近幾年來，保羅・拉剋哈特的《一個數學傢的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳，直到成書齣版後，更引爆瞭廣泛的好評，因為它批判瞭今日僵化的數學教育（背公式、大量的習題），忽略瞭帶領學生思考問題的過程；而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，產生好奇心，不是嗎？
在這本新書中，作者寫齣瞭數學教育正嚮積極的一麵，帶領我們體會，數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。
作者現身說法提齣瞭他心目中的數學，應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同，然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、嚮量、到微積分，不斷地引導我們問「為什麼？」。
他和你說話，用平易近人的語氣，運用手繪的圖形，就像是自己在玩數學似的，呈現他心目中理想、有意義的數學問題，以及思考過程。他不會假裝數學很簡單，但也大方展現數學的美。在他筆下，複雜的數學概念變得符閤直覺、容易掌握，數學概念不再是東一塊、西一塊，各個單元彼此可以連結，形成有意義的動人故事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思，正呼應瞭他所堅信的：數學不僅是科學，也是藝術。
在這個新天地裡，漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過，做齣一些令人驚訝的事！當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐，會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」，當我們一頭栽進去，盡情思考之後，將獲得極大的喜悅，並得到情感和美感上的迴報。
熱情推薦
任維勇 北一女中數學教師
洪萬生 師大數學係退休教授
遊森棚 師大數學係教授
泛科學Pansci.tw 推薦
無論你受過什麼樣的數學教育，或是沒有上過數學課，你都會從這本迷人的書中得到樂趣。隻要你接受作者的邀請，浸淫在書裡散發齣的數學感受中，並親自動手嘗試看看──不隻是解題，更積極的，一麵探索數學世界一麵構思問題。──貝利‧馬祖爾（Barry Mazur )，哈佛大學校聘數學教授
這本書是一首情歌，一篇哲學宣言，以及關於做數學的甘苦，但甘甜占瞭大多數。──史蒂芬•史特格茲（Steven Strogatz），康乃爾大學講座教授
充滿趣味和巧思的寫法，不僅讓數學不再令人感到害怕，也優雅地描繪齣作者樂在其中的世界。──《齣版人週刊》（Publishers Weekly）
具體描述
好的，這是一份關於一本假設的、與您提到的《這纔是數學：從不知道到想知道的探索之旅 (電子書)》內容無關的圖書的詳細簡介，旨在提供豐富的信息量且行文自然流暢。 --- 《星海的低語：跨越光年的文明考古學》 作者：艾莉亞·凡德爾 (Aria Vander) 譯者：李明翰 裝幀：精裝 / 680 頁 簡介： 在人類仰望星空、試圖解開宇宙奧秘的漫長歷史中，我們始終在尋找一個終極問題的答案：我們是孤獨的嗎？《星海的低語：跨越光年的文明考古學》並非一本傳統的天體物理學教科書，而是一場深入人類文明邊緣、橫跨數十萬年時間軸的宏大敘事。它以考古學的嚴謹方法論，結閤尖端的天體生物學推測，描繪瞭一幅關於智慧生命在宇宙中「誕生、繁榮、湮滅」的複雜圖景。 本書的敘事核心，圍繞著「費米悖論」所引發的深層次哲學拷問展開。作者艾莉亞·凡德爾，一位享譽國際的「深空信號解析專傢」，摒棄瞭科幻小說中對外星文明的浪漫化想像，轉而採用一種近乎病態的求真精神，對數十年來人類接收到的所有可疑無線電信號、SETI 計劃中的異常數據，以及對係外行星大氣層的深度光譜分析進行瞭極其細緻的「考古發掘」。 第一部：沉默的代價——宇宙的尺度與生命的脆弱 第一部分奠定瞭全書的基調：宇宙的巨大尺度如何成為智慧生命傳播的最大障礙。凡德爾博士首先以極具文學性的筆觸，重述瞭人類文明在地球上從單細胞生物進化到能夠發射無線電信號的短暫歷程。她用令人信服的數據闡釋瞭「大過濾器」理論的各種可能形態，並將這些理論具象化為一係列極其嚴苛的宇宙篩選機製。 她詳細分析瞭行星宜居帶的窄度，探討瞭恆星爆發、伽馬射線暴以及銀河係鏇臂穿越的隨機風險如何頻繁地「重置」一個正在發展的文明。書中特別引入瞭「地質時間尺度的遺產」概念，探討瞭即使一個文明成功存續瞭數百萬年，其文明遺蹟在數十億年後留下的物理痕跡會是何種形式。這部分內容不僅是科學推演，更是一場對生命存在的謙卑與敬畏的哲學反思。 第二部：訊號的殘響——解讀非連續性信息 本書的精華部分集中在第二部，凡德爾博士帶領讀者走進瞭 SETI 歷史上那些最著名的「幽靈信號」背後。她並未聲稱找到瞭外星生命，而是將重點放在「信息遺失與解讀偏差」上。 她耗費大量篇幅，梳理瞭「Wow! 信號」的後續追蹤情況，並引入瞭一個她獨創的「結構熵模型」來評估信號的非自然性。讀者將會看到，許多被認為是外星智慧活動的數據點，在採用更先進的統計學和背景噪音過濾技術後，如何被重新歸類為自然射電現象，或是地球自身的乾擾。 然而，最引人入勝的部分，是對那些無法被輕易解釋的「非連續性信息」的深入剖析。凡德爾博士詳細介紹瞭她團隊如何利用量子計算模擬來嘗試還原那些極度微弱、間歇性齣現的窄帶信號的潛在結構。她討論瞭語言學、數學符號學在試圖翻譯「異質語境」信息時所麵臨的根本性睏境——我們能否識別齣一個不基於我們所知的物理常數或邏輯結構的信息？ 第三部：宇宙塵埃中的印記——間接證據的再審視 在第三部，作者將目光從電磁波轉嚮瞭物質本身。她提齣瞭一個大膽的假設：高度先進的文明可能會留下難以察覺的「工程遺蹟」（Technosignatures），這些遺蹟的壽命遠超其母文明。 凡德爾博士詳細探討瞭戴森球結構的熱力學特徵，並迴顧瞭對 KIC 8462852（塔比星）異常變光現象的各種解釋。她提齣瞭一種「微型化結構汙染」理論，認為先進文明可能在行星際空間部署瞭高度集成化、幾乎不產生熱輻射的超級計算矩陣，這些矩陣在數百萬年的漂流中，隻會留下極微弱的非均勻遮擋效應。 此外，本書還探討瞭「生物化石證據」的可能存在形式。如果一個星際文明曾在數十億年前造訪過太陽係，它們留下的痕跡可能不是金屬建築，而是改變瞭地球微生物群落的基因序列，或是深海沉積物中無法解釋的同位素比率。這部分內容充滿瞭細膩的化學分析和地質學推斷，將讀者從遙遠的星係拉迴到瞭地球深處。 第四部：超越瞭望塔——未來文明的可能形態 在結尾部分，凡德爾博士將視角投嚮未來。她認為，如果我們還未偵測到任何生命，可能意味著智慧文明的發展路徑，與我們基於碳基、水基生命的直覺相去甚遠。 她引入瞭「非物質化進化」的概念，探討瞭文明在達到極高技術水平後，是否會傾嚮於將其核心意識上傳至更穩定的介質，例如人工黑洞的事件視界內部，或是利用暗物質進行信息存儲。這不僅是對未來技術的展望，也是對「何謂生命、何謂文明」的終極追問。 《星海的低語》是一本需要深思熟慮纔能讀完的作品。它要求讀者放下對「小綠人」的期待，轉而接受宇宙的冷酷與浩瀚。它不是關於「我們找到瞭誰」，而是關於「我們為什麼還沒有找到他們」，以及這對人類自身的未來意味著什麼。這本書將深刻地重塑你對宇宙中「空無」的理解。 --- (全書結構與主題概述) | 章節 | 核心主題 | 關鍵概念與分析對象 | | :--- | :--- | :--- | | 第一部 | 宇宙尺度下的生命篩選機製 | 大過濾器理論、行星宜居帶的嚴苛性、地質時間的遺產 | | 第二部 | 信號解讀與信息理論的邊界 | SETI 異常信號（如 Wow!）、結構熵模型、異質語境信息翻譯的難題 | | 第三部 | 間接證據：工程學與生物學遺蹟 | 戴森球熱特徵、微型化結構汙染、深海沉積物中的化學異常 | | 第四部 | 超越物質：文明的終極進化路徑 | 非物質化進化、意識上傳、暗物質信息存儲的可能性 |
著者信息
作者簡介
保羅．拉剋哈特Paul Lockhart
他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔剋魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始，他自願到紐約布魯剋林的聖安學校（St. Ann's School）教導K-12（從幼稚園到十二年級）的數學課。
他是一位傑齣的數學傢，發願來教中小學的數學，希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一麵，他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。
他的處女作《一個數學傢的嘆息》（經濟新潮社齣版），一齣版即在數學教育圈子造成轟動，引爆討論。
作者現身說法：The World of Mathematical Reality
譯者簡介
畢馨雲
清華大學數學係畢業，曾任科普書編輯十多年，現為自由譯者、文字工作者及業餘交響樂團團員。
Email: xinyun.biz@gmail.com
保羅．拉剋哈特Paul Lockhart
他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔剋魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始，他自願到紐約布魯剋林的聖安學校（St. Ann's School）教導K-12（從幼稚園到十二年級）的數學課。
他是一位傑齣的數學傢，發願來教中小學的數學，希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一麵，他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。
他的處女作《一個數學傢的嘆息》（經濟新潮社齣版），一齣版即在數學教育圈子造成轟動，引爆討論。
作者現身說法：The World of Mathematical Reality
譯者簡介
畢馨雲
清華大學數學係畢業，曾任科普書編輯十多年，現為自由譯者、文字工作者及業餘交響樂團團員。
Email: xinyun.biz@gmail.com
圖書目錄
推薦序 從「測量」看數學與數學之美 遊森棚
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、麵積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐麯線與射影幾何；
力學麯線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋瞭數學上的運動；
以數值關係描述運動；
嚮量錶示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、麵積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐麯線與射影幾何；
力學麯線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋瞭數學上的運動；
以數值關係描述運動；
嚮量錶示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
圖書試讀
〔推薦序〕
從「測量」看數學與數學之美
遊森棚／任教於國立颱灣師範大學與空軍官校
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘麵積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這纔是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽瞭從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學傢，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯剋林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀瞭學生對數學的熱情與想像力，於是寫下瞭一份手稿「一位數學傢的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年齣版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學傢的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他隻談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界隻存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿瞭近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做齣猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多麵體。為瞭測量正方形的對角線就齣現瞭無理數。為瞭測量圓周長齣現瞭超越數。接著是麵積，體積，開始有代數，三角，圓錐麯線和射影幾何。把麯線看成是質點的運動軌跡，就齣現瞭函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日韆裏，當代數學百傢爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整閤。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠瞭。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨瞭數學史數韆年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程瞭。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的麵積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的麵積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙麯線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。
作者堅持隻談數學本身，這也是不少數學傢麵對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，纔能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插瞭許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。
但無論如何，作者努力嚮我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。
數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是颱灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘瞭帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉瞭觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的齣版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
〔推薦序〕
去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立颱灣師範大學數學係退休教授
何謂數學？保羅・拉剋哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。
不過，想要迴答此一問題，我們也可以簡短迴顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」
從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學傢主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除瞭研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。
儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學傢終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學傢之後，數學變成瞭研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。
不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學傢著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生瞭遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握瞭優勢。因此，到瞭十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問瞭。
在最近的四十年間，數學傢對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉剋哈特指齣，數學傢的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引齣不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉剋哈特在本書中現身說法之主要依據。
針對幾何學研究，拉剋哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做齣量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然齣自對比（量度）方法論的考量。請看拉剋哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓麵積時，還是指齣古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不隻是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做瞭一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看齣一種模式，告訴我們最終會趨嚮什麼結果。換句話說，透露齣某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」
對於拉剋哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉剋哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」
我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉剋哈特就指齣：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說齣上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到瞭。
其實，拉剋哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫齣在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這錶示情節不僅要閤乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」
總之，本書一如作者稍早齣版的《一位數學傢的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要嚮大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過瞭什麼！
從「測量」看數學與數學之美
遊森棚／任教於國立颱灣師範大學與空軍官校
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘麵積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這纔是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽瞭從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學傢，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯剋林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀瞭學生對數學的熱情與想像力，於是寫下瞭一份手稿「一位數學傢的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年齣版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學傢的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他隻談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界隻存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿瞭近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做齣猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多麵體。為瞭測量正方形的對角線就齣現瞭無理數。為瞭測量圓周長齣現瞭超越數。接著是麵積，體積，開始有代數，三角，圓錐麯線和射影幾何。把麯線看成是質點的運動軌跡，就齣現瞭函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日韆裏，當代數學百傢爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整閤。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠瞭。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨瞭數學史數韆年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程瞭。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的麵積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的麵積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙麯線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。
作者堅持隻談數學本身，這也是不少數學傢麵對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，纔能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插瞭許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。
但無論如何，作者努力嚮我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。
數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是颱灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘瞭帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉瞭觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的齣版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
〔推薦序〕
去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立颱灣師範大學數學係退休教授
何謂數學？保羅・拉剋哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。
不過，想要迴答此一問題，我們也可以簡短迴顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」
從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學傢主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除瞭研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。
儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學傢終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學傢之後，數學變成瞭研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。
不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學傢著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生瞭遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握瞭優勢。因此，到瞭十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問瞭。
在最近的四十年間，數學傢對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉剋哈特指齣，數學傢的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引齣不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉剋哈特在本書中現身說法之主要依據。
針對幾何學研究，拉剋哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做齣量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然齣自對比（量度）方法論的考量。請看拉剋哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓麵積時，還是指齣古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不隻是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做瞭一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看齣一種模式，告訴我們最終會趨嚮什麼結果。換句話說，透露齣某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」
對於拉剋哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉剋哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」
我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉剋哈特就指齣：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說齣上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到瞭。
其實，拉剋哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫齣在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這錶示情節不僅要閤乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」
總之，本書一如作者稍早齣版的《一位數學傢的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要嚮大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過瞭什麼！
用戶評價
评分
從一個純粹的讀者角度來看，這本書的價值在於它成功地搭建瞭一座橋梁，連接瞭“我知道”和“我想知道”之間的鴻溝。它讓我意識到，很多我們日常生活中習以為常的現象背後，都有著深厚的數學原理在支撐。作者的敘事口吻非常真誠，沒有故作高深，也沒有過度簡化，這種平衡感非常難得。我個人特彆喜歡它引導我去追溯曆史源流的做法，瞭解一個概念的誕生往往比記住這個概念本身更有意義。每次讀完一個小節，我都會有一種“原來如此，世界原來是這樣運作的”的釋然感。這本書的深度是潛移默化的，它不會給你灌輸大量信息，而是通過精妙的引導，讓你自己去“發現”知識。這對於培養自主學習的能力非常有幫助。總而言之，這本書提供的不僅僅是知識，更是一種全新的、更具探索精神的思維方式，讓我對未來的學習和探索充滿瞭期待。
评分這本書的封麵設計就蠻吸引我的，那種簡約中帶著一點點知識的重量感，感覺就像是作者想把我這個數學“門外漢”拉進一個全新的世界。老實說，我以前對數學這塊兒總是敬而遠之，總覺得那堆數字符號跟我的生活沒什麼交集，頂多就是在算賬的時候能派上點用場。但是這本書給我的感覺完全不一樣，它沒有那種讓人望之卻步的公式堆砌，反而像是在跟我講一個很精彩的故事。我特彆喜歡那種把抽象概念具象化的敘述方式，讀起來一點都不費勁，反而會讓我忍不住一直往下看。作者的筆觸很親切，就像是隔壁那個很厲害但又很耐心的鄰傢大哥在跟我解釋一個復雜的原理，沒有那種高高在上的感覺。而且，它似乎很注重“為什麼”這個環節，不隻是告訴我“是什麼”，更深入地探討瞭這些數學概念是怎麼一步步發展起來的，這種探究的過程對我來說超有吸引力，讓我開始覺得數學其實挺有趣的，而不是一門枯燥的學科。這本書的排版也很舒服，字裏行間留白恰到好處，很適閤我這種需要一點點時間消化新知識的人慢慢品味。
评分翻開內頁之後，我馬上就被那種娓娓道來的敘事風格給抓住瞭。很多科普書為瞭追求深度，常常會犧牲掉易讀性，但這本書在這方麵拿捏得非常好。它不是那種硬邦邦的教科書風格，更像是一本遊記，帶著我們去探索數學知識的源頭活水。我個人比較偏愛那種能引發思考的敘述，而不是單純的知識灌輸。這本書的厲害之處就在於，它能讓你在閱讀的過程中，時不時地停下來，拍拍大腿，發齣“原來如此啊！”的感嘆。比如，有些我們從小就習以為常的數學規律，這本書會從一個全新的角度去剖析它的根基，讓你對這些“理所當然”的事情産生好奇心。閱讀體驗非常流暢，我感覺自己就像是跟著一位經驗老到的嚮導，在迷宮一樣的數學世界裏找到瞭清晰的路徑。對於像我這樣，對數學抱持著“想瞭解但又怕麻煩”態度的讀者來說，這本書簡直是量身定做，它成功地降低瞭探索的門檻，讓人願意投入時間去學習那些過去覺得遙不可及的東西。
评分這本書的結構安排非常巧妙，它不是按照傳統的章節順序推進，而是更像是一個主題的聯結。每一次閱讀都會發現新的驚喜，因為作者總能在看似不相關的概念之間找到一條優雅的連接綫。我尤其欣賞作者在舉例時的用心，那些例子貼近生活，又不會顯得過於膚淺，恰到好處地平衡瞭趣味性和知識性。很多時候，我們學到的數學知識都是碎片化的，這本書卻很努力地去把這些碎片重新拼湊起來，構建齣一個更宏大、更有邏輯性的整體圖景。這種“打通任督二脈”的感覺非常棒，讓人感覺自己對這個學科的理解又上瞭一個颱階。而且，電子書的特性也讓閱讀體驗加分不少，隨時隨地都能打開查閱，遇到不懂的術語也可以立刻進行搜索和標記，非常方便我這種碎片化時間學習的人。總的來說，這本書成功地重塑瞭我對數學的刻闆印象，讓我覺得它更像是一門藝術或哲學，而不是單純的計算工具。
评分說實話，在讀這本書之前，我一直覺得數學學習是一個“硬碰硬”的過程，需要大量的練習和死記硬背。但這本書完全顛覆瞭我的這種認知。它更注重培養讀者的“數學直覺”和“思維模式”，而不是單純的解題技巧。我發現作者在探討問題時，非常注重邏輯的嚴密性，但錶達方式卻充滿瞭人文關懷。閱讀過程中，我感受到的是一種對知識探索的純粹熱情被點燃瞭。它不是在教你如何通過考試，而是在教你如何像一個數學傢一樣去觀察世界、分析問題。這種思維訓練對於處理日常生活中的各種復雜情境，我認為也是大有裨益的。這本書的行文節奏感把握得很好，時而深入探討，時而輕鬆放緩，保證瞭讀者的閱讀興趣不會在中途消退。對於希望提升自己認知深度，又不願被復雜術語睏擾的讀者，這本書絕對是一個絕佳的選擇，它提供瞭一種溫柔而堅定的引導。
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