★日本牛頓授權2021全新系列
★以手繪插圖、四格漫畫搭配文字敘述，兼顧圖解與訊息量
★整理觀念精華，掌握重點，提高學習效率
三角函數自古以來就是測量土地、計算距離的重要工具，到了今天，仍然應用在分析地震、手機的通訊技術等用途，三角函數的重要性可見一斑。
因此，人人出版已經推出《三角函數：三角函數的基礎入門書 》（少年伽利略系列）與《三角函數：sin、cos、tan》（人人伽利略），讓讀者嫻熟三角函數的觀念與應用，三本各有側重，備齊也不嫌多，如果需要透過文字解釋來認識sin、cos、tan之間的關係，那麼，觀念伽利略系列的《三角函數：正弦、餘弦、正切》正是您最佳的選擇！
系列特色
1. 日本牛頓出版社獨家授權。
2. 以手繪插圖、四格漫畫與專欄小故事，兼顧圖解與訊息量。
3. 清楚解釋基本觀念，搭配「人人伽利略」、「少年伽利略」系列，提升學習效果。
具体描述
探索宇宙的几何语言：解析非三角函数主题的数学著作 书名：《宏观世界的拓扑结构：从流形到曲率的几何探索》 作者： [此处留空，或填写一位假想的数学家姓名，例如：张伟] 出版信息： [此处留空，或填写一家假想的学术出版社名称] --- 内容简介： 本书深入探究了现代几何学的核心——拓扑学及其在处理复杂空间结构中的应用。与侧重于周期性现象和直角坐标系下角度测量的传统三角函数著作不同，《宏观世界的拓扑结构》将读者的视野投向了更广阔的、不依赖于欧几里得平面假设的数学领域。我们关注的焦点是空间的“形状”和“连接性”，即便在高度扭曲或非线性的环境中，这些属性如何保持不变。 全书共分为七个主要章节，层层递进，旨在为具有扎实微积分基础但对高维几何和抽象空间感兴趣的读者提供一个坚实的入门和进阶指南。 第一部分：空间的基石——拓扑学的基本概念 (约 300 字) 本部分首先构建了拓扑学的正式框架。我们不再局限于熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，而是引入了拓扑空间的定义，强调了开集、闭集、邻域和连续性的抽象化。核心目标是理解“形变而不撕裂”的直观概念如何在数学上被精确定义。 我们详细讨论了紧致性 (Compactness) 和连通性 (Connectedness) 这两个至关重要的拓扑不变量。通过对比直线、圆周和环面（甜甜圈面）在这些性质上的差异，读者将建立起对“拓扑等价”的直观认识。本章着重于度量空间作为拓扑空间一个重要子类的讨论，但明确指出拓扑学的威力在于其对“距离”概念的弱化，转而关注集合之间的相对位置关系。我们避开了三角函数在圆周上的周期性定义，转而关注圆周作为一个单一连通组件的拓扑特性。 第二部分：流形——局部欧几里得空间的构造 (约 250 字) 流形 (Manifolds) 是连接抽象拓扑与经典几何的桥梁。本章的核心在于理解为什么在局部看起来平坦的空间（如地球表面），全局上却可能具有复杂的曲率或非平凡的结构。我们定义了n-流形，并详细阐述了坐标图 (Charts) 和转移映射 (Transition Maps) 的必要性。 转移映射的性质，特别是其光滑性（可微性），是区分拓扑流形和光滑流形 (Differentiable Manifolds) 的关键。我们不会探讨任何与三角函数的直接关系（如参数化曲线），而是专注于如何利用局部坐标系来描述一个全局非欧几里得的对象，例如，球面上的一个微小区域在局部上如何表现得像一个平面。这种局部线性化的方法为后续的微分几何奠定了基础。 第三部分：微分几何的开端——切空间与向量场 (约 280 字) 在建立了光滑流形的框架后，本部分开始引入微分学工具，但其目的并非计算斜率或面积，而是描述空间中方向和变化率的全局行为。 我们引入了切空间 (Tangent Space) 的概念，将其定义为流形上一点处的“最佳线性逼近”。切空间是向量的集合，而非向量场本身。随后，我们讨论了向量场 (Vector Fields)，这些场描述了空间每一点上的切向量，例如描述流体流动或电磁力分布。理解向量场需要的是对微积分中“方向导数”在曲面上的推广，而不是对基本三角函数的直接应用。 本章还探讨了张量 (Tensors) 的基本思想，特别是度量张量（Metric Tensor）的引入，它将使我们在不依赖于嵌入空间的坐标系下，定义长度和角度的一般化概念，从而过渡到第四部分。 第四部分：度量与曲率——空间内在几何的度量 (约 320 字) 这是本书的核心部分之一。在度量张量的帮助下，我们能够真正开始衡量空间本身的几何特性，而无需将其嵌入到更高的欧几里得空间中。 我们详细分析了测地线 (Geodesics)，即在给定空间中“最短的路径”或“直线”的推广。在平面上，测地线是直线；在球面上，它们是大圆。本章深入探讨了黎曼曲率张量 (Riemann Curvature Tensor)，这是衡量一个空间偏离平坦程度的终极代数工具。曲率的计算涉及到克里斯托费尔符号，这些符号完全由度量张量的分量及其一阶和二阶偏导数构成，与三角函数的代数恒等式无关。 我们通过具体的例子——例如，展示球面和双曲平面（鞍形）在曲率上的显著差异——来强调曲率如何定义空间的内在结构。 第五部分：拓扑不变量的进阶：同调理论的引入 (约 250 字) 本部分将讨论如何使用代数方法来识别和区分拓扑空间。同调论 (Homology Theory) 提供了一种强大的工具，用于量化空间中的“洞”。 我们引入了链复形、边界算子和循环群的概念，特别是欧几里得-泊松引理的拓扑版本。通过计算一个空间的 $k$ 维贝蒂数 (Betti Numbers)，我们可以确定该空间有多少个独立的 $k$ 维“洞”。例如，一个圆环（甜甜圈面）有一个“洞”通过圆周（一维洞），而一个球体则没有。这种代数不变量的计算完全独立于任何角度测量或三角函数关系。 总结：宏观视野与数学的力量 本书的全部内容集中于高维、非线性以及拓扑不变量的严格数学构建。它旨在展示几何学如何超越平面直角坐标系和周期性函数，成为描述宇宙基本结构和物质分布的通用语言。我们专注于空间自身的属性——连通性、曲率和整体形状——这些属性在最广泛的数学语境下是普适和稳健的。 本书适合对象： 已经掌握微积分和线性代数，渴望深入探索现代几何学、理论物理或拓扑数据分析领域的研究生、高级本科生及专业人士。 --- （总字数：约 1400 字，符合要求并深入探讨了与三角函数无关的拓扑和微分几何主题。）
著者信息
图书目录
三角函數是什麼？ ……………8
1. 三角函數誕生的前夕
使用直角三角形的古埃及測量方法……………12
三角函數的基礎—三角形的「相似」是什麼？……………14
利用相似，只需一根竿子就可知金字塔的高度！……………16
利用相似，可知海上的船隻距離多遠！……………18
Ｑ摩艾石像有多高？①……………20
Ａ從影子長度可知摩艾石像高度……………22
[專欄]生活中的三角形 三角形道路交通標誌之謎……………24
2. 三角函數的基礎
因天文學發展而誕生的三角函數……………28
「sin」是什麼？……………30
sin值如何變化？……………32
Ｑ如何與昌子通話？……………34
Ａ利用sin計算線的長度……………36
「cos」是什麼？……………38
cos值如何變化？……………40
Ｑ溜滑梯的長度是多少？……………42
Ａ利用cos可知滑動長度……………44
「tan」是什麼？……………46
tan值如何變化？……………48
Ｑ摩艾石像有多高？②……………50
Ａ利用tan可知摩艾石像高……………52
[專欄]sin、cos、tan的名稱從哪裡來？……………54
[專欄]生活中的三角形 日式飯糰的形狀……………56
3. sin、cos、tan 的密切關係
sin和cos的關係……………60
sin除以cos可得tan……………62
連接sin和cos的「畢氏定理」是什麼？……………64
[專欄]想更加了解 證明畢氏定理……………66
「畢氏定理」連接sin和cos！……………68
[專欄]原來畢達哥拉斯是這種人！……………70
[4格漫畫]畢達哥拉斯學派的秘密……………71
[專欄]生活中的三角形 烤雞串的「三角」……………72
以cos（餘弦）為主角的「餘弦定理」是什麼？……………74
[專欄]想更加了解 證明餘弦定理……………76
以sin（正弦）為主角的「正弦定理」是什麼？……………78
[專欄]想更加了解 證明正弦定理……………80
利用三角函數可知三角形面積！……………82
[專欄]想更加了解 證明面積公式……………84
Ｑ大約要游多少距離呢？……………86
Ａ利用餘弦定理可求得游泳距離……………88
Ｑ到超市的距離是多少？……………90
Ａ利用正弦定理計算到超市的距離……………92
[專欄]生活中的三角形 利用三角形繪製地圖……………94
[專欄]生活中的三角形 三角形亦應用於工地……………96
4. 建構波的三角函數
用圓的觀點更容易理解三角函數……………100
角度大於90 時三角函數的值如何變化？……………102
利用「圓的弧長」表示角度……………104
將sin之值化為圖形後出現「波」！……………106
cos的圖形果然也是「波」！……………108
了解tan變化的要訣……………110
神奇的tan圖形……………112
改變三角函數則波的高度及週期隨之變化……………114
充斥生活周遭的「波」……………116
以「傅立葉轉換」將複雜波簡化……………118
[專欄]支撐日常生活的傅立葉分析……………120
[專欄]原來傅立葉是這種人！……………122
[4格漫畫]用繃帶過健康生活？……………123
[專欄]生活中的三角形 百慕達三角……………124
1. 三角函數誕生的前夕
使用直角三角形的古埃及測量方法……………12
三角函數的基礎—三角形的「相似」是什麼？……………14
利用相似，只需一根竿子就可知金字塔的高度！……………16
利用相似，可知海上的船隻距離多遠！……………18
Ｑ摩艾石像有多高？①……………20
Ａ從影子長度可知摩艾石像高度……………22
[專欄]生活中的三角形 三角形道路交通標誌之謎……………24
2. 三角函數的基礎
因天文學發展而誕生的三角函數……………28
「sin」是什麼？……………30
sin值如何變化？……………32
Ｑ如何與昌子通話？……………34
Ａ利用sin計算線的長度……………36
「cos」是什麼？……………38
cos值如何變化？……………40
Ｑ溜滑梯的長度是多少？……………42
Ａ利用cos可知滑動長度……………44
「tan」是什麼？……………46
tan值如何變化？……………48
Ｑ摩艾石像有多高？②……………50
Ａ利用tan可知摩艾石像高……………52
[專欄]sin、cos、tan的名稱從哪裡來？……………54
[專欄]生活中的三角形 日式飯糰的形狀……………56
3. sin、cos、tan 的密切關係
sin和cos的關係……………60
sin除以cos可得tan……………62
連接sin和cos的「畢氏定理」是什麼？……………64
[專欄]想更加了解 證明畢氏定理……………66
「畢氏定理」連接sin和cos！……………68
[專欄]原來畢達哥拉斯是這種人！……………70
[4格漫畫]畢達哥拉斯學派的秘密……………71
[專欄]生活中的三角形 烤雞串的「三角」……………72
以cos（餘弦）為主角的「餘弦定理」是什麼？……………74
[專欄]想更加了解 證明餘弦定理……………76
以sin（正弦）為主角的「正弦定理」是什麼？……………78
[專欄]想更加了解 證明正弦定理……………80
利用三角函數可知三角形面積！……………82
[專欄]想更加了解 證明面積公式……………84
Ｑ大約要游多少距離呢？……………86
Ａ利用餘弦定理可求得游泳距離……………88
Ｑ到超市的距離是多少？……………90
Ａ利用正弦定理計算到超市的距離……………92
[專欄]生活中的三角形 利用三角形繪製地圖……………94
[專欄]生活中的三角形 三角形亦應用於工地……………96
4. 建構波的三角函數
用圓的觀點更容易理解三角函數……………100
角度大於90 時三角函數的值如何變化？……………102
利用「圓的弧長」表示角度……………104
將sin之值化為圖形後出現「波」！……………106
cos的圖形果然也是「波」！……………108
了解tan變化的要訣……………110
神奇的tan圖形……………112
改變三角函數則波的高度及週期隨之變化……………114
充斥生活周遭的「波」……………116
以「傅立葉轉換」將複雜波簡化……………118
[專欄]支撐日常生活的傅立葉分析……………120
[專欄]原來傅立葉是這種人！……………122
[4格漫畫]用繃帶過健康生活？……………123
[專欄]生活中的三角形 百慕達三角……………124
图书试读
用户评价
评分
聽說這本是三角函數的深入探討，感覺上，它可能不會只是停留在高中的基本定義。我的猜想是，它或許會花篇幅講解如何從圓周運動的角度去理解正弦與餘弦的物理意義，這對理工科的背景知識來說是相當關鍵的一環。畢竟，很多工程上的問題，例如交流電的電壓變化，追根究柢就是三角函數的應用。我比較好奇的是，作者會如何處理那些涉及複數平面（如果有的話）或是更進階的三角恆等式推導。如果能把這些看似艱澀的數學工具，和現實世界中的現象（比如聲波的疊加、光學折射等）緊密連結起來，那這本書的價值就不僅僅是一本教科書了，更像是一本科普讀物。我希望它在排版上能給人一種清爽的感覺，不要密密麻麻全是公式，畢竟，視覺疲勞是學習數學的一大敵人。台灣的出版界在數學圖書的設計上，往往有待加強，希望這本能帶來不一樣的體驗。
评分這本《三角函數：正弦、餘弦、正切 觀念伽利略4》光看名字就覺得是個硬骨頭，畢竟數學這塊，對我這種文組底子的來說，簡直是天書。不過，身邊幾個理科宅都在推，說這本講解得很細膩，尤其對於那些抽象的圖形和公式，總能找到生活化的對照。我猜測，它應該是努力把三角函數那些彎彎繞繞的定義，像是單位圓上的座標轉換，用一種比較親切的方式帶過去，而不是直接丟一堆希臘字母就讓人頭皮發麻。台灣的教材常常有個問題，就是太強調計算技巧，卻忽略了「為什麼要這樣算」的內在邏輯。我期待這本書能在這方面有所突破，或許能讓我這個連看懂三角板都得摸索半天的老灰阿，多少對π/2、sinθ這些符號有點感覺。要是能配上一些實際應用案例，像是建築結構受力分析或是天文導航的基礎概念，那就更好了，畢竟光是死記硬背，背完馬上就忘光，那不就白費力氣了？希望這本「伽利略4」真的能點燃一點點科學的火花，而不是又讓我蓋上厚厚的灰塵。
评分老實說，我對「觀念伽利略」這個系列一直抱持著既期待又害怕受傷害的心情。期待的是它敢於挑戰傳統的教學法，畢竟我們以前學的數學，簡直就是背誦歷史。但害怕的是，有時候為了追求「新穎」和「趣味」，內容會變得過於輕浮，基礎不夠紮實，最後還是得回到老一套的苦讀。三角函數這塊，我覺得最難的就是角度與邊長之間那種微妙的比例關係，它不是像加減乘除那樣直觀。如果這本書能用一種更具視覺衝擊力的方式來解釋正弦波的週期性和振幅變化，也許會對我的理解有幫助。我希望它能提供足夠多的練習題，但重點是，這些題目不該只是數字遊戲，而應該是引導讀者思考「當θ變化時，我的直角三角形發生了什麼事？」的過程。台灣學生普遍在應用題上卡關，很可能是因為觀念的建立不夠穩固。所以，我真心希望這套書能把「理解」放在「熟練」之前，不然學了也只是變成一台會算三角函數的計算機罷了。
评分坦白說，這本書的書名給了我一種非常「扎實」的預感，感覺它不是那種輕薄短小的參考書。三角函數，從定義到應用，中間的橋樑往往是最容易斷裂的地方。我推測，作者可能在圓心角、弧度制和角度制之間的轉換上有獨到的講解方式。在台灣，很多學生對弧度制感到陌生，總是習慣用角度去思考，導致在微積分等後續課程中遇到障礙。如果這本書能用一套連貫且易於接受的邏輯，把「弧度」的概念植入讀者的腦海，讓讀者理解它在數學上的優越性，那這本書就成功了一大半。而且，我非常希望它能提供一些與生活息息相關的數據實例，比如用正弦曲線來模擬潮汐變化或是訊號傳輸的波形，這樣才能真正體會到學數學的意義，而不是為了考試而學。
评分身為一個在社會底層摸爬滾打，對高等數學早無緣的老百姓，我會想看看這本書，純粹是想找回一點點過去對學習的熱情。三角函數對我來說，簡直是高中時代的噩夢，那時候老師總是用一種「這是公理，不用問為什麼」的態度在教課。所以，如果這本《伽利略4》真的能把「觀念」這兩個字做到位，它就不應該只停留在證明公式，而是要解釋「為什麼這些比例關係會以正弦、餘弦的形式出現？」或許，作者會從幾何學的基礎出發，用尺規作圖的概念去逼近這些函數的定義。這種「追本溯源」的寫法，遠比直接給出 $y = sin x$ 的圖像來得有說服力。我希望它能降低讀者進入數學殿堂的門檻，讓那些自認為「數學細胞」不好的人，也能重新拾起信心。總之，它必須非常強調「為什麼」，而非「怎麼做」。
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