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原文作者： G. Polya

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• 解题技巧
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• 思维训练
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• 学习指南
• 中小学数学
• 解题策略

任何领域的每一个人，都必须学会怎样解题。

　　本书作者波利亚，是数学教育史上极重要的数学教育家，《怎样解题》可说是流传最广、影响最深远的代表作，自出版以来，已经影响了一代又一代的读者。在书中，波利亚提出了解题的四大步骤，并且穿插了范例，你可以跟着波利亚的脚步，学会如何从推理与提问，直捣证明题或求解题的核心，而这样的数学方法，对解决任何问题都有帮助。

　　熟读《怎样解题》，你就能成为思考、分析、解题的顶尖高手。
 

《科学思维与创新实践指南》 一、本书主题与核心理念 《科学思维与创新实践指南》是一部面向所有对逻辑推理、问题解决和创新思维抱有浓厚兴趣的读者、专业人士和学生群体的深度指南。本书并非聚焦于某一特定学科的知识传授，而是致力于剖析人类在面对未知、复杂或既有范式无法解答的问题时，所应采取的系统性思维框架与操作流程。 本书的核心理念在于：任何领域的重大突破，都源于对问题本质的深刻洞察，以及一套严谨、可复用的思维工具箱。 我们相信，思维本身是一种可以被学习、训练和优化的技能，而非仅仅依赖天赋。 二、内容架构与章节导览 本书内容被划分为四大核心板块，层层递进，旨在构建一个从基础认知到高级应用的完整思维闭环。 第一部分：理解思维的基石——认知的校准（约350字） 本部分首先探讨人类认知的基本结构与局限性。我们从认知心理学和决策科学的角度出发，揭示直觉、启发式偏见（Heuristics and Biases）如何影响我们的初步判断。 偏见的识别与量化： 详细剖析确认偏误、锚定效应、可得性启发等在实际决策中的表现，并提供即时的自检清单。 心智模型的构建： 介绍强大的心智模型（如奥卡姆剃刀原理、复利效应、临界点理论）如何作为思考的“底层操作系统”，帮助我们过滤噪音，抓住关键。 批判性思维的入门： 强调区分事实（Fact）、观点（Opinion）和推论（Inference）的重要性，为后续的深入分析打下坚实的基础。 第二部分：问题界定的艺术——探究的起点（约400字） 我们深知“定义了一个好问题，就解决了一半问题”。本部分聚焦于如何将模糊、庞大或看似无解的挑战，转化为清晰、可操作的研究对象。 “为什么”的深度挖掘（五问法进阶）： 超越传统五问法，引入情境依赖性提问，探究问题的深层结构、边界条件和潜在的利益相关者影响。 问题空间的映射： 教授如何使用矩阵分析、思维导图或概念图谱（Concept Mapping）来可视化问题的各个维度，识别关键的变量和相互作用。 从描述性到规范性： 指导读者如何将对现状的描述性观察（“是什么”）转化为对未来状态的规范性目标设定（“应该是什么”），明确成功的标准和衡量指标。 第三部分：推理、分析与假设检验（约450字） 这是本书的技术核心，详细阐述了从信息收集到得出可靠结论的逻辑路径。 演绎、归纳与溯因推理的实战应用： 讲解经典三段论在商业分析、工程设计中的严谨运用，并特别强调溯因推理（Abductive Reasoning）在形成新颖解释和假设生成中的作用。 数据素养与模型思维： 探讨如何审视数据的可靠性（数据偏差、样本代表性），并介绍基础的建模思维，即如何用简化的框架来模拟复杂系统的运行，而非沉溺于不必要的细节。 实验性思维与快速原型验证（Rapid Prototyping）： 介绍如何设计“最小可行性测试”（Minimal Viable Test）来验证高风险假设。这部分强调的是在信息不完全的情况下，如何以最低成本获取最有价值的反馈，从而快速迭代。我们深入探讨了对照组的设置、变量控制的重要性，以及如何从失败的测试中提取结构性知识。 第四部分：创新与系统集成——超越解决方案（约300字） 最终部分关注于如何将解题的思维成果转化为实际的、具有长远影响力的创新。 跨界思维与类比的力量： 介绍如何通过观察生物学、历史、艺术等不同领域的解决方案，进行高阶的结构性类比，从而激发非线性的创新思路。 系统的反思与反馈回路： 强调解决方案不能孤立存在。读者将学习如何分析新方案对更大系统的影响，识别潜在的副作用和反馈回路，确保解决方案的可持续性和适应性。 叙事与沟通： 探讨最终的“解决方案”必须通过有效的叙事才能被接受和实施。如何清晰、有逻辑地向不同受众传达复杂的思维过程和最终的结论，是确保思维实践价值的关键一步。 三、本书的价值定位 《科学思维与创新实践指南》旨在成为一本“方法的工具书”，而非“知识的百科全书”。它不提供任何现成的答案或特定的行业知识，而是赋予读者一套普适于任何领域、任何挑战的认知操作系统。无论您是面对复杂的工程难题、进行商业策略制定，还是仅仅希望提升日常生活中的决策质量，本书提供的结构化框架都将是您最有力的思维伙伴。通过系统的训练，读者将能够剥离问题的表象，直达核心驱动力，最终实现高效、原创性的问题解决。

作者简介

波利亚G. Polya

　　1887年生于匈牙利布达佩斯，父母为犹太人。求学时期攻读哲学、物理、数学，在布达佩斯大学取得数学博士学位。

　　第一次世界大战期间，波利亚在苏黎士的瑞士联邦理工学院（ETH）担任教职，于1928年升为正教授。1933年曾前往美国普林斯顿大学访问。

　　1940年，由于欧陆政治情势，被迫移民美国，1943年起获聘为史丹福大学的教授，直到1953年荣誉退休。退休后，波利亚仍十分忙碌，除了继续在史丹福授课，更热心数学教育，致力研究数学问题的解题策略。

　　波利亚是二十世纪极重要的数学家、数学教育家。在纯数学领域，他与Gabor Szego合写了《分析中的问题与定理》（Problems and Theorems in Analysis）这部杰作；在数学学习及教学方面，除了《怎样解题》，还陆续出版了《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning，共两卷）与《数学的发现》（Mathematical Discovery，共两卷）。

译者简介

蔡坤宪

　　东海大学物理系毕业，国立交通大学电子物理所硕士，曾在中学服务三年，任教国中理化与高中物理等科目。目前在纽西兰怀卡托大学（University of Waikato）科学与科技教育研究中心，攻读科学教育博士学位，研究领域为科学教育、物理教学、师资培育与教育多媒体设计；也在怀大物理系兼任助教的工作。剑道是主要的课余兴趣。

　　译有《观念物理II：转动力学、万有引力》、《怎样解题》，着有《观念物理VI：习题解答》（皆为天下文化出版）。
 

英文版初版序
初版第七刷序
第二版序
「怎样解题」提示表
序　康威（John H. Conway）
前言

第一部：在教室里
目的
第1节： 帮助学生
第2节： 提问、建议、心智活动
第3节： 普遍性第4节 常识
第5节：老师与学生、模仿与练习
主要步骤及主要提问
第6节： 四个阶段
第7节： 了解问题
第8节： 例子
第9节： 拟定计画
第10节： 例子
第11节： 执行计画
第12节： 例子第
第13节 验算与回顾
第14节： 例子
第15节： 不同的做法
第16节： 老师提问的方法
第17节： 好的提问与坏的提问
更多的例子
第18节： 作图题
第19节： 证明题
第20节： 速率问题

第二部：怎样解题 一段对话
认识问题
进一步了解问题
寻找有用的好想法
执行计画回顾

第三部　启发法小辞典
类比／辅助元素／辅助问题／波尔察诺／灵感／
你能验算结果吗？／你能用不同的方法导出这个结果吗？／
你能运用这个结果吗？／执行计画／条件／矛盾／系理／
你能从已知数中找到什么线索？／你可以把问题重述一遍吗？／
分解与重组／定义／笛卡儿／决心、希望与成功／诊断／
你是否使用了所有的已知数？／你知道什么相关的问题吗？／
画个图／检查你的猜测／图形／一般化／你以前见过它吗？／
这里有个已经解决过的相关问题／启发法／启发式推理／
如果不能解决眼前的问题／归纳与数学归纳法／发明者的悖论／
这个解能否满足所给的条件？／莱布尼兹／引理／仔细看未知数／
现代启发法／符号与记法／帕普斯／拘泥与精通／实际的问题／
求解题与证明题／进展与成就／字谜／归谬法与间接证法／多余的／
例行性的问题／发现的法则／表达风格的守则／教学的守则／
把条件的各个部分分开／列方程式／进度的象征／特殊化／潜意识的工作／
对称／解题的术语／量纲检验法／未来的数学家／聪明的解题高手／
聪明的读者／传统的数学教授／改变问题／未知数是什么？／
为什么要证明？／谚语的智慧／倒推法

第四部：问题、提示、解答

序

　　《怎样解题》是很棒的书！早在多年前，当我还是个学生，第一次读这本书的时候，我就已经知道它是本好书了，但是，我却花了很久的时间，才真正体会这本书有多么棒！为什么会这样？部分的理由，是因为这本书很特别。在我做学生与当老师的这些年里，我从来没有读过另外一本书，像波利亚这本书的书名所说的，教你怎么样解题。荀菲尔德（A. H. Schoenfeld）1987年在美国数学协会（MAA）的期刊发表的文章〈波利亚、解题与教育〉中，正确地描述出这本书的重要性：「在数学教育以及解题的世界里，本书为两个时期清楚地画下了一条界线：波利亚之前的解题活动，与波利亚之后的解题活动。」

　　《怎样解题》是有史以来最成功的数学书。从1945年首次出版以来，销售已经超过百万册，并译成十七种语言（编注：根据英文版出版社的资料，已经不只十七种了）。波利亚稍后还写了两本关于做数学研究这门艺术的书：《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）（1954）与《数学的发现》（Mathematical Discovery）（共两卷，1962与1965）。

　　这本书的书名，让它看起来好像只是一本为学生所写的书，但是事实上，它写给老师的内容，并没有比较少。诚如波利亚自己在「前言」里所说的，本书的第一部，大部分是站在老师的观点来写的。

　　不过，每个人都因此而获益。如果是学生来读这本书，将会「偷听到」波利亚对书中那位事实上并不存在的老师所给的一些建议，彷彿身旁好像真的有这么位好老师一样。这就是我自己读这本书的感觉，而且很自然地，在我几年后开始教书时，我发现自己也不断使用那些我认为重要的建议或意见。

　　然而一直到不久前，我有机会重读此书，而且在读完之后，我忽然了解到，这本书的价值比我以前所想像的还高！我自己是学生时，波利亚所给的许多意见，感觉并不太有帮助，然而，这些意见现在却让我变成一位比较好的老师，知道怎么去帮助和我遭遇不一样问题的人。

　　显然，波利亚教过的学生比我多，而他也一直很努力地在思考，在数学的学习上，怎么样才能对学生最有帮助。也许，他最重要的观点是：学习必须是「主动的」。诚如他在某一堂课里提到的：「数学，不是一门让人用来观赏的活动。所谓的『了解』数学，意思是要有能力去『做』数学。什么叫作（有能力）『做』数学呢？它的第一个意义就是：有能力去解决一个数学问题。」

　　我们常说，若要教好某个科目，教的人懂得的「至少得跟他的学生一样多」。对教数学来说，有一个很弔诡的事实就是：老师还得知道学生可能会产生什么样的误解！如果老师讲述的内容，可以用两种以上的方式来解读，那么必然会导致有些学生理解到其中一种，另外的学生各有体会，极好或极糟的情形皆有。

　　李特伍德（J. E. Littlewood）举了两个有趣的例子，说明我们可能不自觉地就对假设产生误解。首先，他提到在蓝姆（Lamb）的《力学》这本书里，对座标轴的描述（「因为Ox与Oy是二维平面，所以Oz是垂直的」）是错误的，因为蓝姆总是跷着脚坐在椅子上工作！其次，蓝姆要求他的读者画一条封闭曲线，让它完全位于某条切线的一侧，然后他说，总共只有四种主要不同的可能性（垂直切线的左方或右方，水平切线的上方或下方），而且在没有图形解说的情形下，他假定这条封闭曲线位于它的垂直切线的右方，而不知不觉地忽略了另外三种可能性。

　　因应这类假定的方法，我想不出有什么建议比波利亚的更好：在试着解题之前，学生应该要能清楚、明确地展示出自己对问题的理解；最好是有位真实的老师在眼前，否则，也要自己想像有位老师在身旁。有经验的数学家多半知道，数学研究最难的部分，往往就是不容易很明确地了解问题究竟在说些什么。碰到这种状况，他们通常也都遵循波利亚的建议：「如果你不能解决眼前的问题，试着从简单一点的问题着手：把这个问题找出来。」

　　各位除了可以从这本书的内容学到东西之外，应该也会从作者波利亚的生平事蹟，得到很多启示。

　　乔治‧波利亚（George Polya）于1887年12月13日生于匈牙利的布达佩斯。他出生时所取的名字是György Pólya，稍后才略去这些抑音符号。父亲是Jakab Pólya，母亲是Anna Deutsch。由于Jakab、Anna和他们的三个小孩（Jenő、Ilona和Flóra）于前一年放弃犹太教而改信天主教，所以乔治一出生就受洗为天主教徒。他们家的第五个小孩（László）则在四年后出生。

　　父亲Jakab在乔治出生的五年前，把姓氏从Pollák改成听起来比较像匈牙利文的Pólya，因为他认为，这样有助于他在大学里找到工作。他也的确谋得大学里的教职，但他不幸于1897年突然逝世，所以只在大学里服务了一段很短的时间。
小波利亚在中学时期，除了匈牙利文之外，还选读了希腊文、拉丁文与德文。有点意外的是，他当时对数学并不特别感兴趣，与他在文学、地理与其他科目的「杰出」表现相比，他在几何学方面的表现只能算是「及格」而已。在文学之外，生物学则是他最喜欢的科目。

　　他于1905年就读于布达佩斯大学（University of Budapest）法律系，不过，因为觉得很无聊，所以他很快就转系了。之后，他取得了教师证书，可以在高中教授拉丁文与匈牙利文；虽然他从来没有使用过这张教师证书，但这却是他一直引以为傲的一件事。他之所以最后会学习数学，是因为他的指导教授亚历桑德（Bernát Alexander）建议他，他应该选读一些数学与物理的课程，以帮助他在哲学上的学习。后来他曾自嘲说：「我的物理不行，哲学又太好──数学刚好在它们中间。」

　　波利亚在布达佩斯大学的物理老师是厄特沃什（Eötvös），数学老师是费耶（Fejér）。1910至1911学年度，他前往维也纳大学，受沃廷格（Wirtinger）和梅藤斯（Mertens）两位老师指导，随后回到布达佩斯，取得博士学位。随后的两年，他大都留在哥廷根；在那里，他结识了许多数学家，例如：克莱因（Klein）、卡拉泰奥多里（Caratheodory）、希尔伯特（Hilbert）、龙格（Runge）、兰道（Landau）、魏尔（Weyl）、库朗（Courant）和托普利茨（Toeplitz）。

　　接下来的1914年，他到巴黎访问研究，并与皮卡（Picard）与阿达玛（Hadamard）逐渐熟识，并得悉胡维兹（Adolf Hurwitz）帮他在苏黎士安排了一个工作机会。他接受了这个工作机会，并在稍后写到：「我之所以会到苏黎士，是为了能与胡维兹就近一起工作。从我于1914年抵达苏黎士，一直到他辞世〔1919年〕之前，有六年的时间，我们有紧密的合作关系。我对他印象非常深刻，并编辑他的许多作品。」

　　当然，就在此时发生了第一次世界大战。起初，这对波利亚没有很大的影响，因为早期的足球运动伤害，他已经申请免除从军，但是后来战情吃紧，需要更多的新兵加入战场，匈牙利政府曾要求他回国从军，为国而战。由于他强烈的和平主义观点，因此拒绝了政府的要求，结果导致他有一段很长的时间被禁止回国；事实上，他一直到1976年才再次回到匈牙利，距离他离开祖国，已经54年了。

　　在这段期间，他入了瑞士国籍，并在1918年和瑞士女孩韦伯（Stella Vera Weber）小姐结婚。在1918和1919这两年里，他发表了许多篇的数学论文，涵盖了许多不同的领域，例如：级数、数论、组合数学、投票表决系统、天文学，以及机率学等。他于1920年，升等为苏黎士的瑞士联邦理工学院（ETH）副教授。稍后几年，他与泽果（Gábor Szegó）共同出版了《分析中的问题与定理》（Problems and Theorems in Analysis），在亚历山德森（G. L. Alexanderson）和蓝格（L. H. Lange）悼念波利亚而写的传记中，把此书描述为「确立他们大师级地位的数学杰作」。

　　这本书于1925年问世。之后，波利亚得到洛克斐勒奖学金（Rockefeller Fellowship）并转往英国工作，在那里，他与哈地（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）共同合作，成果就是稍后出版的《不等式》（Inequalities，剑桥大学出版社1936年出版）。他利用第二次的洛克斐勒奖学金，于1933年前往普林斯顿大学访问，当他还在美国的时候，应布利区费尔德（H. F. Blichfeldt）之邀，也到史丹福大学访问；他非常喜爱史丹福，而史丹福最后也成了他的家。从1943年起，他获聘为史丹福大学的教授，一直到1953年退休为止，但他继续授课到1978年，开的最后一门课是组合数学。他于1985年9月7日逝世，享年97岁。

　　有些读者可能会希望知道波利亚在数学上的贡献。他大部分的贡献都与分析学有关，但都是非常专门的数学研究，不在数学领域里的社会大众，可能难以理解，不过，有些贡献还是值得在此一提。

　　在机率理论里，现在已经是公定用语的「中央极限定理」（Central Limit Theorem），就是波利亚的贡献。此外，他也证明出机率测度的傅立叶变换是一个特征函数，以及证明了在整数晶格中随机漫步（random walk）的机率接近1，若且唯若其维度的最大值为2。

　　在几何学上，波利亚独立地再次列举出17个平面结晶体群（crystallographic groups）；首次完成这项工作的人是费多罗夫（E. S. Fedorov），但他的研究工作已经失传。波利亚还与尼格利（P. Niggli）合作，发展出这些结晶体群的记法。

　　在组合数学里，波利亚的计数定理（Enumeration Theorem）现在已经成为根据对称性来计数构形的标准方法。里德（R. C. Read）曾把这个方法描述成「一篇非凡论文中的一个非凡定理，也是组合分析（combinatorial analysis）历史上的重要里程碑」。

　　《怎样解题》是波利亚还在苏黎士的最后一年（1940年），以德文写成的。稍后，由于欧洲的情况，他被迫迁往美国。虽然事后证明这本书非常成功，但是在普林斯顿大学出版社于1945年出版它的英文版之前，曾遭到四家出版社的拒绝。透过普林斯顿大学出版社，《怎样解题》迅速且持续地成为有史以来最成功的数学书籍。
 
英文版初版序

　　大发现解决大问题，然而，并不是只有大发现才有存在的价值；每一个问题的解答，都需要有某个「发现」才行。你所面临的也许只是个小问题，但是如果它能引起你的好奇心，引发你的创造力，而且，如果你是用自己的方法来解决这个问题的，那么，你一样会经历到发现过程中的紧张情绪，以及享受到最后那份「胜利」的喜悦与兴奋。这一类的经验，也许会让年轻人培养出智性上的品味，甚至烙印在心里，成为陪伴终生的一种性格。

　　因此，数学老师也就掌握了大好良机。如果他（她）在教学过程中总是让学生不断做些机械性的计算，那无异于扼杀了学生的兴趣，阻碍了学生的智能发展，同时浪费了大好良机。但是，如果他（她）能够掌握良机，刺激学生的好奇心，能够因材「出题」，刺激学生思考，协助他们解决问题，如此一来，也许就能够让学生培养出独立思考的爱好，也学会独立思考的方法。

　　如果大专院校的学生选修的学科还包括数学的话，可以说他们掌握了一个独特的机会。然而，学生如果将数学单纯视为修满毕业学分所需的一门学科，只要通过期末测验就可以立刻把所学抛到脑后、忘得干干净净的话，那当然可说是坐失良机了。就算学生在数理上颇具天分，机会还是可能从指尖熘走，因为这些天赋异禀的学生也跟其他人一样，必须花点功夫探索自己的天分，培养自己的兴趣。想想看，如果没尝过覆盆子派，哪里会知道自己喜不喜欢呢？

　　然而，学生最后可能还是会发现，数学问题也许就像填字游戏一样好玩，他们还可能发现解数学题时的心智活动，也可以像一场势均力敌的网球赛一样让人向往。学生一旦尝过了数学的愉悦之处，就很难再忘记，而这样一来，数学就有机会在他们的生命中占有一席之地，成为他们的嗜好、未来从事专业工作时必需的工具、成为他们的专业，或幻化成他们的抱负。

　　笔者还记得自己的学生时代称得上是一个有理想、有抱负的有为青年，对于数学与物理相关知识，有强烈的求知慾。他上课听讲、也多方阅读，试图广纳老师所教以及书本上的知识，但是有个问题却一再困扰着他。「嗯，没错，这样解题似乎行得通，看起来是正确的答案，看起来也像是事实；但是这样的解或事实是怎么发现的？我要怎么样才能够创造这些？就算不能创造，至少能够自己发现这些解法？」

　　多年后的今天，笔者于大学任教，专门教授数学；他也希望自己的众多学生中，能有一些积极进取的学生提出雷同的问题，而他则尽量满足他们的好奇心。他不仅试图了解各种各样问题的解答，还希望能了解这些解答背后的动机和过程；他还试着解释这些动机和过程让他人了解，而这也是促成他完成这本书的原因。他希望本书能够为每一位想要培养学生自行解决问题能力的老师，提供一些实用的知识，也为那些想要发展自我解题能力的学生，提供实际的帮助。

　　尽管笔者主要是以数学系师生的需求为本书的关注点，但实际上对于每一个关心发明及发现方法的人，这本书应该都能挑起大家阅读的兴趣。而这样的人数量之多，可能完全出乎我们的意料，我们实在不应该未经思索就草率假设。填字游戏和各种猜谜游戏常见于报纸或杂志上，这情形似乎显示了人们也挺喜爱解答一些与日常生活不直接相关、不能带来任何物质利益的问题。如果深究这种解题的欲望，我们也许能够推测：人们内心深处应该是有更深切的好奇心，也急于了解问题解答的方法、动机及解题过程。

　　后面各章节可说刻意写得十分精确，但是尽量用浅显易懂的方式来写，尽管写得简单，仍然根据了长期而严谨的解题方法研究为基础。有些作者把这样的研究称为「启发法」（heuristic），这种研究现今已经不再流行，但是由来已久，也许未来还会再领风骚呢。

　　在研究解题方法的过程中，我们察觉到数学的另一面。是的，数学有两面，它不仅是严谨的欧几里得学，还具有其他面向。以欧几里得的方式所呈现的数学，看起来像是一门有系统的演绎科学；然而，发展中的数学，又像是一门实验的归纳科学。这两个观点，其实都跟数学本身的历史一样久远，不过，从某个角度来说，第二个观点显得比较新鲜一些，因为这种「创造数学的过程」，从来没有这样子呈现给学生、老师或社会大众。

　　「启发法」所涵盖的范围，可说是五花八门；数学家、逻辑学家、心理学家、教育学家，甚至哲学家，都能在其中找到属于他们的专精领域。笔者相当了解可能来自相反立场的批评，也很愿意承认自己所知有限，在此只想说明一件事：他自己有一些解题的经验，也有许多不同程度的数学授课经验。

　　笔者也正致力于另外一本书，希望能对启发法这门学问，作更进一步的探讨。
第二版序

　　除了一些小修正之外，这一版主要新增了第四部「问题、提示与解答」。

　　就在本版即将付梓之际，一份由美国教育测验服务社（ETS）所做的研究适切地指出一些现象（参考1956年6月18日的《时代》杂志）：「……数学很『光荣地』成为学校课程中，最不受欢迎的一个科目……未来的老师在小学里，学会怎么讨厌数学……长大之后，他们回到学校去，教导下一代该怎么讨厌数学。」对圈内人来说，这也许不是什么新鲜事，但的确是该让社会大众知道的时候了。

　　我希望本书的这一版，能够更为普及，也可以让某些读者了解到，学习数学，除了是为将来从事工程工作或学习科学知识预作准备之外，也可以是有趣的，还可以开启高阶心智活动的大门。
 

第一部　在教室里

主要步骤及主要提问

6. 四个阶段

在寻求解答的过程中，我们的想法往往会一再改变，看待问题的方式与观点，也都会一再产生变化。在刚开始解题时，我们对问题的了解可能很有限，也不完整；在有些进展以后，会对问题产生不同的了解；到了快要知道答案的时候，对问题自然又有一番新的认识。

为了方便把「提示表」上的提问和建议分门别类，做个整理，我们把解题活动分成四个主要阶段：首先，我们必须要了解问题：我们必须很清楚地知道，什么是我们要寻找的解答。第二，我们必须要了解问题里存在的各个关系，例如已知数和未知数之间有什么关系，并据此拟定一个计画，来求得解答。第三，我们确实动手来执行计画（数学计算）。最后，我们要回顾整个解答过程，验算答案并讨论它的意义。

每个阶段都有它的重要性。有时候，学生也许会灵光一闪，可以跳过所有的准备步骤，直接得出解答。当然很多人都希望能有这种幸运的时光；但是相对来说，没有人会希望，在辛辛苦苦经历这四个阶段之后，却还是无法得出什么好点子。最糟的情形则是，学生在了解问题之前，就匆匆动手开始计算。一般来说，在不了解问题的整体关联，或是心里还没有份计画之前，就开始从事细节的计算工作，往往是无济于事的。此外，在执行计画（计算）的过程中，如果学生可以一步一步地检查，往往可以避免很多错误与疏失。若少了验算，或是没有回顾一下解答的过程，则往往无法从解题的活动中，获得最佳的结果。

7. 了解问题

去回答一个你不了解的问题，实在是件愚蠢的事情。为了你不想得到的结果，却又必须辛勤工作，实在很令人沮丧。不论在学校里或学校外，这类愚蠢而又令人沮丧的事，却经常发生。老师实在应该避免让这类的事情，在他的课堂上发生。学生应该要了解问题，但是，光只有了解问题是不够的，他们还应该要有份渴望或动机，希望去把解答找出来。如果学生缺乏对问题的了解或兴趣，这并不全然是他们的错；选题或出题要恰当，不要太难，也不要太简单，并要自然而有趣，而且要有足够的时间，来对题目做自然而有趣的说明。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，《怎樣解題》這本書，真的給我帶來了前所未有的震撼。我本身從事的是一個需要不斷創新和解決技術難題的行業，每天都在跟各種未知和挑戰打交道。過去，我常常感到疲憊和無力，因為很多時候，我感覺自己是在原地打轉，找不到突破口。這本書的出現，簡直就像一道曙光。它並沒有提供什麼神奇的公式，而是透過一種非常邏輯、非常結構化的方式，引導我重新審視「問題」本身。書中對於「定義問題」的探討，就讓我大開眼界。我過去常常想當然爾地認為自己已經了解問題，結果卻是南轅北轍。《怎樣解題》讓我明白，清晰、準確地定義問題，是解決問題的第一步，也是最關鍵的一步。此外，書中對於「發想創意」的探討，也讓我受益匪淺。它並沒有鼓勵那種天馬行空的想像，而是提供了一系列可行的方法，去激發更多有潛力的解決方案。這本書讓我學會，解決問題不是單靠靈感，而是結合了系統性的思考、嚴謹的邏輯，以及不斷的嘗試和修正。

评分☆☆☆☆☆

喔，說到這本《怎樣解題》，我只能說，它絕對是我近幾年來讀過最實用、最有啟發性的書之一！我本身是個有點完美主義的人，遇到問題常常會想太多，鑽牛角尖，結果反而越弄越糟。剛開始拿到這本書時，我其實有點懷疑，畢竟「解題」這兩個字聽起來好像很學術，不知道能不能真的應用在我的日常生活中。但讀了之後，我才知道我錯得離譜！書裡面的內容，很多都是我過去從來沒有想過的切入點。例如，書裡提到「反向思考」的重要性，也就是不要只從正面去想解決方案，有時候從反面去觀察，反而能找到意想不到的突破口。還有，對於「風險評估」的探討，也非常到位。我們常常在急著解決問題的時候，忽略了潛在的風險，導致後續問題叢生。《怎樣解題》用一種非常嚴謹但又不失趣味的方式，告訴我該如何預見並規避這些風險。我尤其喜歡書中提到的「迭代式解決」的概念，很多時候，我們不必追求一步到位的完美方案，而是可以先找出一個可行的方向，然後不斷地優化和調整，最終達到更好的結果。這對於我這種容易患得患失的人來說，真的太有幫助了！

评分☆☆☆☆☆

每次讀完一本好書，總會有一種想跟全世界分享的衝動，而《怎樣解題》絕對就是這樣的一本書！身為一個長期在職場打滾的上班族，每天都要面對各種來自上司、同事、客戶的挑戰，有時候真的覺得壓力山大。我之前一直以為，解決問題的能力，主要靠經驗累積，還有就是「看天分」。但這本書徹底改變了我對這個看法的認知。它用非常平易近人的語言，深入淺出地介紹了許多解決問題的核心原則和方法。我特別喜歡書中關於「類比思考」的討論，就是如何透過觀察其他領域的成功案例，來獲得解決自身問題的靈感。這真的是一個非常寶貴的啟示！而且，書裡也探討了「團隊協作」在解決問題中的重要性，強調了如何有效地與他人溝通、協調，共同達成目標。這些內容，對於我這種需要經常與團隊合作的人來說，簡直是福音。讀完這本書，我感覺自己像是獲得了一套「解題工具箱」，面對任何挑戰，都多了一份從容和底氣。它不只是一本讓你學會「怎麼做」的書，更是一本讓你學會「怎麼思考」的書，非常推薦給所有希望提升解決問題能力的朋友！

评分☆☆☆☆☆

坦白說，《怎樣解題》這本書，對我的人生軌跡造成了不小的影響。我一直以來都不是一個特別聰明的人，遇到困難總是感到力不從心。我曾經以為，解決問題的能力是天生的，有些人就是天生比較有這方面的才能。但這本書完全顛覆了我的想法。它證明了「解題」確實是可以透過學習和練習來提升的。書裡面有很多關於「問題拆解」的技巧，教我如何把一個看似龐大、複雜的問題，分解成一個個小而易於處理的部分。這讓我不再對問題感到畏懼，而是能夠更有條理地逐一攻克。更讓我印象深刻的是，書中強調了「知識遷移」的重要性，也就是如何將過去解決類似問題的經驗，應用到新的情境中。這聽起來好像很簡單，但實際上卻需要高度的洞察力和歸納能力。《怎樣解題》提供了一套系統性的方法，讓我能夠更有意識地去培養這種能力。它不只是傳授技巧，更是塑造一種思維模式，一種面對挑戰時的積極態度。我現在看待生活中的各種問題，都多了一份從容和自信。

评分☆☆☆☆☆

這本《怎樣解題》讀起來真的讓人驚喜連連！身為一個在台灣生活、工作，每天都會面臨各種大大小小挑戰的人，我一直很想找到一本能夠真正幫助我釐清思緒、更有系統性解決問題的書。市面上關於「解決問題」的書不少，但很多都流於空泛的理論，或是給予一些模稜兩可的建議。然而，這本《怎樣解題》卻讓我耳目一新。它不像坊間那些速成班式的教學，而是更像一位經驗老到的導師，引導你一步步深入問題的核心。書中探討的面向非常廣泛，從基本的定義問題、分析問題，到發想解決方案、評估可行性，甚至到執行與檢討，環環相扣，脈絡清晰。我特別欣賞書中對於「釐清問題本質」的強調，很多時候我們之所以陷入困境，並非因為問題本身無解，而是我們誤解了問題，或是將問題的表象與本質混淆。作者透過許多生動的例子，讓我學會如何抽絲剝繭，找到真正的癥結點。這本書不只教你「怎麼做」，更引導你「怎麼思考」，這對於我這種需要不斷從零開始建立解決方案的創業者來說，簡直是如獲至寶。讀完之後，我發現自己看待問題的角度都改變了，不再一味地焦慮，而是能更冷靜、客觀地分析，進而找到更有效率的解方。