不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！ pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

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米羅‧貝剋曼

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數學普及
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學習
成長
想象力

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具體描述

當數學裡沒有數字，會發生什麼事？

——沒有練習題，沒有標準答案，剩下的是發現、探索、推論，以及解謎的樂趣！

這本書除瞭頁碼之外，完全沒有數字，同時還有100多幅由紐約當地藝術傢M手繪的插圖。作者利用文字和圖像來傳達重要的數學概念的感覺，並省去瞭公式和計算。

雖然沒有數字，但這本書對於數學是什麼？數學涵蓋哪些部分？最有趣的地方在哪裡？這些探索是絕不打摺，而且能讓您對於數學，有更廣闊的瞭解。

例如，有什麼東西比「無限大」更大嗎？世界上總共有多少種形狀？現實生活中什麼時候會用得上這些？這些問題其實都有答案，但答案都不是數字。

從本書一開始，作者帶領我們進入一個奇妙的「現實平麵」。在這個平麵上，正方形是圓形、賽局是樹，自然世界則是電腦模擬。對於學過九九乘法之後就不再關注數學的人而言，數學真的是抽象怪異到瞭極點！但是，數學為什麼還那麼有用呢？

這本書寫來生動活潑，而且極富原創性，它帶領我們認識抽象數學的三大分支：拓樸學、分析和代數，把這三個領域解釋得很清晰而有趣。作者說，其實關鍵就是掌握模式。這本書一反傳統的教學方式，邀請讀者運用創意，來思考空間和維度、無限大和無限小、對稱、證明、結構，以及這些概念如何結閤在一起，最後，將這些概念應用在日常生活中！

歡迎來到人類知識的最前沿，體驗數學的美麗與奧祕。

專業推薦

李政憲，新北市林口國中老師

洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長

遊森棚，臺灣師範大學數學係教授

我要大力推薦這本書！有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養，我尤其希望有語文閱讀自信的讀者，一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世，因為這攸關公民科學素養的必要選項。

——洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長

這是一本非常特別的數學科普書！我欣見這本書的齣版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層麵藉由適當的選材呈現齣來。本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

——遊森棚，臺灣師範大學數學係教授

什麼？學數學可以不用數字？！作者深入淺齣，以圖文介紹瞭許多看似難懂的數學名詞，以及這些概念與生活、遊戲與哲學等麵嚮的連結，若你覺得不知道數學有何用處，或是有興趣想研究更多數學麵嚮，這本書值得一讀。

——李政憲，新北市林口國中老師、藝數摺學FB社團創辦人、教育部師鐸獎得主

《不用數字的數學》以迷人的魅力、堅定的熱情和大量插圖，帶領讀者進入高等數學的花園。

——喬登．艾倫伯格（Jordan Ellenberg），威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授、《數學教你不犯錯》作者

就像在跟你聊天一樣，這是一場愉悅、迷人的數學世界之旅，還有它與現實世界的關係——而且看不到一個數字！每個人都該讀讀這本有趣的書，數學傢也是。
——伊恩．史都華（Ian Stewart），英國華威大學數學教授、《改變世界的17個方程式》作者

《不用數字的數學》探討深奧的數學主題，呈現數學傢的思考方式，再以十分淺顯易懂的方式傳達給讀者。謎題和遊戲更增添本書的趣味性，讀來十分愉快。

——威爾．舒爾茲（Will Shortz），《紐約時報》填字遊戲編輯

淺顯易懂地引介一般大眾不熟悉的概念，說明現代數學為何是人類思想中最迷人且最具成就感的領域。

——格拉漢．法梅洛（Graham Farmelo），《The Universe Speaks in Numbers》作者

本書文句淺顯，又有插圖輔助，讓瞭解複雜（而且讓人望而生畏）的數學概念變得異常容易。貝剋曼輕鬆的筆調和Erazo可愛的插圖相輔相成，娓娓道來深刻又有趣的數學故事。

——喬琪亞．盧比（Giorgia Lupi）和史蒂芬妮．波薩維剋（Stefanie Posavec），《Dear Data》及《Observe, Collect, Draw!》共同作者

非常可愛的一本書！數學好玩、令人驚奇又迷人，但這些特質往往被嚇人的方程式和形式主義掩蓋。米羅‧貝剋曼徹底揭露數學的迷人之處，讓大傢體驗。

——蕭恩．卡羅爾（Sean Carroll），加州理工學院物理教授、《Something Deeply Hidden》作者

本書完整呈現數學的有趣之處，同時避開令人生畏的技術細節。我的書架上又多瞭一本好書。

——謝裏夫．傑剋森（Shareef Jackson），STEM多樣性倡議者

探尋數域之外的奇妙旅程：一本關於純粹思維與概念構建的導覽本書並非沉溺於尋常的算術運算或代數公式，它是一次對數學本質的深刻反思與探索，一次對思維疆界的勇敢拓展。我們誠邀讀者暫時放下對數字符號的依賴，進入一個由邏輯、結構與概念交織而成的廣闊領域。想象一下，在一個沒有“一”、“二”、“三”的世界裏，我們如何定義集閤的規模？在一個沒有“加”、“減”、“乘”、“除”的框架下，我們又如何描述關係和變化？這正是本書試圖解答的核心問題。它聚焦於那些潛藏在所有數學分支之下的通用結構——那些即便在最抽象的哲學思辨中也依然成立的原則。第一部分：重構邏輯的基石我們將從最基礎的邏輯單元開始，探討命題演算和謂詞邏輯的內在美感。這裏，數學不再是關於“量”的學問，而變成瞭關於“真”與“假”的藝術。我們深入研究瞭蘊涵關係（implication）的微妙之處，理解為何一個錯誤的陳述可以導嚮任何結論（即“爆炸原理”的哲學意涵）。讀者將發現，許多看似枯燥的邏輯規則，實則是我們構建任何知識體係的必要骨架。我們甚至會觸及非經典邏輯的邊緣，比如直覺主義邏輯，探討“可構造性”在數學證明中的核心地位，這迫使我們重新思考何為“存在”。第二部分：結構與關係的譜係本書的核心部分將帶領讀者領略抽象代數和範疇論的初步概念，但完全避開復雜的符號推導。我們關注的是結構本身所蘊含的力量。群論的影子：我們不會計算群的階數，而是探討“對稱性”這一概念。一個圖案、一個物理定律，乃至一個語言的語法，它們背後都潛藏著某種群論的影子。我們用生活中的例子來闡釋“封閉性”、“結閤律”和“逆元素”這些抽象性質，揭示它們如何定義瞭宇宙中的秩序與重復性。例如，鏇轉一個正方形，其操作構成瞭一個基本的群結構，這個結構比任何具體的數值計算都要來得永恒和普適。集閤論的哲學重塑：盡管本書主題是“不用數字”，但我們必須麵對“集閤”這一概念。本書將集閤視為一種純粹的分類和組織工具，探討“空集”的獨特地位——它是萬物的起點，卻本身不含任何元素。我們將追溯集閤論的公理係統如何努力地為數學的殿堂奠定堅實的（盡管充滿爭議的）地基，重點討論“選擇公理”帶來的哲學睏境，而非其技術細節。範疇論的視野：這是本書最具啓發性的章節之一。範疇論，被稱為“數學中的數學”，它關注的是對象之間的“關係”或“態射”。我們用網絡連接、流程圖、乃至社會關係網來類比，展示如何通過態射的組閤來理解復雜的係統，而無需關心對象內部的具體構成。例如，一個“同構”關係，無論是在代數結構中、拓撲空間中，還是在數據結構中，其本質都是一種結構上的等價。這種高度抽象的視角，極大地拓展瞭我們對“等價性”和“轉換”的理解。第三部分：幾何與空間的非量化描述當我們抽離坐標係和度量衡後，幾何學還剩下什麼？它留下瞭“形狀”、“連通性”和“鄰近性”。拓撲學的直覺：我們將深入探討拓撲學的核心概念——連續變形，即“拉伸、扭麯但不撕裂、不粘閤”。讀者將明白，一個甜甜圈和一個咖啡杯在拓撲學上是相同的，因為它們都隻有一個“洞”。這種對“不變性”的追求，將空間從精確的度量轉化為柔性的鄰域關係。我們將用直觀的例子來解釋開集、閉集和緊緻性，這些概念描述瞭空間中“局部”行為的全局影響。離散空間的探索：圖論作為離散幾何的代錶，將在此處大放異彩。我們將探討如何用點（頂點）和綫（邊）來建模任何互聯係統——從交通網絡到社交媒體。這裏的“距離”不再是歐幾裏得距離，而是“最短路徑”或“連通分量”。我們通過分析圖的連通性、周期性和劃分性，來理解信息流動的本質，這完全脫離瞭任何數值的限製。第四部分：無限的邊界與想象力的飛躍數學的魅力在於其處理“無限”的能力。本書將探討“無限”的概念本身，而不是計算無窮級數的和。不同層級的無限：我們將討論康托爾對“可數無限”（如自然數）和“不可數無限”（如實數綫）的區分。這種區分不是通過計算，而是通過“配對”和“對角綫論證”的邏輯過程來展示的。理解這一點，就是理解瞭不同程度的“多”，即使它們都超越瞭有限的經驗。遞歸與自相似性：這種概念是自然界和復雜係統中的普遍模式。我們將探討遞歸函數的思維模式——一個定義依賴於自身的結構。這不僅是計算機科學的基礎，也是理解分形幾何的非數值入口。我們關注的是一個對象如何通過重復應用簡單的規則，産生齣無限復雜的結構，這本質上是一種對“生成性”的數學描述。本書旨在喚醒讀者內心深處的哲學好奇心。它證明瞭數學遠比計算器和考試題目要宏大得多。它關乎人類心智如何組織世界、如何定義關係、以及如何在最純粹的抽象層麵捕捉宇宙的內在秩序。這是一本獻給所有對“為什麼”比“是什麼”更感興趣的探索者的讀物。翻開它，準備好用全新的思維方式去“看”世界。

著者信息

作者簡介

米羅‧貝剋曼Milo Beckman
1995年齣生於紐約曼哈頓。他從小就對數學非常著迷，8歲開始在史岱文森（Stuyvesant）高中上數學課，13歲時擔任紐約市數學小組組長，15歲進入哈佛大學。他的研究計畫和獨立研究相當多樣化，曾經被《紐約時報》、538網站、《早安美國》節目、《沙龍》網站、《赫芬頓郵報》、《高等教育紀事報》、《商業內幕》、《波士頓環球報》、《高譚派》（Gothamist）網站、《經濟學人》等媒體報導。

他曾為三傢科技公司、兩傢銀行和一位美國參議員工作，19歲時退休，開始在紐約、中國和巴西教授數學，並開始撰寫這本書。他目前住在布魯剋林。
他的網站milobeckman.com
推特：milobela

譯者簡介

甘錫安
物理係學業結束後轉職成為「譯人」。曾獲得吳大猷科普著作獎翻譯類佳作，現仍定期為《科學人》、《BBC知識》及《國傢地理》等知識類雜誌翻譯。書籍譯作包括《喚醒大腦裡的數學傢》、《成分迷思》、《天生不愛動》、《巫師與先知》等。在吸收新知和翻譯之外，最愛的休閒活動是旅行、攝影和水上活動。目前住在有山有海有美食的颱灣頭基隆，最大的心願是知識普及、人人快樂。

繪者簡介

M Erazo
M是皮膚黝黑的非二元性別文化工作者及組織者。他以「乳化」（Emulsify）為名創作，協助自己治療、學習、提倡和想像新的世界。他相信所有的藝術都強而有力又具有政治意義。M和太太居住在布魯剋林，投入很多時間創作和抱小狗。M的創作能量和愛隻是其生活的一部分：他也是支持墮胎的工作者、乳化設計公司創辦人，以及酷兒跨性別黑人與深色人種社群空間「歡天喜地」（Arrebato）的創意總監。M透過作品建立真摯的友誼，嚮優秀的同儕學習，以及為他們尋找容身之處。想進一步瞭解M的作品，請參閱網站emulsify.art。

圖書目錄

推薦序一窺當代抽象數學的麵嚮遊森棚

推薦序不用數字，數學也可以非常有趣！洪萬生

拓樸學

形狀流形維度

分析

無窮連續體映射

代數

抽象結構推論

基礎

對話錄

建模

模型自動機科學

繪圖者簡介

圖書序言

ISBN：9786267195017
叢書係列：自由學習
規格：平裝 / 224頁 / 21 x 14.8 x 1.6 cm / 普通級 / 單色印刷
齣版地：颱灣
適讀年齡：15歲~80歲

本書分類：自然科普> 數學> 趣味數學

圖書試讀

一窺當代抽象數學的麵嚮

遊森棚

（臺灣師範大學數學係教授）

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

這是數學嗎?!

讀完初稿，不禁啞然失笑，迴憶起自己年輕時在數學係的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除瞭像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙紮前行，不知不覺進瞭大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關瞭。這兩門課是數學係真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前麵沒弄懂，後麵就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，隻為瞭想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述隻有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不齣來，更糟的是書後麵還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太劃算瞭。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到瞭大三時，修瞭一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字隻齣現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑闆，可以完全不齣現任何一個數字。我們一路顛簸，掙紮忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明Jordan Curve Theorem這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。颱下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇瞭，那一瞬間, 我覺得我在外星球上……

這是數學嗎?!

數學研究什麼

是的，這是數學。經過大學數學係，我知道從定義齣發，純粹的論證與推理，推齣夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，纔是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法錶，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離齣最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結閤，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然隻抽離齣概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念瞭，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學傢的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上隻有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

未盡之言

最後再迴到讓全班譁然的Jordan Curve Theorem。到瞭研究所後我纔知道為什麼這個定理這麼特別——這是平麵獨有的一個特別性質。到瞭三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的齣版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層麵藉由適當的選材呈現齣來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還隻是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限製，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求瞭，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學傢，體會當代數學的麵嚮，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

用戶評價

评分☆☆☆☆☆

這本書的書名實在太誘人瞭，簡直是數學界的「黑盒子」！我一直覺得，現代數學教育太過於強調「計算效率」而犧牲瞭「概念深度」。我們忙著解題、追求正確答案，卻忘瞭數學本身是一種結構美的體現。看到「不用數字的數學」，我立刻聯想到像是集閤論中的基數（Cardinality）概念，或是圖論中的連通性描述，這些或許可以完全脫離數字標籤來討論。我猜測，作者可能大量運用瞭視覺化、關係模型，甚至是類比推理來構建這本書的論述。它可能更偏嚮於「模式識別」和「結構對稱性」的探討，這對我這種非科班齣身，但對邏輯推理有興趣的人來說，簡直是福音。我希望能從中學到如何用更「直觀」的方式去理解複雜的數學關係，而不是被一堆符號淹沒。如果這本書能讓我對「邏輯」和「秩序」產生新的感悟，那它的價值就遠遠超過一本普通的科普讀物瞭。這絕對是一次挑戰思維定勢的旅程。

评分☆☆☆☆☆

這本書光是書名就很有「哲學氣息」，不是那種硬邦邦的理工書籍，反而像是一場關於「存在」與「關係」的深度對談。我個人對於那種探討數學哲學基礎的書籍特別感興趣。畢竟，我們從小被教導 $2+2=4$，但很少有人深究「為什麼是四」？它的本質到底是什麼？我猜測作者可能是從集閤論、拓樸學，甚至更形而上的層麵去切入，用一套完全不依賴符號係統的語言，來描繪數學結構的內在邏輯。這需要極高的文字功力和對概念的精準掌握，纔能在不使用標準數學語言的情況下，把複雜的數學思想清晰地傳達給讀者。我希望這本書能讓我重新審視那些被視為「理所當然」的數學公理，並在書中找到一些能跟其他學科（像是藝術、音樂、語言學）產生連結的切入點。畢竟，數學被譽為是「宇宙的語言」，如果能找到不用數字的錶達方式，那或許能發現比我們現有數學更廣闊的溝通可能性。這本書的企圖心真的很大，讓我很期待它能如何解構我們對「數學」的既有認知。

评分☆☆☆☆☆

說真的，現在市麵上的科普書很多，但真正能做到「顛覆想像」的卻不多。這本《不用數字的數學》，光是書名就給我一種「反叛」的氣息，感覺像是在挑戰數學界幾百年來的傳統。我比較好奇的是，這種「非數字化」的數學，在實際應用層麵會遇到什麼樣的睏難，或者說，它是否能提供比現有數學模型更優越的描述方式？比如說，在描述自然現象時，難道我們可以完全避開數量和比例的概念嗎？這讓我聯想到一些古代文明，他們在發展齣成熟數字係統之前，是如何進行工程計算或天文觀測的。作者會不會從人類認知發展史的角度切入，探討我們是如何一步步依賴數字的，而這種依賴是否限製瞭我們的思維？我希望這本書不隻是在玩文字遊戲，而是真的提供瞭一套可操作的、或者至少是可理解的「概念框架」。如果它真的能成功地「激發無窮的想像力」，那它就絕對值得擁有，因為想像力纔是推動人類進步的最大動力，超越瞭任何固定的計算規則。

评分☆☆☆☆☆

老實說，當我看到這個書名時，第一個反應是：「這怎麼可能？」但隨即而來的是一股強烈的求知慾。這本書聽起來就像是某種「數學的煉金術」，試圖將最基礎的邏輯提煉齣來，擺脫物質性的依賴（即數字）。我很好奇，作者究竟如何處理「比較」和「排序」這些基本操作？如果不能說「A比B多一個」，那該如何錶達差異？會不會是透過某種「因果鏈」或者「遞歸關係」來建立層次感？這本書的野心顯然是想把數學拉迴更純粹的思維層麵，就像古代的智者在冥想中探索宇宙規律一樣。我希望能從中找到那種「大師的視角」，看到數學傢們在鑽研這些基本概念時所經歷的掙紮與頓悟。如果它真的能激發齣超越現有數學框架的想像，那這本書將不僅僅是一本書，更像是一把開啟新維度思考的鑰匙。總之，我非常期待這場脫離數字束縛的數學思維冒險！

评分☆☆☆☆☆

哇，這本書的書名簡直是讓人眼睛一亮，充滿瞭神秘感和好奇心！光是「不用數字的數學」這幾個字，就讓人忍不住想一探究竟，到底數學可以不依賴那些我們習以為常的阿拉伯數字，還能玩齣什麼花樣？我猜想，作者一定是用非常跳脫框架的方式來闡述數學的本質。想想看，如果我們不能用 $1, 2, 3$，那該怎麼描述數量、結構，甚至是更抽象的概念呢？會不會是透過圖形、邏輯關係，或是某種古老的記號係統？這本書的副標題「讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！」更是把期待值拉到最高。我總覺得，很多時候我們學數學，都被那些公式和計算卡住瞭，反而忽略瞭它背後那種純粹的美感和哲學思辨。我非常期待這本書能帶領我們迴到數學的源頭，去感受那種「原來如此！」的頓悟感。尤其「激發無窮的想像力」，這對我來說非常重要，因為生活久瞭，有時候思維會變得僵化，需要一些像這樣的「腦力瑜珈」來刺激一下，看看能不能從全新的角度來看待這個世界。總之，這本書給我一種「知識的探險」的感覺，擺脫瞭教科書的枯燥味，讓人躍躍欲試。