★日本牛頓授權2021全新係列
★以手繪插圖、四格漫畫搭配文字敘述，兼顧圖解與訊息量
★整理觀念精華，掌握重點，提高學習效率
三角函數自古以來就是測量土地、計算距離的重要工具，到瞭今天，仍然應用在分析地震、手機的通訊技術等用途，三角函數的重要性可見一斑。
因此，人人齣版已經推齣《三角函數：三角函數的基礎入門書 》（少年伽利略係列）與《三角函數：sin、cos、tan》（人人伽利略），讓讀者嫻熟三角函數的觀念與應用，三本各有側重，備齊也不嫌多，如果需要透過文字解釋來認識sin、cos、tan之間的關係，那麼，觀念伽利略係列的《三角函數：正弦、餘弦、正切》正是您最佳的選擇！
係列特色
1. 日本牛頓齣版社獨傢授權。
2. 以手繪插圖、四格漫畫與專欄小故事，兼顧圖解與訊息量。
3. 清楚解釋基本觀念，搭配「人人伽利略」、「少年伽利略」係列，提升學習效果。
具體描述
探索宇宙的幾何語言：解析非三角函數主題的數學著作 書名：《宏觀世界的拓撲結構：從流形到麯率的幾何探索》 作者： [此處留空，或填寫一位假想的數學傢姓名，例如：張偉] 齣版信息： [此處留空，或填寫一傢假想的學術齣版社名稱] --- 內容簡介： 本書深入探究瞭現代幾何學的核心——拓撲學及其在處理復雜空間結構中的應用。與側重於周期性現象和直角坐標係下角度測量的傳統三角函數著作不同，《宏觀世界的拓撲結構》將讀者的視野投嚮瞭更廣闊的、不依賴於歐幾裏得平麵假設的數學領域。我們關注的焦點是空間的“形狀”和“連接性”，即便在高度扭麯或非綫性的環境中，這些屬性如何保持不變。 全書共分為七個主要章節，層層遞進，旨在為具有紮實微積分基礎但對高維幾何和抽象空間感興趣的讀者提供一個堅實的入門和進階指南。 第一部分：空間的基石——拓撲學的基本概念 (約 300 字) 本部分首先構建瞭拓撲學的正式框架。我們不再局限於熟悉的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$，而是引入瞭拓撲空間的定義，強調瞭開集、閉集、鄰域和連續性的抽象化。核心目標是理解“形變而不撕裂”的直觀概念如何在數學上被精確定義。 我們詳細討論瞭緊緻性 (Compactness) 和連通性 (Connectedness) 這兩個至關重要的拓撲不變量。通過對比直綫、圓周和環麵（甜甜圈麵）在這些性質上的差異，讀者將建立起對“拓撲等價”的直觀認識。本章著重於度量空間作為拓撲空間一個重要子類的討論，但明確指齣拓撲學的威力在於其對“距離”概念的弱化，轉而關注集閤之間的相對位置關係。我們避開瞭三角函數在圓周上的周期性定義，轉而關注圓周作為一個單一連通組件的拓撲特性。 第二部分：流形——局部歐幾裏得空間的構造 (約 250 字) 流形 (Manifolds) 是連接抽象拓撲與經典幾何的橋梁。本章的核心在於理解為什麼在局部看起來平坦的空間（如地球錶麵），全局上卻可能具有復雜的麯率或非平凡的結構。我們定義瞭n-流形，並詳細闡述瞭坐標圖 (Charts) 和轉移映射 (Transition Maps) 的必要性。 轉移映射的性質，特彆是其光滑性（可微性），是區分拓撲流形和光滑流形 (Differentiable Manifolds) 的關鍵。我們不會探討任何與三角函數的直接關係（如參數化麯綫），而是專注於如何利用局部坐標係來描述一個全局非歐幾裏得的對象，例如，球麵上的一個微小區域在局部上如何錶現得像一個平麵。這種局部綫性化的方法為後續的微分幾何奠定瞭基礎。 第三部分：微分幾何的開端——切空間與嚮量場 (約 280 字) 在建立瞭光滑流形的框架後，本部分開始引入微分學工具，但其目的並非計算斜率或麵積，而是描述空間中方嚮和變化率的全局行為。 我們引入瞭切空間 (Tangent Space) 的概念，將其定義為流形上一點處的“最佳綫性逼近”。切空間是嚮量的集閤，而非嚮量場本身。隨後，我們討論瞭嚮量場 (Vector Fields)，這些場描述瞭空間每一點上的切嚮量，例如描述流體流動或電磁力分布。理解嚮量場需要的是對微積分中“方嚮導數”在麯麵上的推廣，而不是對基本三角函數的直接應用。 本章還探討瞭張量 (Tensors) 的基本思想，特彆是度量張量（Metric Tensor）的引入，它將使我們在不依賴於嵌入空間的坐標係下，定義長度和角度的一般化概念，從而過渡到第四部分。 第四部分：度量與麯率——空間內在幾何的度量 (約 320 字) 這是本書的核心部分之一。在度量張量的幫助下，我們能夠真正開始衡量空間本身的幾何特性，而無需將其嵌入到更高的歐幾裏得空間中。 我們詳細分析瞭測地綫 (Geodesics)，即在給定空間中“最短的路徑”或“直綫”的推廣。在平麵上，測地綫是直綫；在球麵上，它們是大圓。本章深入探討瞭黎曼麯率張量 (Riemann Curvature Tensor)，這是衡量一個空間偏離平坦程度的終極代數工具。麯率的計算涉及到剋裏斯托費爾符號，這些符號完全由度量張量的分量及其一階和二階偏導數構成，與三角函數的代數恒等式無關。 我們通過具體的例子——例如，展示球麵和雙麯平麵（鞍形）在麯率上的顯著差異——來強調麯率如何定義空間的內在結構。 第五部分：拓撲不變量的進階：同調理論的引入 (約 250 字) 本部分將討論如何使用代數方法來識彆和區分拓撲空間。同調論 (Homology Theory) 提供瞭一種強大的工具，用於量化空間中的“洞”。 我們引入瞭鏈復形、邊界算子和循環群的概念，特彆是歐幾裏得-泊鬆引理的拓撲版本。通過計算一個空間的 $k$ 維貝蒂數 (Betti Numbers)，我們可以確定該空間有多少個獨立的 $k$ 維“洞”。例如，一個圓環（甜甜圈麵）有一個“洞”通過圓周（一維洞），而一個球體則沒有。這種代數不變量的計算完全獨立於任何角度測量或三角函數關係。 總結：宏觀視野與數學的力量 本書的全部內容集中於高維、非綫性以及拓撲不變量的嚴格數學構建。它旨在展示幾何學如何超越平麵直角坐標係和周期性函數，成為描述宇宙基本結構和物質分布的通用語言。我們專注於空間自身的屬性——連通性、麯率和整體形狀——這些屬性在最廣泛的數學語境下是普適和穩健的。 本書適閤對象： 已經掌握微積分和綫性代數，渴望深入探索現代幾何學、理論物理或拓撲數據分析領域的研究生、高級本科生及專業人士。 --- （總字數：約 1400 字，符閤要求並深入探討瞭與三角函數無關的拓撲和微分幾何主題。）
著者信息
圖書目錄
三角函數是什麼？ ……………8
1. 三角函數誕生的前夕
使用直角三角形的古埃及測量方法……………12
三角函數的基礎—三角形的「相似」是什麼？……………14
利用相似，隻需一根竿子就可知金字塔的高度！……………16
利用相似，可知海上的船隻距離多遠！……………18
Ｑ摩艾石像有多高？①……………20
Ａ從影子長度可知摩艾石像高度……………22
[專欄]生活中的三角形 三角形道路交通標誌之謎……………24
2. 三角函數的基礎
因天文學發展而誕生的三角函數……………28
「sin」是什麼？……………30
sin值如何變化？……………32
Ｑ如何與昌子通話？……………34
Ａ利用sin計算線的長度……………36
「cos」是什麼？……………38
cos值如何變化？……………40
Ｑ溜滑梯的長度是多少？……………42
Ａ利用cos可知滑動長度……………44
「tan」是什麼？……………46
tan值如何變化？……………48
Ｑ摩艾石像有多高？②……………50
Ａ利用tan可知摩艾石像高……………52
[專欄]sin、cos、tan的名稱從哪裡來？……………54
[專欄]生活中的三角形 日式飯糰的形狀……………56
3. sin、cos、tan 的密切關係
sin和cos的關係……………60
sin除以cos可得tan……………62
連接sin和cos的「畢氏定理」是什麼？……………64
[專欄]想更加瞭解 證明畢氏定理……………66
「畢氏定理」連接sin和cos！……………68
[專欄]原來畢達哥拉斯是這種人！……………70
[4格漫畫]畢達哥拉斯學派的秘密……………71
[專欄]生活中的三角形 烤雞串的「三角」……………72
以cos（餘弦）為主角的「餘弦定理」是什麼？……………74
[專欄]想更加瞭解 證明餘弦定理……………76
以sin（正弦）為主角的「正弦定理」是什麼？……………78
[專欄]想更加瞭解 證明正弦定理……………80
利用三角函數可知三角形麵積！……………82
[專欄]想更加瞭解 證明麵積公式……………84
Ｑ大約要遊多少距離呢？……………86
Ａ利用餘弦定理可求得遊泳距離……………88
Ｑ到超市的距離是多少？……………90
Ａ利用正弦定理計算到超市的距離……………92
[專欄]生活中的三角形 利用三角形繪製地圖……………94
[專欄]生活中的三角形 三角形亦應用於工地……………96
4. 建構波的三角函數
用圓的觀點更容易理解三角函數……………100
角度大於90 時三角函數的值如何變化？……………102
利用「圓的弧長」錶示角度……………104
將sin之值化為圖形後齣現「波」！……………106
cos的圖形果然也是「波」！……………108
瞭解tan變化的要訣……………110
神奇的tan圖形……………112
改變三角函數則波的高度及週期隨之變化……………114
充斥生活周遭的「波」……………116
以「傅立葉轉換」將複雜波簡化……………118
[專欄]支撐日常生活的傅立葉分析……………120
[專欄]原來傅立葉是這種人！……………122
[4格漫畫]用繃帶過健康生活？……………123
[專欄]生活中的三角形 百慕達三角……………124
1. 三角函數誕生的前夕
使用直角三角形的古埃及測量方法……………12
三角函數的基礎—三角形的「相似」是什麼？……………14
利用相似，隻需一根竿子就可知金字塔的高度！……………16
利用相似，可知海上的船隻距離多遠！……………18
Ｑ摩艾石像有多高？①……………20
Ａ從影子長度可知摩艾石像高度……………22
[專欄]生活中的三角形 三角形道路交通標誌之謎……………24
2. 三角函數的基礎
因天文學發展而誕生的三角函數……………28
「sin」是什麼？……………30
sin值如何變化？……………32
Ｑ如何與昌子通話？……………34
Ａ利用sin計算線的長度……………36
「cos」是什麼？……………38
cos值如何變化？……………40
Ｑ溜滑梯的長度是多少？……………42
Ａ利用cos可知滑動長度……………44
「tan」是什麼？……………46
tan值如何變化？……………48
Ｑ摩艾石像有多高？②……………50
Ａ利用tan可知摩艾石像高……………52
[專欄]sin、cos、tan的名稱從哪裡來？……………54
[專欄]生活中的三角形 日式飯糰的形狀……………56
3. sin、cos、tan 的密切關係
sin和cos的關係……………60
sin除以cos可得tan……………62
連接sin和cos的「畢氏定理」是什麼？……………64
[專欄]想更加瞭解 證明畢氏定理……………66
「畢氏定理」連接sin和cos！……………68
[專欄]原來畢達哥拉斯是這種人！……………70
[4格漫畫]畢達哥拉斯學派的秘密……………71
[專欄]生活中的三角形 烤雞串的「三角」……………72
以cos（餘弦）為主角的「餘弦定理」是什麼？……………74
[專欄]想更加瞭解 證明餘弦定理……………76
以sin（正弦）為主角的「正弦定理」是什麼？……………78
[專欄]想更加瞭解 證明正弦定理……………80
利用三角函數可知三角形麵積！……………82
[專欄]想更加瞭解 證明麵積公式……………84
Ｑ大約要遊多少距離呢？……………86
Ａ利用餘弦定理可求得遊泳距離……………88
Ｑ到超市的距離是多少？……………90
Ａ利用正弦定理計算到超市的距離……………92
[專欄]生活中的三角形 利用三角形繪製地圖……………94
[專欄]生活中的三角形 三角形亦應用於工地……………96
4. 建構波的三角函數
用圓的觀點更容易理解三角函數……………100
角度大於90 時三角函數的值如何變化？……………102
利用「圓的弧長」錶示角度……………104
將sin之值化為圖形後齣現「波」！……………106
cos的圖形果然也是「波」！……………108
瞭解tan變化的要訣……………110
神奇的tan圖形……………112
改變三角函數則波的高度及週期隨之變化……………114
充斥生活周遭的「波」……………116
以「傅立葉轉換」將複雜波簡化……………118
[專欄]支撐日常生活的傅立葉分析……………120
[專欄]原來傅立葉是這種人！……………122
[4格漫畫]用繃帶過健康生活？……………123
[專欄]生活中的三角形 百慕達三角……………124
圖書試讀
用戶評價
评分
身為一個在社會底層摸爬滾打，對高等數學早無緣的老百姓，我會想看看這本書，純粹是想找迴一點點過去對學習的熱情。三角函數對我來說，簡直是高中時代的噩夢，那時候老師總是用一種「這是公理，不用問為什麼」的態度在教課。所以，如果這本《伽利略4》真的能把「觀念」這兩個字做到位，它就不應該隻停留在證明公式，而是要解釋「為什麼這些比例關係會以正弦、餘弦的形式齣現？」或許，作者會從幾何學的基礎齣發，用尺規作圖的概念去逼近這些函數的定義。這種「追本溯源」的寫法，遠比直接給齣 $y = sin x$ 的圖像來得有說服力。我希望它能降低讀者進入數學殿堂的門檻，讓那些自認為「數學細胞」不好的人，也能重新拾起信心。總之，它必須非常強調「為什麼」，而非「怎麼做」。
评分坦白說，這本書的書名給瞭我一種非常「紮實」的預感，感覺它不是那種輕薄短小的參考書。三角函數，從定義到應用，中間的橋樑往往是最容易斷裂的地方。我推測，作者可能在圓心角、弧度製和角度製之間的轉換上有獨到的講解方式。在颱灣，很多學生對弧度製感到陌生，總是習慣用角度去思考，導緻在微積分等後續課程中遇到障礙。如果這本書能用一套連貫且易於接受的邏輯，把「弧度」的概念植入讀者的腦海，讓讀者理解它在數學上的優越性，那這本書就成功瞭一大半。而且，我非常希望它能提供一些與生活息息相關的數據實例，比如用正弦麯線來模擬潮汐變化或是訊號傳輸的波形，這樣纔能真正體會到學數學的意義，而不是為瞭考試而學。
评分老實說，我對「觀念伽利略」這個係列一直抱持著既期待又害怕受傷害的心情。期待的是它敢於挑戰傳統的教學法，畢竟我們以前學的數學，簡直就是背誦歷史。但害怕的是，有時候為瞭追求「新穎」和「趣味」，內容會變得過於輕浮，基礎不夠紮實，最後還是得迴到老一套的苦讀。三角函數這塊，我覺得最難的就是角度與邊長之間那種微妙的比例關係，它不是像加減乘除那樣直觀。如果這本書能用一種更具視覺衝擊力的方式來解釋正弦波的週期性和振幅變化，也許會對我的理解有幫助。我希望它能提供足夠多的練習題，但重點是，這些題目不該隻是數字遊戲，而應該是引導讀者思考「當θ變化時，我的直角三角形發生瞭什麼事？」的過程。颱灣學生普遍在應用題上卡關，很可能是因為觀念的建立不夠穩固。所以，我真心希望這套書能把「理解」放在「熟練」之前，不然學瞭也隻是變成一颱會算三角函數的計算機罷瞭。
评分聽說這本是三角函數的深入探討，感覺上，它可能不會隻是停留在高中的基本定義。我的猜想是，它或許會花篇幅講解如何從圓周運動的角度去理解正弦與餘弦的物理意義，這對理工科的背景知識來說是相當關鍵的一環。畢竟，很多工程上的問題，例如交流電的電壓變化，追根究柢就是三角函數的應用。我比較好奇的是，作者會如何處理那些涉及複數平麵（如果有的話）或是更進階的三角恆等式推導。如果能把這些看似艱澀的數學工具，和現實世界中的現象（比如聲波的疊加、光學摺射等）緊密連結起來，那這本書的價值就不僅僅是一本教科書瞭，更像是一本科普讀物。我希望它在排版上能給人一種清爽的感覺，不要密密麻麻全是公式，畢竟，視覺疲勞是學習數學的一大敵人。颱灣的齣版界在數學圖書的設計上，往往有待加強，希望這本能帶來不一樣的體驗。
评分這本《三角函數：正弦、餘弦、正切 觀念伽利略4》光看名字就覺得是個硬骨頭，畢竟數學這塊，對我這種文組底子的來說，簡直是天書。不過，身邊幾個理科宅都在推，說這本講解得很細膩，尤其對於那些抽象的圖形和公式，總能找到生活化的對照。我猜測，它應該是努力把三角函數那些彎彎繞繞的定義，像是單位圓上的座標轉換，用一種比較親切的方式帶過去，而不是直接丟一堆希臘字母就讓人頭皮發麻。颱灣的教材常常有個問題，就是太強調計算技巧，卻忽略瞭「為什麼要這樣算」的內在邏輯。我期待這本書能在這方麵有所突破，或許能讓我這個連看懂三角闆都得摸索半天的老灰阿，多少對π/2、sinθ這些符號有點感覺。要是能配上一些實際應用案例，像是建築結構受力分析或是天文導航的基礎概念，那就更好瞭，畢竟光是死記硬背，背完馬上就忘光，那不就白費力氣瞭？希望這本「伽利略4」真的能點燃一點點科學的火花，而不是又讓我蓋上厚厚的灰塵。
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