研究所2023試題大補帖【離散數學】(109~111年試題)[適用颱大、政大、陽明交通、颱聯大係統、成大、中央、中正、中山、臺師大、北大、颱科大、清大、中興、暨南、雄大研究所考試] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

林緯

圖書標籤:

• 離散數學
• 研究所考試
• 颱大
• 政大
• 陽明交通
• 颱聯大
• 成大
• 中央
• 中正
• 中山
• 臺師大
• 北大
• 颱科大
• 清大
• 中興
• 暨南
• 雄大
• 試題
• 考古題
• 109年
• 110年
• 111年

【前言：導讀與視野拓展】 本書籍旨在提供一個不同於《研究所2023試題大補帖【離散數學】》的、更側重於理論深度與應用廣度的學習資源。鑒於市場上充斥著大量以“試題匯編”為核心的復習資料，本導讀期望填補在基礎概念理解、高級主題探討以及跨學科應用方麵的空白。我們深知，考試的成功固然依賴於對曆年真題的熟悉，但真正的學術競爭力，源於對離散數學各分支原理的透徹掌握及其在實際問題中的靈活運用。 第一部分：奠基石——集閤論與邏輯學的嚴謹構建 本冊內容將完全跳脫齣對既有試題解析的依賴，轉而深入探究離散數學的基石——集閤論與數理邏輯的公理化基礎。 1. 集閤論的公理化體係： 我們不會停留在簡單的集閤運算層麵（如並、交、差），而是詳細闡述策梅洛-弗蘭剋爾集閤論（ZFC）的基本公理。重點剖析分離公理、冪集公理以及替換公理在構建復雜集閤結構中的核心作用。特彆關注選擇公理（Axiom of Choice, AC）及其等價命題（如良序定理、Zorn引理）在處理無限集閤時的微妙影響，這對於理解高級組閤學和拓撲學預備知識至關重要。讀者將接觸到序數（Ordinals）和基數（Cardinals）的嚴密構造，例如馮·諾依曼基數的定義，以及對阿列夫數（$aleph$）和連續統（$c$）的精確描述，而非僅僅停留在有限集的計數範疇。 2. 命題邏輯與一階謂詞邏輯的深度解析： 本書摒棄瞭僅關注“真值錶”的初級練習，而是著重於證明論。詳細介紹自然演繹係統（Natural Deduction）和序列演算（Sequent Calculus）的推導規則。對於命題邏輯，我們將探討其完備性定理（Soundness and Completeness）的證明思路，而非僅僅驗證公式的有效性。在謂詞邏輯部分，核心在於理解量詞的個體域和自由/約束變量的區分。深入探討哥德爾完備性定理在形式係統中的地位，並解析其在可計算性理論中的初步意義。我們將通過構造反例來展示為何某些看似閤理的推理模式（如肯定後件）在邏輯上是無效的，從而強化對邏輯有效性的直覺。 第二部分：結構的世界——代數結構與圖論的抽象描摹 本書的第二重點在於構建離散結構之間的抽象聯係，超越單純的算法實現，聚焦於結構本身的性質。 1. 代數結構：從半群到域的進階： 傳統的離散數學復習往往隻觸及群（Group）的基本概念。本教材則將篇幅用於探討半群（Semigroup）、獨異點（Monoid），並著重分析環（Ring）的性質。重點在於同態（Homomorphism）和同構（Isomorphism）的範疇論思想的初步引入，理解結構如何在映射下保持其內在屬性。例如，探討理想（Ideals）在環論中的作用，並對比整環（Integral Domains）與域（Fields）的區彆。這為後續學習代數幾何或抽象代數打下堅實基礎。 2. 圖論的高階主題與拓撲關聯： 圖論部分將不側重於歐拉路或最短路徑的闆式解法，而是集中於圖的拓撲不變量和代數圖論。我們將深入研究圖的連通性，特彆是布洛剋（Block）和割點（Articulation Points）的精確定義與識彆。核心內容包括平麵圖的歐拉公式的嚴格證明及其在拓撲嵌入中的意義。代數圖論方麵，本書將介紹圖的鄰接矩陣、關聯矩陣的性質，並探討其特徵多項式在區分圖同構性上的局限性與優勢。此外，我們將引入極大團和獨立集的精確計算復雜度分析，而非僅僅停留在NP完全問題的概念提及。 第三部分：計數與關係——組閤學的深度挖掘與重構 本部分旨在超越簡單的排列組閤公式套用，探索計數問題的生成函數理論與關係代數的精妙。 1. 生成函數與遞推關係的解析： 我們將詳盡介紹普通生成函數（OGF）和指數生成函數（EGF）的構造原理。重點不再是已知數列求生成函數，而是如何利用微積分和微分方程技術來求解復雜的綫性常係數遞推關係，例如Catalan數、Bell數的精確推導。特彆地，本書將引入處理非齊次項的生成函數技巧，並討論其在概率論中（如隨機遊走問題）的應用背景。 2. 偏序集與格論： 關係理論部分將超越等價關係，聚焦於偏序集（Poset）。詳細分析哈斯圖（Hasse Diagram）的構建規則，並深入探討格（Lattice）的代數結構。我們將區分分配格（Distributive Lattices）和有界格（Bounded Lattices）的性質，並結閤迪德金切割（Dedekind Cuts）的概念，展示格論與實數構造的潛在聯係，這是一種在多數應試資料中被忽略的高級視角。 第四部分：計算的邊界——可計算性與復雜性理論的理論前沿 本書的終極目標之一，是為讀者構建一個關於“計算的本質”的理論框架，這遠超齣瞭傳統的算法分析範疇。 1. 圖靈機與可判定性： 我們將嚴格定義圖靈機（Turing Machine）模型，包括其有限控製、讀寫頭和紙帶結構。重點在於證明停機問題（Halting Problem）的不可判定性，並運用對角綫法的邏輯嚴密性來闡釋“不可計算”的含義。此外，我們將探討邱奇-圖靈論題（Church-Turing Thesis）的哲學和實踐意義，理解為何該模型被公認為普適計算模型。 2. 復雜性理論的階梯： 針對NP問題，本書不會止步於定義，而是會詳細分析多項式歸約（Polynomial Reduction）的技術，例如如何將可滿足性問題（SAT）歸約到其他問題，以證明其NP-完全性。我們將深入探討P vs NP問題的理論睏境，並簡要介紹電路復雜性（Circuit Complexity）等前沿研究方嚮的初步概念，為有誌於深入計算機理論研究的讀者提供理論地圖。 【結語：從應試到研究的飛躍】 本書的編寫風格力求嚴謹、深入，注重概念的公理化定義和定理的完整證明，而非僅僅提供解題模闆。讀者在閱讀過程中，應將本書視為對離散數學理論體係的“重構”而非“查漏補缺”。其內容深度和廣度，旨在培養讀者對數學結構的抽象思維能力和嚴謹的邏輯推理習慣，為後續的更高階的理論學習和科研工作做好充分準備。

评分☆☆☆☆☆

說到這幾年（109-111年）的考題趨勢，我個人是蠻好奇的。這段時間剛好經歷瞭疫情的影響，很多學校的考試模式可能都有微調，教學步調也可能受到衝擊。因此，這段時間的題目風格，會不會比疫情前更強調基本觀念的靈活應用，而不是偏嚮冷僻的計算？例如，有些學校很愛考與程式設計邏輯相關的離散結構題，像是集閤的遞迴定義或函數的性質，這類題目在資訊爆炸的時代，變得越來越重要。如果這本補帖能針對不同學校的命題偏好，做齣一個簡單的趨勢分析圖錶，那就太棒瞭。例如，標註齣「颱大近三年偏愛複雜的關係反轉與等價類問題」，或是「成大在組閤學上偏好生成函數的應用」。這種針對性的分析，遠比單純的題目堆砌來得有指導意義。畢竟，考生們的時間成本很高，如果能透過這本書，直接鎖定目標學校的弱點進行補強，那絕對是效率的最大化。我個人認為，一本好的考古題集，必須是「會說話」的，它不隻是記錄過去，更要預測未來。

评分☆☆☆☆☆

哇，這本《研究所2023試題大補帖【離散數學】》光看書名就覺得誠意十足，尤其看到適用範圍涵蓋瞭颱大、政大、陽明交大、成大、清大這些頂尖學府，甚至連颱聯大係統和颱師大、北大、颱科大這些名校都列進去瞭，感覺這本根本就是為瞭解數學所苦的考生量身打造的「武功秘笈」啊！不過，說實在話，離散數學這種科目，對很多理工和資管科係的學生來說，簡直就是一道難以逾越的高牆。光是集閤論、邏輯、圖論、組閤學這些章節，光是名詞就讓人頭昏眼花。我認識幾個朋友，他們光是為瞭搞懂那些證明題的邏輯推導，就得花上好幾倍的時間。所以，這本「大補帖」如果真的能把近幾年（109到111年）的考題都收錄進來，並且附上詳細的解析，那絕對是省去考生自己到處去下載考古題、比對解答的巨大時間成本。光是能一次搞定這麼多學校的考題，對忙著趕課、忙著準備其他科目的學生來說，簡直是救命仙丹。我比較期待的是，它在講解觀念時，是不是能用更貼近學生的語言，而不是寫得跟教科書一樣生硬。畢竟，考古題的價值不僅在於「知道怎麼考」，更在於「搞懂它為什麼這樣考」。希望它的解析能把背後的數學思維脈絡講清楚，這樣考完試後，這本書也不會變成書櫃上的一塊磚頭，而是真正能紮穩基礎的工具書。

评分☆☆☆☆☆

從一個長期關注教育市場的角度來看，一本成功的參考書，除瞭內容的正確性之外，它的「學術連結性」也很重要。既然它涵蓋瞭這麼多名校的試題，我很好奇，它在解析那些比較睏難或需要進階工具的題目時，引用的理論基礎是源自於哪本主流教科書？例如，是偏嚮 Rosen 的離散數學，還是更側重於大陸學者常用的那套體係？這對於習慣特定教材的考生來說，是一個隱性的門檻。如果解析中能適時地標註齣「此題適用於 XX 教材第 Y 章 Z 節的定理」，那考生就能快速迴溯到自己熟悉的理論基礎進行鞏固。否則，如果解析中突然冒齣一個高深的術語或定理，而考生剛好不熟，那這本「大補帖」對他來說可能就變成一本「洩氣書」，而不是「補氣書」。總之，期待這本匯集瞭眾多名校心血結晶的試題集，不隻是一個題目庫，更是一個能引導考生建立完整、連貫、且符閤頂尖學府要求的離散數學知識體係的橋樑。

评分☆☆☆☆☆

讓我來設想一下，如果我是一個急著準備跨考或轉組的考生，麵對這麼多間頂尖大學的題目，最大的恐懼就是「時間不夠用」和「不知從何下手」。這本書既然叫做「大補帖」，想必內容量是相當可觀的。我最關心的點在於它的「編排結構」和「檢索便利性」。假設我今天隻想複習圖論中關於最小生成樹（MST）的題目，我希望能夠快速地在目錄中找到對應的學校和年份，而不是翻遍整本書。理想的狀態是，它能按照「主題分類」來編排，每個主題下再區分是哪間學校的考題，甚至可以把來自同一係統（比如颱聯大）的題目放在一起比較。這樣的好處是，我可以立即看齣不同學校在同一個主題下的齣題角度差異，進而調整我的解題策略。如果內容隻是按照年份順序排列歷屆試題，那對需要針對性複習的考生來說，實用性就會大打摺扣。畢竟，研究所考試的準備，講求的是精準打擊，而不是漫無邊際的全麵覆蓋。希望這本補帖在編輯上能體現齣這種「戰術性」的考量。

评分☆☆☆☆☆

光是那封麵設計和書名排版，就透露齣一種「務實到極緻」的風格，完全沒有花俏的圖案或華麗的設計，直截瞭當地告訴你：「我是來幫你上榜的，別想太多花邊。」這對應到離散數學這門學科，其實蠻搭的。畢竟，離散數學本身就是一個極度強調嚴謹邏輯和清晰結構的領域，它不像微積分那樣有那麼多直觀的幾何圖像可以輔助理解，更多的是符號、定理和證明。所以，如果這本「大補帖」在收錄歷屆試題的同時，對於那些「陷阱題」或是「愛考的題型」能有特別的標註或提醒，那就太加分瞭。例如，在處理圖論問題時，是更偏嚮歐拉路徑、哈密頓迴路這類經典應用，還是更著重於樹結構的計數問題？在組閤學部分，究竟是卡特蘭數、鴿籠原理的變化題佔多數？我希望能看到的不隻是標準答案，而是像一個資深教授在旁邊耳提麵命：「嘿，看到這個敘述，你就要馬上聯想到某個定理的特定變形。」如果它能做到這種程度的「應試戰略分析」，那它的價值就遠超一般參考書瞭。畢竟，考上頂尖研究所，有時候考的不是你懂不懂，而是你懂多少「他們想讓你懂的」。