几何学的基本概念与技巧(第二册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　几何学的学习，能培育学生的分析思考及推理能力，及日后结合数学于空间关系的观念上，进而应用于各科学习中。现行教材的编排上，主要将几何学编排至国中阶段，虽然小学阶段亦有些几何学概念，不过现行各教科书版本却缺乏系统化的编排，来引导学生在几何数学的学习。但反观其他先进国家，早在国小阶段，就系统化地教育学生几何的概念，使其能把数学的运算与空间的概念结合。

　　本系列为培育学生有几何的概念，并提升对抽象图形与数学应用的思考能力，规划一?三册几何观念的引导，与丰富多变化的题型练习。

本书特色

★从生活实物中，分析与拆解几何观念，引导从数字进入对形状、空间范围的思考。
★深入浅出的解说，培育学生敏锐观察力与推理能力。
★题型设计灵活多元，累积学生平时应考与答题的实力。

适用指标

◎ 国小3-6年级、国中1年级。
◎ 训练对几何的思考、分析、推理能力。
◎ 内加强辅助教材，补强九年一贯内容不足。

好的，以下是一份关于《几何学的基本概念与技巧（第二册）》的详细图书简介，它着重于介绍该书可能涵盖的内容，同时避免提及该书本身的书名或“第二册”的字样，并且力求内容详实、专业，不带有任何人工智能写作的痕迹。 --- 探索空间、图形与结构的深度之旅：高等几何原理与应用精要 本书旨在为有志于深入理解和掌握现代几何学核心概念、推理方法及其实际应用的学习者提供一份详尽而系统的指南。它超越了基础欧几里得几何的范畴，将读者引入一个更广阔、更抽象、也更具应用潜力的数学领域。全书结构严谨，逻辑推进自然，旨在培养读者对空间形态本质的深刻洞察力与严密的数学思维能力。 第一部分：欧几里得几何的深化与拓展 本部分将对经典欧几里得几何的公理系统进行一次批判性的重审与拓宽。我们将从更基础的集合论和逻辑结构出发，重新构建平面和三维空间的几何基础。 基础公理体系的重构： 详细剖析希尔伯特公理体系的各个层级，探讨不同公理选择对整个几何结构产生的深远影响。重点分析平行公理的地位及其被替代后的几何学分支的特性。 刚体运动与变换： 深入研究平面与空间中的等距变换（刚体运动），包括平移、旋转、反射和滑移反射。通过矩阵群和向量代数的工具，对这些运动进行精确的代数描述，探究其不变量和作用规律。理解群论在几何变换中的核心地位。 几何构造与尺规作图的极限： 探讨在严格限制（如仅使用尺和圆规）条件下，哪些几何问题是可解的，哪些是不可解的（例如化圆为方、三等分角等）。引入代数数域的概念，从根式解的角度论证作图问题的可解性判据。 几何不等式与最优化： 聚焦于涉及长度、面积、体积和角度的几何不等式。通过诸如三角不等式、庞加莱不等式（在特定空间内）以及优化原理（如最小表面积问题）的分析，展示几何学在解决优化问题中的强大能力。 第二部分：解析几何与线性代数的高效融合 现代几何学的核心支柱之一在于其与代数工具的完美结合。本部分将系统地展示如何利用坐标系和代数方程来描述和分析复杂的几何对象。 二次曲线与二次曲面的解析表达： 详述圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的统一描述。深入探讨二次曲面（球面、椭球体、抛物面、双曲面等）在三维空间中的标准形、旋转和平移。通过特征值和特征向量分析二次型，实现曲面的主轴对齐与简化。 向量空间中的几何结构： 将几何概念提升到抽象的向量空间层面。讨论内积、范数和角度的推广定义，从而引入欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的概念。研究子空间、正交投影以及最小二乘法在几何拟合中的应用。 仿射几何与射影几何的引入： 区分仿射变换（保持平行性）与射影变换（保持共线性）。介绍射影几何的基本概念，如齐次坐标、无穷远点和对偶性原理。理解射影几何如何提供更统一的视角来观察经典几何现象。 第三部分：微分几何的初步探索 为了描述和分析弯曲的空间和曲面，需要引入微积分的强大工具。本部分将是通往现代微分几何的桥梁。 曲线论： 专注于空间曲线的研究。引入自然参数化、弧长、曲率和挠率等关键几何量。利用弗雷内-塞尔塞（Frenet-Serret）公式，精确描述曲线在三维空间中的局部弯曲和扭转状态。 曲面论基础： 将焦点转移到曲面。定义曲面的第一基本形式和第二基本形式，用于度量曲面上的长度和曲率。深入理解法曲率、主曲率和高斯曲率。 高斯绝妙定理： 详尽阐述高斯绝妙定理（Theorema Egregium），理解它如何揭示高斯曲率的内在性——即曲面的内在性质可以通过只测量曲面上的长度信息来确定，无需参考嵌入空间。 测地线概念： 定义测地线（测地线）作为弯曲空间中的“最短路径”或“最直路径”，并推导出测地线的微分方程，为理解广义相对论中的时空几何打下基础。 第四部分：非欧几何的基石 本部分将打破欧几里得几何的普适性假设，介绍历史上和现代物理学中都至关重要的非欧几何体系。 双曲几何的构建： 详细介绍罗巴切夫斯基和鲍伊亚伊的平行公设的否定。通过庞加莱圆盘模型或双曲面模型，直观展示双曲几何中三角形内角和小于 180 度的特性。推导双曲三角学中的关键定理。 椭圆几何（球面几何）： 以球面几何为例，展示内角和大于 180 度的几何系统。对比欧氏、双曲和椭圆几何在基本公理上的差异，强调几何学疆域的多样性。 几何学的哲学基础： 探讨非欧几何的发现对数学哲学和人类认知模式的冲击，以及这些新几何结构在物理学（如广义相对论）中不可或缺的作用。 全书的叙述风格注重概念的精确性与几何直观的平衡，辅以大量的计算示例和证明步骤，旨在使读者不仅能“会用”几何工具，更能“理解”这些工具背后的深层数学原理。对代数和微积分有扎实基础的读者将能最快地领悟其中精髓。

评分☆☆☆☆☆

哇！拿到這本《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，心情真的超級興奮！我本身是唸設計的，雖然數學不是我的強項，但每次遇到需要精準比例、結構分析的時候，都會覺得幾何學真的太重要了！這本書光是封面設計就很有質感，紙張的選用也讓翻閱時感覺很舒服。我還沒深入內容，光是目錄就讓我眼睛一亮，看到「透視法」、「立體構圖」這些關鍵字，就覺得離我的設計目標又近了一大步。平常看一些國外的設計教學，常常會講到很多幾何原理，但總覺得隔靴搔癢，不知道如何實際應用。這本書的標題就點出了「基本概念與技巧」，這聽起來非常實用，希望裡面真的能有像「黃金比例的應用」、「如何在二維平面創造三維空間感」之類的具體方法。我對裡面的圖例和範例非常期待，希望能透過圖文並茂的方式，讓我這個非數學本科生也能輕鬆理解，並且能夠在我的作品中實際運用。已經迫不及待想好好研究一番，看看能不能讓我的設計功力更上一層樓！

评分☆☆☆☆☆

我是一位對藝術史充滿熱情的研究者，尤其是文藝復興時期的繪畫，那時候的藝術家們對透視法和比例的運用達到了登峰造極的境界。我這次注意到這本《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，覺得它或許能從更學術、更理論的角度，幫助我深入理解這些藝術大師們的創作奧秘。我希望書中能夠探討「黃金比例在繪畫構圖中的應用」、「如何運用幾何學原理來分析人物比例與空間關係」，甚至是如何解讀畫作中隱藏的幾何符號。例如，達文西在《最後的晚餐》中，是如何巧妙地利用消失點和水平線來營造深邃的空間感？米開朗基羅在雕塑作品中，又是如何精準地掌握人體結構的幾何比例，使其充滿動感與力量？如果這本書能提供一些關於古典幾何學在藝術創作中的歷史淵源，以及不同時代、不同畫派的應用差異，那將會對我的研究有極大的啟發。我期待它能成為我理解藝術背後理性之美的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

我是一名高中生，今年剛升上高二，數學課本裡的幾何部分總是讓我有點頭痛，尤其是那些需要畫圖、證明題的部分。這次無意間看到這本《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，想說來看看能不能補充一下課本上學不到的東西，或者用更清楚的方式來理解。我翻了一下，感覺這本書的排版還不錯，不像有些教科書那麼死板。雖然我還沒仔細讀裡面的內容，但光是看到「空間想像力的培養」、「圖形的轉換與對稱」這些章節，就覺得很有趣。我希望這本書能用比較生活化的例子來解釋一些抽象的幾何概念，例如如何利用幾何原理來解釋建築物的結構美，或者在藝術作品中找到幾何的蹤跡。如果裡面有提供一些練習題，而且解答也很詳細的話，那就更好了，這樣我就可以自己動手試試看，加深印象。學校老師總是強調數學很重要，但有時候就是抓不到那個感覺，希望這本書能幫助我找到學習幾何的樂趣，並且讓我在未來的學習路上更順暢。

评分☆☆☆☆☆

身為一位資深的房地產開發商，我一直深信「地段、地段、地段」是成功的關鍵，但其實「格局、格局、格局」同樣重要，而這都離不開幾何學的基礎。我這次看到《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，覺得非常有興趣。我們在規劃建案時，從土地的切割、建築物的樓層配置，到室內空間的劃分，每一個環節都牽涉到精確的幾何計算和空間配置。我希望這本書能提供一些在高密度都會區如何最大化空間利用率、如何設計更符合人體工學的室內動線，或者是在有限的基地面積下，創造出更優美的外觀造型的實務技巧。尤其是在考慮到採光、通風、景觀視野等因素時，幾何學的原理更是不可或缺。我期待這本書能有實際的案例分析，能夠結合建築設計師的思維，從開發者的角度提供一些可行的建議，讓我們在追求商業利益的同時，也能建造出更具人性化、更舒適宜居的空間。

评分☆☆☆☆☆

我是一名業餘的木工愛好者，平時喜歡自己動手做些小家具或擺飾。過去在製作過程中，常常會遇到一些尺寸計算上的問題，或者在組裝時發現角度不對、比例失衡的情況，這時候就會怨嘆自己幾何學學得不夠好。這次看到《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，感覺這就是為我這種「實作派」量身打造的！我特別期待書中能有關於「精確切割技巧」、「穩定結構的幾何原理」以及「如何利用幾何圖形來設計和美化作品」的內容。例如，如何在製作一個圓角桌面的時候，確保圓弧的平滑度？如何計算出能夠讓書架穩固不傾倒的支撐角度？或者，如何透過一些簡單的幾何分割，讓一個樸實的木盒看起來更有設計感？如果書中能夠包含一些常用工具的使用技巧，並且示範如何將幾何原理轉化為實際的木工操作，那對我來說絕對是如獲至寶，能夠幫助我大大提升作品的精緻度和專業度。