序

　　每一本書有它的使命。這本書希望闡明數學不僅是文化的產出，數學也形塑了文化。筆者的終極關懷是教育，而教育是人人參與的社會活動，所以本書的言說對象就是社會大眾。

　　本書以第1篇〈數學作為一種語言〉破題。語言是界定文化的主要特徵；類似地，數學不僅本身是文化的創造，數學也參與了文化的建構。啟發人心的言論經常是歷史轉折的關鍵，我們卻很難指出哪一句話改變了歷史；類似地，數學雖已實際上編織在文化與文明裡，我們卻也不能精確地抽出一蕊纖維，說：看哪，這就是數學的貢獻。數學就像語言，全面地──而且通常難以察覺地──成為建構我們思維和生活的基調。

　　數學作為一種語言，卻不是任何人的母語；即使希臘人也不能自然習得數學。數學對任何人而言皆為外語，都需要藉助母語來學習，而母語也就可能成為學習特定外語的助力或阻力。本書將在第6、9篇觸及華語學習數學的助力與阻力。將數學的學習視為外語學習之後，即可推知：因為語言學習的真正意義在於文化理解，所以數學學習的真正價值在於體認由數學語言所建構的文化，特別包括它的思維方式、對待問題及其解決方案的態度，以及評價「真理」和「美」的品味。

　　筆者既然已經承認不可能一絲一縷地從文化中抽出數學，這本書自然也辦不到。我企圖以說故事的方式，以某種文化創造為主題，而不是以數學為主題，一層一層慢慢展開我的論述。如果我們將內容涉及數學的文件稱為數學文書，再將非專業需求的數學文書分成以下三大類：

　　（1）數學敘事：包含數學情節的詩歌、散文、小說（虛構故事）、傳記等。
　　（2）數學科普：向非數學專業之讀者說明數學知識內容。
　　（3）數學通識：將數學融通於文化或其他知識領域之中。

　　則本書內容主要屬於數學通識。書中涉及的其他領域文化活動，包括語言、文學、歷史、藝術、電腦、選舉、教育、宗教與信仰等。第2、3篇以文藝創作旁敲數學，第4、5篇為後面的內容鋪設歷史地圖。本書也有部分篇幅屬於數學敘事，例如第6篇藉由人物傳記，讓世界的數學發展史跟我們自己拉上更親近的關連。第7、8、9篇分別針對一種學生切身（熟悉）的文化活動，闡述數學的角色；在這三篇裡，數學的份量逐漸增多增重。直到第10篇藉由一部小說介紹微積分的成就（第7篇已有伏筆）。本書有些片段屬於數學科普，例如第10篇的最後一節試圖說明為什麼e的iπ次方是˗1？

　　筆者的初衷是對數學教育的關注。社會上（中外皆然）從不缺乏對數學教育的批評，從十九世紀後期以來，幾乎每十幾二十年就會在美國出現一部「振聾發聵」的暢銷書，將當年美國的數學教育痛快批判一番。那些批判多少也能興起一波改革之道，但由後見之明可知，那些暢銷書對於學校教育的實際影響不大，否則就不會有下一個十年的長江後浪了。我認為數學教育的問題並不在於學習的內容、教學的方法、評量的手段，而在於許多教師以及關係人（持分者）沒有體認到：數學適合被當作一種語言來學習，而數學學習的真正價值在其文化性而非功能性。所謂關係人當然是指學生及家長，但是學生及家長是快速流動的身分，拉長時間來看，學生及家長就是社會上的每一個人。因此，數學教育的關係人就是整個社會。所以如果想要為數學教育說一些話，言談的場域不能僅限於學校，而要面對整個社會。如果社會對於數學教育的認知維持在功能層面，而不了解數學和語言的類比，也不體認數學的文化價值，則個別教師能做的改變非常有限，而技術層面的課綱、教科書與考試改革，終究只能十年復十年地繞著同一個軸心旋轉，無法創建新猷。

　　本書內容出自於國立中央大學通識課程「文化脈絡中的數學」的講稿，所以它理應適合當作大學通識課的讀本或參考書。我的授課對象雖然包括理工領域的高年級學生，但是從一開始就設定主要服務對象是文社領域的學生，故僅以高中必修範圍內的數學為基礎。書內雖然提及微積分，所涉的深度也可能超過許多數學科普書籍，但它們仍然屬於高中程度的合理閱讀範圍。當我將講課內容整理成書的時候，明確地將高中生假設為潛在讀者，使得此書有可能成為高中選修課程的讀本（高二或高三）。

　　「文化脈絡中的數學」開創於99學年，筆者並獲得教育部第七屆（104學年度）全國傑出通識教育教師獎。歷屆學生的留言與評語顯示：這門課的最大價值在於啟發思考。筆者已經將他刺激學生思考的言辭寫在書裡，但是要在課程中達到啟發思考的效果，還是必須由現場教師藉由身教與言教來完成。作為學習資源之用的視聽媒體和作業題庫，都整理在筆者為這本書製作的網頁裡：shann.idv.tw/mcc。

　　本書題獻給洪萬生教授，他是數學史學大師，我自從大學時期就跟讀他的文章，在數學教育工作中遇到歷史方面的疑難都首先向洪老師探求方向；特別感謝洪老師惠賜序言作為鼓勵。另一位賜序的師長是林從一副校長，他開創了許多前瞻性的教育計畫，包括創設全國傑出通識教育獎，他也是臺灣通識教育的領航人之一。也感謝我的伙伴劉柏宏教授作第三篇序，他是科技部數學教育學門「數學文化」研究群的柱石。這三篇序好比這本書的三個面向：數學史、通識教育、數學文化。

　　這本書裡的意念和主旨，幾乎都成形於民國89至92年間我在漢聲廣播電台「關於數學的人文話題」節目的講話，然後藉由《科學月刊》從民國95到103年提供的「數．生活與學習」專欄逐漸凝聚為文字。藉此機會感謝把我帶進電台播音室的康來新教授及梅少文女士，也感謝《科學月刊》歷屆主編及同仁提供寶貴的專欄篇幅，特別感謝曾任主編的好友蔡孟利教授為本書收尾。

　　感謝國立中央大學文學院長暨中大出版中心總編輯李瑞騰支持這本書的出版，也要特別感謝兩位匿名的審查老師提出了鉅細靡遺的深度指教，更加提高了這本書的專業價值。感謝中大出版中心王怡靜小姐非常詳盡的編輯工作，她也是幫助我競選通識教育獎的最力伙伴。感謝國立中央大學數學系以及師資培育中心同仁給我的寬容與支持，讓我從事不立即有成果的工作；為此也須特別感謝李光華副校長、葉永烜副校長、柯華葳院長及陳斐卿主任的長期支持。感謝我的伴侶明懿教授聽過我全部的課，給我寫作的支持和修辭的專業意見。最後要感謝曾經修課的一千多位學生，我們共處的幾百個小時，以及你們寫來的筆記和作業，豐富了我的經驗也擴展了我的視野。雖然很難明確指出哪一段話有哪一位同學的貢獻，但大家肯定會在書裡察覺你/妳們留下的痕跡。

單維彰shann.idv.tw
國立中央大學師資培育中心與數學系
民國百零八年十二月於臺灣中壢

序

數學的文化脈絡

　　這本書主題是有關數學與數學家的故事。儘管作者單維彰教授自認為本書主要訴求是數學通識，然而，數學敘事及數學科普兩個面向的訴求，誠然也不遑多讓。事實上，本書的關鍵詞既然是「文化脈絡」，那麼，歷史敘事的進路無疑是必要的選擇，而數學普及也大都依賴如何說（數學及數學家的）故事，因此，由我這位先睹為快的數學史家來分享些許閱讀心得，似乎也頗為順理成章。

　　承維彰謬愛，將本書題獻給我，實在是受寵若驚！不過，他經由莫里斯．克萊因（Morris Kline）的《數學史》（臺灣版中譯書名，原書是Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972）而愛上數學史，倒是值得珍惜的結緣佳話。克萊因的數學史著述偏向文化史的進路，可能是當時西方數學史學的常見風格，因為克萊因的早期著作《西方文化中的數學》（Mathematics in Western Culture）就是最忠實的見證。至於維彰在本書中所收入的〈徐光啟與數學的最初教材〉（第6篇），很可能就是企圖「東西平衡」的一篇寫作，說明「東方文化中的數學」之旨趣，從而強調數學的發展離不開文化脈絡。

　　這種東西文化對比（或類比）的進路，用意不在計較哪個文化更早「達標」，而是即使針對同一命題（譬如畢氏定理），各個文化的數學家可能提出各具特色的認知方式，而帶給現代人類（尤其是學生）相當深刻的啟發。因此，如果我們將這些傑出的定理、公式或方法視為人類共有的文化遺產，那麼，如何維護及傳承，當然就是我們現代人（尤其是數學人）無可推卸的重責大任。數學史家格拉頓．吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）曾指出：將人類歷史上的數學成果視同為世界文化遺產（world cultural heritage），也是非常值得推許的一種有關數學史的「研究」進路。他的主張為數學通識與數學普及建立了極有意義的連結，無論我們的主要訴求是哪一項目，兩者總是難以偏廢。

　　事實上，正如前述，本書雖然意在大學（數學）「通識」─譬如本書涉及其他領域文化活動，如「語言、文學、歷史、藝術（版畫）、電腦、選舉、教育、宗教與信仰等」，然而，在選材上卻也同時考量相關知識「普及」的可能性，因而維彰得以發揮數學的洞察力，讓所謂的通識賦予了更深刻的意義。另一方面，維彰在〈PISA與西方的數學教育觀〉（第9篇）一文中，回顧了「素養」一詞的指涉及其演化，順勢對國內現行數學教育體制提出了十分細緻與體貼的觀察，其中他以自身為數學教育者的「發言位置」，使得他在本書的「現身說法」更具有說服力。這是他的書寫特色之一，值得我們注意。

　　本書之撰寫還有另外兩個特色，我必須在此特別指出。首先，維彰在敘說數學與數學家的故事時，由於依循了具體的歷史文化脈絡，因此，他的「額外插話」不致離題，反倒使得他的博雅素養有了合適的「依托」空間。這種節制也帶出他的文字之從容表情。他的筆鋒常帶感情，總是娓娓道來，彷彿對著老友敘舊一般，縱使偶有歷史論斷或時事評論，卻始終預留「對話」空間，讓「假想的」對話者擁有足夠的迴旋可能，相當難能可貴。

　　總之，本書不僅內容紮實，而且從文化脈絡切入，引導我們理解及鑑賞其中數學活動多元面向的價值及意義。這是同類著述中的傑作，值得我們高度推薦！

洪萬生臺灣數學史教育學會理事長

序

靈魂的數學

　　本書的主旨就是書名。單維彰老師的《文化脈絡中的數學》並非科普而是數學通識，科普是普及專門知識，而通識關心知識的融通，以及知識對於我們的生命與生活所產生的意義。

　　單老師認為，數學是一種語言，一種非常精準的語言，人們使用數學語言與自然對話、與藝術對話、與文學對話、與生活對話、與文化對話、與教育對話、與文明進展對話、與民主對話、與愛情對話。單老師領著我們，聆聽數學與各種領域的對話，層層疊疊、抑揚頓挫、從天上來、從心裡起，讓數學融通了生命與生活，從而讓讀者有了屬於自己的數學聲音。

　　本書碰觸到心靈，但未及深談。讓我以本書的主調述說靈魂的數學，續貂為之序。

　　數學如何描述靈魂？這裡靈魂指的是「有格有調的心靈」。

　　靈魂中住著艾雪（M. C. Escher）《極限圓盤四》裡的天使與代表邪惡的蝙蝠，而住在靈魂中央的天使與蝙蝠最大隻，越往邊緣天使與蝙蝠越小隻，但數量越來越多，在最邊緣處已看不清楚有多少隻，雖然我知道有無窮多隻。靈魂邊緣幽暗不明之處，住著無數的邪惡，想想真讓人絕望，讓人提心吊膽；但靈魂邊緣也住著無數的天使，想想，豈不讓人充滿希望。人總是會比你可以想像得到的壞，還來得壞，但是，所幸，人總是會比你可以想像得到的好，還來得好。

　　靈魂的最扭曲的變形模式是連續漸變，但是靈魂最令人驚喜的演化模式也是連續漸變。只需改變一點點，每次都改變一點點，放棄了、不改回頭，沒多久立體的都能變成平面的。但，每次只需改變一點點，堅持住、安頓了，沒多久平面的也能變成立體的。靈魂漸變最重要的是方向與堅持，初心決定了方向，剩下的就只需一點點堅持所產生的慣性與習慣。困難的是初心，以及該堅持的是哪一種初心。但是一旦懷疑初心，不知不覺中就會陷入立體與平面來來回回的無盡循環中。

　　在缺乏深度的靈魂中，背景與前景的相互鑲嵌，互作背景與前景，思緒與感覺不斷浮現與隱沒。

　　靈魂在潘洛斯階梯（Penrose stairs）走遠一點，就會同時遇到年老的自己和年少的自己，一個自己、三個靈魂相遇。這是錯覺，不可能發生。但是，錯覺發生了，不可能的也會發生。

　　無法證明自己的靈魂如何認證衍生的真理呢？沒有基礎的公設如何指控虛假的定理？當靈魂開始懷疑自己，開始尋找自我的基礎時，過去它相信的所有真理都將開始動搖。結論不應該是懷疑論，所明白的應該是：不是所有真理都需要進一步的證成，無須懷疑的就不需要理由來支持。

　　靈魂是N+1度空間體在N度空間的展開，重點是展開。

　　你的靈魂入口是隧道入口的那面黑，還是隧道盡頭的一圈光芒？進入靈魂的那些夜晚，是睡不著的夜晚（sleepless nights），還是捨不得睡的時刻（wakeful hours）？

　　曹操的靈魂有厚度，他認為，探究人生意義，最重要的是數學，而且越早學越好，否則追悔不及。曹丞相的〈短歌行〉：「對酒當歌，人生『幾何』，譬如朝露，去日苦多。」

　　徐光啟認為《幾何原本》是人人必備的基本素養，他說「學理者，怯其浮氣，練其精心。學事者，資其定法，發其巧思。故舉世無一人不當學。能精此書者，無一事不可精。好學此書者，無一書不可學。」心靈是萬物函數，但前提是心靈要精通數學。單維彰老師認為數學是一種語言，我認為語言是一種器官，所以數學是一種器官，學會一種數學就是獲得一種器官，讓你能感知到你先前無法感知到的世界。數學是一種語言，而語言讓原先隱蔽的世界開顯出來。

　　有人說最美的等式是歐拉等式（Euler’ s formula）：eπi+1=0，因為歐拉等式是如此的簡單，但又是如此的優美與神祕。歐拉等式的構成要素是數學中最基本的五種元素：e稱為歐拉數（Euler’ s number），它是自然對數的底；i是單位虛數，有虛的根本，它的平方是負1；1是算術的開始；0是哲學上最基礎的自然數，它是位值記數法不可或缺的佔位記號；π是圓周率。其中，π與e都是無理數，小數點之後會出現永無止境且絕不循環的數字。

　　歐拉等式的美，小川洋子說得最好：「永無止境底循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現，但是來自宇宙的π飄然地來到e的身旁，和害羞的i握著手。他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了一之後，世界就毫無預警地發生了巨大的變化。一切都歸了零。」

　　我認為靈魂中最美的等式是1=0.999...（0.9的無限循環）。

　　絕大多數人會說，0.999...不會等於1，0後面的9無論有多少，就是到不了1，0.999...與1之間就是存在著差距。然而，這個許多人都有的直覺，卻是個錯誤的直覺。

　　假設1大於0.999...，1與0.999...之間存在著差距。假設0後面的9循環到小數點後第n位數停止，這n位數上的9與1之間差距無論有多小，都一定可以分成10等份，如此其中的9等份可以做為第n＋1位數的9，那麼0.999...就不能停在第n位數上，同理可證，它不能停在任何一位數上，因此我們不能假設1與0.999...之間存在著任何差距。換句話說，如果1與0.999...之間存在著任何差距，那麼你說的0.999...就不是真正的
　　0.999...。如果你說的是真正的0.999...，它與1之間就不存在任何差距，0.999...必等於1。
　　0.999...看似不足1，但是它小數點之後的永不止息的9使得它必須是1，它是實實在在的百分之一百。
　　0.999...看似永久追尋著1，但是正是這永久不懈的追尋，讓它倆合一。不過，雖然0.999...原本與1就是一體的，但是，0.999...還是要讓自己永不止歇地追求1。所有靈魂真誠的追求都是0.999...=1。

林從一國立成功大學副校長

序

從文化脈絡看數學的真善美

　　談到數學之美，最常被引用的詮釋大概是英國數理邏輯學家羅素（Bertrand Russell）所說：

　　數學，如果正確地看待，不但擁有真理，而且也具有至高無尚的美，正如雕塑，是一種冷峻而嚴肅的美。不必迎合我們脆弱的本性，無需如繪畫或音樂華麗的裝飾，是一種極致的純淨，只有最偉大的藝術才能展現的一種苛刻的完美。

　　對於懼怕或者厭惡數學的人而言，羅素這段話無非火上加油，令人卻步再三。匈牙利數學家艾迪胥（Paul Erdös）對數學之美則持「不可說」的態度，只能意會無法言傳。「美」本來就沒有一定的標準，以古希臘三哲為例，蘇格拉底認為美不是絕對的，它依事物的用途而定，同一事物可以同時是美也是醜的。柏拉圖認為美存在於秩序、度量、比例、一致與和諧之中。亞里斯多德則主張美須考慮質料、形式、動力、目的。依此來看，在蘇格拉底和亞里斯多德眼中，數學本質上可能美醜兼具，只有柏拉圖始終相信數學的真與善而成就它的美。

　　本書不特別著墨於數學的真、善、美（或許是有意避談），取而代之主張「數學是一種語言」。語言是一種文化上因人、因事、因時、因地、因物而形塑的成品，難免具有模糊與抽象的本質，有時甚至必須訴諸直覺去理解不可究考的成分。既然是一種語言，就沒有所謂真、善、美的判準，自然也就不是本書的目的。只是，當讀畢本書初稿，闔上略為疲憊雙眼的那一霎那，一幅「真、善、美」的意象突然浮上眼簾。驚覺這彷彿是作者的精心布局，在第一篇先鬆懈讀者的心防，降低預期心理。殊不知在最後一篇佈了樁，描述小說中良善的女管家如何試圖理解與詮釋她的數學家主人所鍾愛最美麗數學公式的祕密，再配合作者循序漸進的推演解說，不知不覺令人感受到在一篇淡淡的傷愁故事中，數學所扮演的真、善、美。

　　當接獲寫序的邀約時，心中事實上是惶恐的。維彰兄雖約莫與我同庚，無論是在數理或人文方面，其才情高我甚多，何德何能為本書寫序？但是又想到若沒能在這本未來肯定暢銷的書上參一腳，將遺憾終身，也就快快答應，免得他反悔。只是該如何界定《文化脈絡中的數學》這本書？是一本數學敘事的書？一本數學普及讀物？抑或數學通識書籍？前言中維彰兄認為三者兼具，但我猜他心中真正想的應該是「不器」。如同他在獲選教育部第七屆全國傑出通識教師的致詞中表示，專業教育是教人「成器」，通識教育則重在「不器」，他應該不希望這本書的定位被限制，以免讀者群的對象也被制約。

　　「文化脈絡中的數學」原是維彰兄多年來在國立中央大學開設的通識課課名，以數學人強調簡潔的個性，為何不取「文化中的數學」豈不乾脆？其實本書的重點在「脈絡」二字，細心讀者不難發現作者很重視「時空的聯結」。提到劉徽，作者指明他是山東人（不知為何，腦海瞬間出現一種違和感），大約出生在曹丕篡漢之後，又歷經司馬炎篡魏的政治事件。這一下子，《三國演義》的畫面豐富了我們對當時數學發展的想像；講到畢達哥拉斯，書中又提醒畢氏與釋迦摩尼和孔子幾乎是同代人，讓人不得不串連起歷史舞台的三位哲人；原來明朝崇禎皇帝自縊時，牛頓才剛滿周歲；說到高斯於1799年答辯的博士論文，書中又偷偷告訴你，那年乾隆駕崩，拿破崙開始執政，美國開國元首喬治．華盛頓逝世；就在德國數學家希爾伯特1900年的世紀演講之前49天，德國駐華公使被槍殺，引發後續的八國聯軍攻入北京（恍然悟到，歐美數學即將振翅高飛時，當時中國卻正遍地烽火）⋯⋯。是什麼樣的動機，書中要交代這些看似與數學不相關的人、事、時、地、物？因為這才是文化脈絡。數學本身是文化的一部分，要了解數學不能只看數學事件本身的發展，而是要看整個文化脈絡縱橫交織的連結。前述事件脈絡雖不是全書重點，但卻是最獨特之處。

　　維彰兄雖是數學專業，卻蘊懷一顆詩人的心。讓我們來欣賞書中如何形容艾雪的版畫。《變形II》是艾雪一幅長達4公尺的作品，維彰兄是這麼說的：

　　從左側儉樸的文字格線出發，想像著低沉的四二拍子背景音樂，隨著正方形棋盤格經過一段變奏之後，序曲轉變為四三拍子的第一樂章，蜥蜴從地裡爬了出來，蜜蜂也從蜂巢裡飛了出來。萬物滋長，生生不息，歡愉的樂音帶著我們來到南義地中海邊的一座小鎮，音色逐漸黯淡下來，伊斯蘭形式的防禦堡壘跨入海中，變成了西洋棋盤上的城堡。序曲的旋律再度浮現，燈光漸暗，標題文字變成了謝幕文字。

　　好一幅風景充滿著漂流的音符。另一幅《水坑》，書中活靈活現想像描述了畫家作畫當下的情景：

　　一個下午，藝術家到村裡沽酒。正好下了一場雷陣雨，就乾脆坐在酒肆裡喝一杯。雨停之後，提著酒壺搖搖晃晃地沿著泥濘小路回家。濕涼香甜的空氣鑽進鼻孔，針葉上新沾的水珠點滴滑落，一位鄉民迎面而來打了招呼，零星幾輛腳踏車碾著軟泥擦身而過。艾雪看著地上的水潭、鞋印和胎痕，潭水把頭頂上的松針捕捉下來，還順手偷摘了剛昇起的滿月。多麼令人嚮往的生活中的一個尋常的午後。

　　多美的文字，讓這幅版畫瞬間動了起來。

　　落筆至此，還是想著，究竟要如何界定這本書？與其說《文化脈絡中的數學》是一本數學敘事書，科普書，抑或是通識書，毋寧說這是維彰兄近三十年來數學學思歷程的筆記書，書中文字處處顯現人文關懷和濃濃的個人風格。相信這本書的發行只是個開端，不出十年，我們就可以再次領略到維彰兄如何帶領我們欣賞數學，從行天宮直上外太空。

劉柏宏國立勤益科技大學教授、臺灣數學史教育學會副理事長