，來對題目做自然而有趣的說明。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，《怎樣解題》這本書，真的給我帶來瞭前所未有的震撼。我本身從事的是一個需要不斷創新和解決技術難題的行業，每天都在跟各種未知和挑戰打交道。過去，我常常感到疲憊和無力，因為很多時候，我感覺自己是在原地打轉，找不到突破口。這本書的齣現，簡直就像一道曙光。它並沒有提供什麼神奇的公式，而是透過一種非常邏輯、非常結構化的方式，引導我重新審視「問題」本身。書中對於「定義問題」的探討，就讓我大開眼界。我過去常常想當然爾地認為自己已經瞭解問題，結果卻是南轅北轍。《怎樣解題》讓我明白，清晰、準確地定義問題，是解決問題的第一步，也是最關鍵的一步。此外，書中對於「發想創意」的探討，也讓我受益匪淺。它並沒有鼓勵那種天馬行空的想像，而是提供瞭一係列可行的方法，去激發更多有潛力的解決方案。這本書讓我學會，解決問題不是單靠靈感，而是結閤瞭係統性的思考、嚴謹的邏輯，以及不斷的嘗試和修正。

评分☆☆☆☆☆

喔，說到這本《怎樣解題》，我隻能說，它絕對是我近幾年來讀過最實用、最有啟發性的書之一！我本身是個有點完美主義的人，遇到問題常常會想太多，鑽牛角尖，結果反而越弄越糟。剛開始拿到這本書時，我其實有點懷疑，畢竟「解題」這兩個字聽起來好像很學術，不知道能不能真的應用在我的日常生活中。但讀瞭之後，我纔知道我錯得離譜！書裡麵的內容，很多都是我過去從來沒有想過的切入點。例如，書裡提到「反嚮思考」的重要性，也就是不要隻從正麵去想解決方案，有時候從反麵去觀察，反而能找到意想不到的突破口。還有，對於「風險評估」的探討，也非常到位。我們常常在急著解決問題的時候，忽略瞭潛在的風險，導緻後續問題叢生。《怎樣解題》用一種非常嚴謹但又不失趣味的方式，告訴我該如何預見並規避這些風險。我尤其喜歡書中提到的「迭代式解決」的概念，很多時候，我們不必追求一步到位的完美方案，而是可以先找齣一個可行的方嚮，然後不斷地優化和調整，最終達到更好的結果。這對於我這種容易患得患失的人來說，真的太有幫助瞭！

评分☆☆☆☆☆

這本《怎樣解題》讀起來真的讓人驚喜連連！身為一個在颱灣生活、工作，每天都會麵臨各種大大小小挑戰的人，我一直很想找到一本能夠真正幫助我釐清思緒、更有係統性解決問題的書。市麵上關於「解決問題」的書不少，但很多都流於空泛的理論，或是給予一些模稜兩可的建議。然而，這本《怎樣解題》卻讓我耳目一新。它不像坊間那些速成班式的教學，而是更像一位經驗老到的導師，引導你一步步深入問題的核心。書中探討的麵嚮非常廣泛，從基本的定義問題、分析問題，到發想解決方案、評估可行性，甚至到執行與檢討，環環相扣，脈絡清晰。我特別欣賞書中對於「釐清問題本質」的強調，很多時候我們之所以陷入睏境，並非因為問題本身無解，而是我們誤解瞭問題，或是將問題的錶象與本質混淆。作者透過許多生動的例子，讓我學會如何抽絲剝繭，找到真正的癥結點。這本書不隻教你「怎麼做」，更引導你「怎麼思考」，這對於我這種需要不斷從零開始建立解決方案的創業者來說，簡直是如獲至寶。讀完之後，我發現自己看待問題的角度都改變瞭，不再一味地焦慮，而是能更冷靜、客觀地分析，進而找到更有效率的解方。

评分☆☆☆☆☆

每次讀完一本好書，總會有一種想跟全世界分享的衝動，而《怎樣解題》絕對就是這樣的一本書！身為一個長期在職場打滾的上班族，每天都要麵對各種來自上司、同事、客戶的挑戰，有時候真的覺得壓力山大。我之前一直以為，解決問題的能力，主要靠經驗纍積，還有就是「看天分」。但這本書徹底改變瞭我對這個看法的認知。它用非常平易近人的語言，深入淺齣地介紹瞭許多解決問題的核心原則和方法。我特別喜歡書中關於「類比思考」的討論，就是如何透過觀察其他領域的成功案例，來獲得解決自身問題的靈感。這真的是一個非常寶貴的啟示！而且，書裡也探討瞭「團隊協作」在解決問題中的重要性，強調瞭如何有效地與他人溝通、協調，共同達成目標。這些內容，對於我這種需要經常與團隊閤作的人來說，簡直是福音。讀完這本書，我感覺自己像是獲得瞭一套「解題工具箱」，麵對任何挑戰，都多瞭一份從容和底氣。它不隻是一本讓你學會「怎麼做」的書，更是一本讓你學會「怎麼思考」的書，非常推薦給所有希望提升解決問題能力的朋友！

评分☆☆☆☆☆

坦白說，《怎樣解題》這本書，對我的人生軌跡造成瞭不小的影響。我一直以來都不是一個特別聰明的人，遇到睏難總是感到力不從心。我曾經以為，解決問題的能力是天生的，有些人就是天生比較有這方麵的纔能。但這本書完全顛覆瞭我的想法。它證明瞭「解題」確實是可以透過學習和練習來提升的。書裡麵有很多關於「問題拆解」的技巧，教我如何把一個看似龐大、複雜的問題，分解成一個個小而易於處理的部分。這讓我不再對問題感到畏懼，而是能夠更有條理地逐一攻剋。更讓我印象深刻的是，書中強調瞭「知識遷移」的重要性，也就是如何將過去解決類似問題的經驗，應用到新的情境中。這聽起來好像很簡單，但實際上卻需要高度的洞察力和歸納能力。《怎樣解題》提供瞭一套係統性的方法，讓我能夠更有意識地去培養這種能力。它不隻是傳授技巧，更是塑造一種思維模式，一種麵對挑戰時的積極態度。我現在看待生活中的各種問題，都多瞭一份從容和自信。