近幾年來，保羅・拉克哈特的《一個數學家的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳，直到成書出版後，更引爆了廣泛的好評，因為它批判了今日僵化的數學教育（背公式、大量的習題），忽略了帶領學生思考問題的過程；而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗，讓他們喜歡上數學，產生好奇心，不是嗎？
在這本新書中，作者寫出了數學教育正向積極的一面，帶領我們體會，數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。
作者現身說法提出了他心目中的數學，應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同，然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、向量、到微積分，不斷地引導我們問「為什麼？」。
他和你說話，用平易近人的語氣，運用手繪的圖形，就像是自己在玩數學似的，呈現他心目中理想、有意義的數學問題，以及思考過程。他不會假裝數學很簡單，但也大方展現數學的美。在他筆下，複雜的數學概念變得符合直覺、容易掌握，數學概念不再是東一塊、西一塊，各個單元彼此可以連結，形成有意義的動人故事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思，正呼應了他所堅信的：數學不僅是科學，也是藝術。
在這個新天地裡，漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過，做出一些令人驚訝的事！當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐，會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」，當我們一頭栽進去，盡情思考之後，將獲得極大的喜悅，並得到情感和美感上的回報。
熱情推薦
任維勇 北一女中數學教師
洪萬生 師大數學系退休教授
游森棚 師大數學系教授
泛科學Pansci.tw 推薦
無論你受過什麼樣的數學教育，或是沒有上過數學課，你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請，浸淫在書裡散發出的數學感受中，並親自動手嘗試看看──不只是解題，更積極的，一面探索數學世界一面構思問題。──貝利‧馬祖爾（Barry Mazur )，哈佛大學校聘數學教授
這本書是一首情歌，一篇哲學宣言，以及關於做數學的甘苦，但甘甜占了大多數。──史蒂芬•史特格茲（Steven Strogatz），康乃爾大學講座教授
充滿趣味和巧思的寫法，不僅讓數學不再令人感到害怕，也優雅地描繪出作者樂在其中的世界。──《出版人週刊》（Publishers Weekly）
具体描述
好的，这是一份关于一本假设的、与您提到的《這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅 (電子書)》内容无关的图书的详细简介，旨在提供丰富的信息量且行文自然流畅。 --- 《星海的低語：跨越光年的文明考古學》 作者：艾莉亞·凡德爾 (Aria Vander) 譯者：李明翰 裝幀：精裝 / 680 頁 簡介： 在人類仰望星空、試圖解開宇宙奧秘的漫長歷史中，我們始終在尋找一個終極問題的答案：我們是孤獨的嗎？《星海的低語：跨越光年的文明考古學》並非一本傳統的天體物理學教科書，而是一場深入人類文明邊緣、橫跨數十萬年時間軸的宏大敘事。它以考古學的嚴謹方法論，結合尖端的天體生物學推測，描繪了一幅關於智慧生命在宇宙中「誕生、繁榮、湮滅」的複雜圖景。 本書的敘事核心，圍繞著「費米悖論」所引發的深層次哲學拷問展開。作者艾莉亞·凡德爾，一位享譽國際的「深空信號解析專家」，摒棄了科幻小說中對外星文明的浪漫化想像，轉而採用一種近乎病態的求真精神，對數十年來人類接收到的所有可疑無線電信號、SETI 計劃中的異常數據，以及對系外行星大氣層的深度光譜分析進行了極其細緻的「考古發掘」。 第一部：沉默的代價——宇宙的尺度與生命的脆弱 第一部分奠定了全書的基調：宇宙的巨大尺度如何成為智慧生命傳播的最大障礙。凡德爾博士首先以極具文學性的筆觸，重述了人類文明在地球上從單細胞生物進化到能夠發射無線電信號的短暫歷程。她用令人信服的數據闡釋了「大過濾器」理論的各種可能形態，並將這些理論具象化為一系列極其嚴苛的宇宙篩選機制。 她詳細分析了行星宜居帶的窄度，探討了恆星爆發、伽馬射線暴以及銀河系旋臂穿越的隨機風險如何頻繁地「重置」一個正在發展的文明。書中特別引入了「地質時間尺度的遺產」概念，探討了即使一個文明成功存續了數百萬年，其文明遺蹟在數十億年後留下的物理痕跡會是何種形式。這部分內容不僅是科學推演，更是一場對生命存在的謙卑與敬畏的哲學反思。 第二部：訊號的殘響——解讀非連續性信息 本書的精華部分集中在第二部，凡德爾博士帶領讀者走進了 SETI 歷史上那些最著名的「幽靈信號」背後。她並未聲稱找到了外星生命，而是將重點放在「信息遺失與解讀偏差」上。 她耗費大量篇幅，梳理了「Wow! 信號」的後續追蹤情況，並引入了一個她獨創的「結構熵模型」來評估信號的非自然性。讀者將會看到，許多被認為是外星智慧活動的數據點，在採用更先進的統計學和背景噪音過濾技術後，如何被重新歸類為自然射電現象，或是地球自身的干擾。 然而，最引人入勝的部分，是對那些無法被輕易解釋的「非連續性信息」的深入剖析。凡德爾博士詳細介紹了她團隊如何利用量子計算模擬來嘗試還原那些極度微弱、間歇性出現的窄帶信號的潛在結構。她討論了語言學、數學符號學在試圖翻譯「異質語境」信息時所面臨的根本性困境——我們能否識別出一個不基於我們所知的物理常數或邏輯結構的信息？ 第三部：宇宙塵埃中的印記——間接證據的再審視 在第三部，作者將目光從電磁波轉向了物質本身。她提出了一個大膽的假設：高度先進的文明可能會留下難以察覺的「工程遺蹟」（Technosignatures），這些遺蹟的壽命遠超其母文明。 凡德爾博士詳細探討了戴森球結構的熱力學特徵，並回顧了對 KIC 8462852（塔比星）異常變光現象的各種解釋。她提出了一種「微型化結構污染」理論，認為先進文明可能在行星際空間部署了高度集成化、幾乎不產生熱輻射的超級計算矩陣，這些矩陣在數百萬年的漂流中，只會留下極微弱的非均勻遮擋效應。 此外，本書還探討了「生物化石證據」的可能存在形式。如果一個星際文明曾在數十億年前造訪過太陽系，它們留下的痕跡可能不是金屬建築，而是改變了地球微生物群落的基因序列，或是深海沉積物中無法解釋的同位素比率。這部分內容充滿了細膩的化學分析和地質學推斷，將讀者從遙遠的星系拉回到了地球深處。 第四部：超越瞭望塔——未來文明的可能形態 在結尾部分，凡德爾博士將視角投向未來。她認為，如果我們還未偵測到任何生命，可能意味著智慧文明的發展路徑，與我們基於碳基、水基生命的直覺相去甚遠。 她引入了「非物質化進化」的概念，探討了文明在達到極高技術水平後，是否會傾向於將其核心意識上傳至更穩定的介質，例如人工黑洞的事件視界內部，或是利用暗物質進行信息存儲。這不僅是對未來技術的展望，也是對「何謂生命、何謂文明」的終極追問。 《星海的低語》是一本需要深思熟慮才能讀完的作品。它要求讀者放下對「小綠人」的期待，轉而接受宇宙的冷酷與浩瀚。它不是關於「我們找到了誰」，而是關於「我們為什麼還沒有找到他們」，以及這對人類自身的未來意味著什麼。這本書將深刻地重塑你對宇宙中「空無」的理解。 --- (全書結構與主題概述) | 章節 | 核心主題 | 關鍵概念與分析對象 | | :--- | :--- | :--- | | 第一部 | 宇宙尺度下的生命篩選機制 | 大過濾器理論、行星宜居帶的嚴苛性、地質時間的遺產 | | 第二部 | 信號解讀與信息理論的邊界 | SETI 異常信號（如 Wow!）、結構熵模型、異質語境信息翻譯的難題 | | 第三部 | 間接證據：工程學與生物學遺蹟 | 戴森球熱特徵、微型化結構污染、深海沉積物中的化學異常 | | 第四部 | 超越物質：文明的終極進化路徑 | 非物質化進化、意識上傳、暗物質信息存儲的可能性 |
著者信息
作者簡介
保羅．拉克哈特Paul Lockhart
他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始，他自願到紐約布魯克林的聖安學校（St. Ann's School）教導K-12（從幼稚園到十二年級）的數學課。
他是一位傑出的數學家，發願來教中小學的數學，希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一面，他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。
他的處女作《一個數學家的嘆息》（經濟新潮社出版），一出版即在數學教育圈子造成轟動，引爆討論。
作者現身說法：The World of Mathematical Reality
譯者簡介
畢馨云
清華大學數學系畢業，曾任科普書編輯十多年，現為自由譯者、文字工作者及業餘交響樂團團員。
Email: xinyun.biz@gmail.com
保羅．拉克哈特Paul Lockhart
他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始，他自願到紐約布魯克林的聖安學校（St. Ann's School）教導K-12（從幼稚園到十二年級）的數學課。
他是一位傑出的數學家，發願來教中小學的數學，希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一面，他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。
他的處女作《一個數學家的嘆息》（經濟新潮社出版），一出版即在數學教育圈子造成轟動，引爆討論。
作者現身說法：The World of Mathematical Reality
譯者簡介
畢馨云
清華大學數學系畢業，曾任科普書編輯十多年，現為自由譯者、文字工作者及業餘交響樂團團員。
Email: xinyun.biz@gmail.com
图书目录
推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生
真實與想像
漫談數學問題
上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。
下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。
英中譯名對照
图书试读
〔推薦序〕
從「測量」看數學與數學之美
游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙曲線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。
作者堅持只談數學本身，這也是不少數學家面對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，才能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。
但無論如何，作者努力向我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。
數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘了帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
〔推薦序〕
去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立台灣師範大學數學系退休教授
何謂數學？保羅・拉克哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。
不過，想要回答此一問題，我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」
從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除了研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。
儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學家之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。
不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學家著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。因此，到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。
在最近的四十年間，數學家對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出，數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。
針對幾何學研究，拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做出量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然出自對比（量度）方法論的考量。請看拉克哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓面積時，還是指出古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不只是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看出一種模式，告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說，透露出某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」
對於拉克哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉克哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」
我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉克哈特就指出：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到了。
其實，拉克哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」
總之，本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過了什麼！
從「測量」看數學與數學之美
游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校
測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？
讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。
這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。
這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。
作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。
作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。
數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。
我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙曲線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。
作者堅持只談數學本身，這也是不少數學家面對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，才能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。
但無論如何，作者努力向我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。
數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘了帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
〔推薦序〕
去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立台灣師範大學數學系退休教授
何謂數學？保羅・拉克哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。
不過，想要回答此一問題，我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」
從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除了研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。
儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學家之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。
不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學家著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。因此，到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。
在最近的四十年間，數學家對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出，數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。
針對幾何學研究，拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做出量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然出自對比（量度）方法論的考量。請看拉克哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓面積時，還是指出古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不只是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看出一種模式，告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說，透露出某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」
對於拉克哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉克哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」
我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉克哈特就指出：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到了。
其實，拉克哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」
總之，本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過了什麼！
用户评价
评分
这本书的封面设计就蛮吸引我的，那种简约中带着一点点知识的重量感，感觉就像是作者想把我这个数学“门外汉”拉进一个全新的世界。老实说，我以前对数学这块儿总是敬而远之，总觉得那堆数字符号跟我的生活没什么交集，顶多就是在算账的时候能派上点用场。但是这本书给我的感觉完全不一样，它没有那种让人望之却步的公式堆砌，反而像是在跟我讲一个很精彩的故事。我特别喜欢那种把抽象概念具象化的叙述方式，读起来一点都不费劲，反而会让我忍不住一直往下看。作者的笔触很亲切，就像是隔壁那个很厉害但又很耐心的邻家大哥在跟我解释一个复杂的原理，没有那种高高在上的感觉。而且，它似乎很注重“为什么”这个环节，不只是告诉我“是什么”，更深入地探讨了这些数学概念是怎么一步步发展起来的，这种探究的过程对我来说超有吸引力，让我开始觉得数学其实挺有趣的，而不是一门枯燥的学科。这本书的排版也很舒服，字里行间留白恰到好处，很适合我这种需要一点点时间消化新知识的人慢慢品味。
评分从一个纯粹的读者角度来看，这本书的价值在于它成功地搭建了一座桥梁，连接了“我知道”和“我想知道”之间的鸿沟。它让我意识到，很多我们日常生活中习以为常的现象背后，都有着深厚的数学原理在支撑。作者的叙事口吻非常真诚，没有故作高深，也没有过度简化，这种平衡感非常难得。我个人特别喜欢它引导我去追溯历史源流的做法，了解一个概念的诞生往往比记住这个概念本身更有意义。每次读完一个小节，我都会有一种“原来如此，世界原来是这样运作的”的释然感。这本书的深度是潜移默化的，它不会给你灌输大量信息，而是通过精妙的引导，让你自己去“发现”知识。这对于培养自主学习的能力非常有帮助。总而言之，这本书提供的不仅仅是知识，更是一种全新的、更具探索精神的思维方式，让我对未来的学习和探索充满了期待。
评分这本书的结构安排非常巧妙，它不是按照传统的章节顺序推进，而是更像是一个主题的联结。每一次阅读都会发现新的惊喜，因为作者总能在看似不相关的概念之间找到一条优雅的连接线。我尤其欣赏作者在举例时的用心，那些例子贴近生活，又不会显得过于肤浅，恰到好处地平衡了趣味性和知识性。很多时候，我们学到的数学知识都是碎片化的，这本书却很努力地去把这些碎片重新拼凑起来，构建出一个更宏大、更有逻辑性的整体图景。这种“打通任督二脉”的感觉非常棒，让人感觉自己对这个学科的理解又上了一个台阶。而且，电子书的特性也让阅读体验加分不少，随时随地都能打开查阅，遇到不懂的术语也可以立刻进行搜索和标记，非常方便我这种碎片化时间学习的人。总的来说，这本书成功地重塑了我对数学的刻板印象，让我觉得它更像是一门艺术或哲学，而不是单纯的计算工具。
评分说实话，在读这本书之前，我一直觉得数学学习是一个“硬碰硬”的过程，需要大量的练习和死记硬背。但这本书完全颠覆了我的这种认知。它更注重培养读者的“数学直觉”和“思维模式”，而不是单纯的解题技巧。我发现作者在探讨问题时，非常注重逻辑的严密性，但表达方式却充满了人文关怀。阅读过程中，我感受到的是一种对知识探索的纯粹热情被点燃了。它不是在教你如何通过考试，而是在教你如何像一个数学家一样去观察世界、分析问题。这种思维训练对于处理日常生活中的各种复杂情境，我认为也是大有裨益的。这本书的行文节奏感把握得很好，时而深入探讨，时而轻松放缓，保证了读者的阅读兴趣不会在中途消退。对于希望提升自己认知深度，又不愿被复杂术语困扰的读者，这本书绝对是一个绝佳的选择，它提供了一种温柔而坚定的引导。
评分翻开内页之后，我马上就被那种娓娓道来的叙事风格给抓住了。很多科普书为了追求深度，常常会牺牲掉易读性，但这本书在这方面拿捏得非常好。它不是那种硬邦邦的教科书风格，更像是一本游记，带着我们去探索数学知识的源头活水。我个人比较偏爱那种能引发思考的叙述，而不是单纯的知识灌输。这本书的厉害之处就在于，它能让你在阅读的过程中，时不时地停下来，拍拍大腿，发出“原来如此啊！”的感叹。比如，有些我们从小就习以为常的数学规律，这本书会从一个全新的角度去剖析它的根基，让你对这些“理所当然”的事情产生好奇心。阅读体验非常流畅，我感觉自己就像是跟着一位经验老到的向导，在迷宫一样的数学世界里找到了清晰的路径。对于像我这样，对数学抱持着“想了解但又怕麻烦”态度的读者来说，这本书简直是量身定做，它成功地降低了探索的门槛，让人愿意投入时间去学习那些过去觉得遥不可及的东西。
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