第八篇 複變數
第一章 複數
1.1 複數
1.2 複數的極坐標錶示法

第二章 複數函數
2.1 複數函數簡介
2.2 常見的複數函數
2.3 複數函數的反函數

第三章 複數微分與柯西—黎曼方程式
3.1 極限
3.2 連續性
3.3 複數函數的導數
3.4 複數基本函數的微分

第四章 複數積分
4.1 封閉麯線與連通區域
4.2 複數的不定積分
4.3 複數的線積分

第五章 柯西定理與柯西積分公式
5.1 柯西積分定理
5.2 柯西積分公式

第六章 無窮級數
6.1 數列
6.2 級數
6.3 冪級數
6.4 泰勒級數與馬剋勞林級數
6.5 奇點與零點
6.6 羅倫級數

第七章 留數
7.1 留數定理
7.2 以留數積分法解實數定積分

第八章 映射與保角映射
8.1 保角映射
8.2 雙線性轉換
8.3 雙線性轉換的特例

 

序

　　我利用「SOP閃通教學法」教我們係上的工程數學課，學生普遍反應良好。學生在期末課程問捲上，寫著「這堂課真的幫瞭大傢不少，以為工數很難，但在老師的教導下，工數就跟小學的數學一樣的簡單，這真的都是拜老師所賜的呀！」「老師很厲害，把一科很不容易學會的科目，一一講解的很詳細。」「老師謝謝您，讓我重新愛上數學。」「高三那年我放棄瞭數學，自從上您的課後，開始有瞭變化，而且還有教學影片可以在傢裡複習，重點是上課也很有趣。」「一直以來我的數學是學過就忘，難得有老師可以讓我學之後記得那麼久的。」「老師讓工程數學變得非常簡單。」我們的前工學院李院長（目前任教於中山大學）說：「林老師很不容易，將一科很硬的科目，教得讓學生滿意度那麼高。」

　　我也因而得到瞭：教育部105年師鐸獎、第十屆（2022年）星雲教育獎、明新科大100、104、107、109、111學年度教學績優教師、技職教育熱血老師、私校楷模獎等。我的上課講義《微分方程式》、《拉普拉斯轉換》，分別申請上明新科大104、105年度教師創新教學計畫，並獲選為優秀作品。

　　很多理工商科的基本計算題，如：微積分、工程數學、電路學等，有些人看到題目後，就能很快地將它解答齣來，這是因為很多題目的解題方法，都有一個標準的解題流程〔註〕（SOP，Standard sOlving Procedure），隻要將題目的數據帶入標準解題流程內，就可以很容易地將該題解答齣來。

　　現在很多老師都將這標準解題流程記在頭腦內，依此流程解題給學生看。但並不是每個學生看完老師的解題後，都能將此解題流程記在腦子裡。

　　SOP閃通教學法是：若能將此解題流程寫在黑闆上，一步一步的引導學生將此題目解答齣來，學生可同時用耳朵聽（老師）解題步驟、用眼睛看（黑闆）解題步驟，則可加深學生的印象，學生隻要按圖施工，就可以解齣相類似的題目來。

　　SOP閃通教學法的目的就是要閃通，是將老師記在頭腦內的解題步驟用筆寫齣來，幫助學生快速的學習，就如同：初學遊泳者使用浮闆、初學下棋者使用棋譜、初學太極拳先練太極十八式一樣，這些浮闆、棋譜、固定的太極招式都是為瞭幫助初學者快速的學會遊泳、下棋和太極拳，等學生學會瞭後，浮闆、棋譜、固定的太極招式就可以丟掉瞭。SOP閃通教學法也是一樣，學會後SOP就可以丟掉瞭，之後再依照學生的需求，做一些變化題。

　　有些初學者的學習需要藉由浮闆、棋譜、SOP等工具的輔助，有些人則不需要，完全是依據每個人的學習狀況而定，但最後需要藉由工具輔助的學生，和不需要工具輔助的學生都學會瞭，這就叫做「因材施教」。

　　我身邊有一些同事、朋友，甚至IEET教學委員們直覺上覺得數學怎能SOP？老師們會把解題步驟（SOP）記在頭腦內，依此解題步驟（SOP）教學生解題，我隻是把解題步驟（SOP）寫下來，幫助學生學習，但我的經驗告訴我，對我的學生而言，寫下SOP的教學方式會比SOP記在頭腦內的教學方式好很多。

　　我這本書就是依據此原則所寫齣來的。我利用此法寫一係列的數學套書，包含有：
　　1. 第一次學微積分就上手
　　2. 第一次學工程數學就上手(1)—微積分與微分方程式
　　3. 第一次學工程數學就上手(2)—拉氏轉換與傅立葉
　　4. 第一次學工程數學就上手(3)—線性代數
　　5. 第一次學工程數學就上手(4)—嚮量分析與偏微分方程
　　6. 第一次學工程數學就上手(5)—複變數
　　7. 第一次學機率就上手
　　8. 工程數學SOP閃通指南（為《第一次學工程數學就上手》(1)∼(5)之精華閤集）
　　9. 大學學測數學滿級分（I） （II）
　　10.第一次學C係列語言前半段就上手（即將齣版）

　　它們的寫作方式都是盡量將所有的原理或公式的用法流程寫齣來，讓讀者知道如何使用此原理或公式，幫助讀者學會一門艱難的數學。

　　最後，非常感謝五南圖書股份有限公司對此書的肯定，此書纔得以齣版。本書雖然一再校正，但錯誤在所難免，尚祈各界不吝指教。