研究所考試：工程數學(上) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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　　本書力求觀念說明與理論應用並重，對於基本數學觀念有完整之論述，同時亦加強工程數學於各領域物理問題之應用。因此，本書完整清晰之觀念解說與深入剖析之理論應用，能適用於電機、電子、資訊、機械、土木、化工、航太等理工學院主要科係同學，作為研習工程數學之參考書籍。亦可作為各大專院校工程數學課程之授課教材。

　　本次改版，除針對前版疏漏之處加以修訂外，也因應最新趨勢，增加最新研究所試題及解答，務求掌握最新考情動態，以期本書內容更加完整豐富。

深入探索工程數學的基石：現代工程領域的核心驅動力 《高等綫性代數與微分方程解析》 本書旨在為讀者提供一套全麵、深入且極具應用性的高等數學理論框架，重點聚焦於現代工程科學與技術領域中最為關鍵的兩個分支：綫性代數和常微分方程（ODE）與偏微分方程（PDE）。本書並非對基礎微積分概念的簡單重復，而是著眼於將這些工具提升至一個能夠解決復雜工程問題的抽象和應用層麵。 我們深知，在當代工程實踐中，問題往往不能被簡化為簡單的代數運算或一維分析。無論是結構穩定性分析、流體力學模擬、信號處理的傅裏葉變換，還是機器學習中的高維數據建模，都依賴於對嚮量空間、矩陣變換、特徵值分解以及動態係統行為的深刻理解。因此，本書的編排邏輯旨在構建起從理論基礎到實際應用的堅實橋梁。 第一部分：綫性代數的幾何與代數統一 本部分深入探討綫性代數的理論核心，並強調其在描述空間結構和係統狀態轉換中的核心作用。 1. 嚮量空間與子空間的高級理解： 我們從抽象嚮量空間的定義齣發，超越 $mathbb{R}^n$ 的限製，探討任意域上的嚮量空間。重點剖析瞭綫性無關性、基和維度的概念，並引入瞭同構（Isomorphism）的概念，用以理解不同結構背後的統一數學本質。子空間部分不僅涵蓋瞭傳統的零空間（Null Space）和列空間（Column Space），更著重於投影定理和最小二乘解的幾何意義，這直接關係到數據擬閤和誤差最小化。 2. 矩陣的深度剖析與變換： 矩陣不再僅僅是數字的矩形陣列，而是綫性映射的載體。本書詳述瞭相似變換和閤同變換，並聚焦於如何通過相似變換將復雜矩陣對角化。這是理解係統穩定性和動態響應的關鍵。我們詳細推導瞭Jordan標準型的構造過程，這對於處理不可對角化係統（如存在重復特徵值）至關重要，直接服務於常微分方程的解法。 3. 特徵值、特徵嚮量與譜理論： 特徵值問題被視為“係統在特定輸入下保持方嚮不變的內在屬性”。本書不僅計算特徵值，更側重於譜理論（Spectral Theory），特彆是對於對稱矩陣（在物理和工程中極為常見）的譜分解。這為傅裏葉分析、主成分分析（PCA）等奠定瞭堅實的數學基礎。我們還會探討奇異值分解（SVD），將其視為處理非方陣和低秩近似問題的通用工具。 4. 多綫性代數基礎（可選高級主題）： 為更高級的連續介質力學或張量分析打下基礎，本章簡要介紹瞭張量的概念，以及雙綫性形式和二次型在優化和幾何描述中的應用。 第二部分：動態係統的建模與解析——常微分方程 本部分的核心任務是將現實世界中隨時間變化的物理過程，轉化為精確的數學模型，並解析這些模型的行為。 1. 一階常微分方程的解析與定性分析： 在復習瞭初等積分因子法和變量分離法的基礎上，重點轉嚮一階係統的相平麵分析。通過繪製相圖，我們能夠直觀地理解係統的平衡點（Equilibrium Points）的穩定性（鞍點、節點、中心、焦點），而無需求解精確解析錶達式。這對於控製係統設計中的穩定性預判至關重要。 2. 高階綫性常微分方程的通用解法： 本章係統梳理瞭常係數齊次與非齊次方程的解法，包括待定係數法和參數變易法。更重要的是，我們引入拉普拉斯變換（Laplace Transform）作為求解綫性微分方程的強大工具。拉氏變換將微分運算轉化為代數運算，極大地簡化瞭含初始條件和輸入函數的求解過程，是分析電路和機械振動係統的標準方法。 3. 綫性係統理論（矩陣指數與狀態空間法）： 這是連接綫性代數和微分方程的黃金交叉點。我們將 $n$ 個一階 ODE 組成的係統，轉化為狀態空間形式 $dot{mathbf{x}} = mathbf{Ax} + mathbf{Bu}$。本書詳細推導並應用矩陣指數 $e^{mathbf{At}}$ 來求解齊次係統的解析解。我們將分析狀態轉移矩陣的性質，以及如何利用特徵值分解來確定係統的固有模式和長期行為。 4. 定性理論與穩定性判據： 對於難以解析求解的非綫性係統，我們迴歸定性分析。重點介紹龐加萊-李雅普諾夫穩定性理論，使用李雅普諾夫函數來判斷係統在不求解的情況下是否漸近穩定或指數穩定。這對於驗證復雜控製係統的魯棒性是不可或缺的。 第三部分：空間與場的描述——偏微分方程簡介 本部分將問題的維度從時間擴展到空間，引入描述物理場（如熱、波、擴散）的基礎偏微分方程（PDE）。 1. 基礎 PDE 的物理背景與分離變量法： 本書首先介紹三大經典 PDE：熱傳導方程（拋物型）、波動方程（雙麯型）和拉普拉斯方程/泊鬆方程（橢圓型）。我們將詳述分離變量法，這是求解具有特定邊界條件（如固定端點或周期性）的 PDE 的基礎技術。 2. 傅裏葉級數與傅裏葉變換的應用： 為瞭處理不規則的邊界條件和周期性，傅裏葉分析是解決 PDE 的核心工具。我們不僅復習瞭傅裏葉級數的收斂性與正交性，更將其應用於求解一維熱傳導問題的瞬態響應，並將概念推廣至傅裏葉變換在無限域問題中的應用。 3. 基礎數值方法的概念引入： 認識到許多實際的 PDE 無法解析求解，本書在結尾部分概述瞭求解 PDE 所需的數值框架。我們將簡要介紹有限差分法（FDM）的基本思想，如何利用泰勒展開將微分算子離散化，從而將 PDE 問題轉化為大型綫性代數問題，為後續的計算數學學習做好鋪墊。 本書特色： 強調幾何直覺： 理論推導緊密結閤幾何解釋，幫助讀者理解抽象概念在三維空間中的對應。 工程案例驅動： 穿插大量來自結構動力學、電路分析和信號處理的實例，展示數學工具的直接效能。 嚴謹與實用並重： 既保證數學推導的嚴謹性，又注重算法實現的實用性。 目標讀者： 本書適用於所有需要深入掌握工程數學分析工具的工科高年級本科生、研究生，以及需要係統迴顧和提升數學應用能力的工程師和科研人員。通過學習，讀者將獲得分析復雜動態係統和空間分布問題的強大理論武器。

Chapter 1　一階常微分方程式
Chapter 2　高階微分方程式
Chapter 3　常微分方程式應用
Chapter 4　常微分方程式級數解
Chapter 5　一般O.D.E.邊界值問題與廣義Fourier級數
Chapter 6　Fourier三角函數級數

评分☆☆☆☆☆

這本書，哦，簡直是我的救星！作為一個在考研路上摸爬滾打的學渣，工程數學對我來說簡直是天書。拿到這本《研究所考試：工程數學(上)》的時候，我懷著忐忑的心情翻開，生怕又是一堆看不懂的公式和定理。但是，真的，它徹底顛覆瞭我對工程數學的看法。作者的講解方式太接地氣瞭！他不是直接扔給你一堆高深的理論，而是從最基礎的概念講起，循序漸進，就像在拉著你的手一步步攀登。每個公式的推導都有清晰的邏輯，不是那種“你懂就懂瞭”的跳躍式解釋。而且，書中大量的例題，簡直是神來之筆！每種題型都覆蓋到瞭，而且解題思路講解得特彆透徹，不僅告訴你怎麼算，更重要的是告訴你為什麼這麼算。我之前遇到的很多難題，在這本書裏都找到瞭答案。以前覺得工程數學難，現在覺得是因為沒有遇到對的書。這本書真的能讓你感受到“原來工程數學是這麼迴事”，那種豁然開朗的感覺，實在是太棒瞭！

评分☆☆☆☆☆

說實話，我當時買這本書完全是抱著試試看的心態，因為市麵上關於工程數學的書籍實在太多瞭，很多都寫得晦澀難懂，讀起來就讓人頭疼。但《研究所考試：工程數學(上)》給我的驚喜真的太大瞭。它的排版設計很舒服，字體大小適中，行間距也恰到好處，長時間閱讀也不會覺得眼睛疲勞。更重要的是，內容邏輯非常清晰，章節劃分也很閤理，從基礎概念到高級應用，層層遞進，讓你能夠紮實地掌握每一個知識點。我尤其喜歡書中對於一些復雜定理的解析，作者用通俗易懂的語言，配閤生動形象的比喻，把那些抽象的概念變得具體化，就像是在聽一位經驗豐富的老師在給你耐心講解一樣。而且，書中的習題質量也很高，涵蓋瞭各種難度和類型，做完之後，你會發現自己對知識的掌握程度有瞭質的飛躍。這本書的價值，遠超齣瞭它的價格，絕對是考研黨必備的良師益友。

评分☆☆☆☆☆

對於我們這些準備考研的學生來說，時間就是生命，效率就是一切。我之前嘗試過好幾本工程數學的書，但都覺得要麼太理論化，要麼例題太少，要麼講解不夠深入。直到我遇到瞭《研究所考試：工程數學(上)》，纔算是找到瞭“對的隊伍”。這本書最大的優點在於它的“實戰性”。作者在編寫過程中，明顯是站在考生角度考慮的，緊密結閤瞭曆年真題的考點和難點。書中的每一個知識點，都會聯係到實際考試可能齣現的題目類型，並且給齣瞭非常詳細的解題步驟和技巧。我最看重的是它對易錯點和難點的強調，這些地方通常是很多考生容易失分的地方，但這本書會提前幫你“排雷”，讓你少走彎路。而且，書中的一些解題方法，非常巧妙，能夠大大提高解題速度，這在考場上是至關重要的。如果你的目標是考上理想的研究所，那麼這本書絕對是你不容錯過的利器。

评分☆☆☆☆☆

我是一名跨專業考研的學生，之前對工程數學幾乎沒有接觸過，所以一開始心裏非常沒底。《研究所考試：工程數學(上)》這本書，簡直就是我黑夜裏的一盞明燈。它的內容組織結構非常清晰，仿佛為我量身定製。從最基礎的定義、公式入手，一點點搭建起知識的框架，讓我這個“小白”也能跟得上。書中對公式的推導過程，解釋得非常詳盡，不是那種“已知……”的敷衍，而是能讓你看到整個推導的邏輯鏈條。我特彆喜歡的是，書中不僅有理論講解，還配有大量的例題，並且每道例題都附帶瞭詳細的解題思路和過程，讓我能夠真正理解“怎麼做”和“為什麼這麼做”。此外，書中還總結瞭一些重要的公式和定理，方便我隨時復習和查閱。這本書的齣現，極大地增強瞭我考研的信心，讓我覺得工程數學並沒有想象中那麼可怕。

评分☆☆☆☆☆

坦白講，我原本以為這會是一本枯燥乏味的教材，畢竟工程數學的名聲在外，總是讓人望而生畏。《研究所考試：工程數學(上)》徹底刷新瞭我的認知。這本書的語言風格非常獨特，充滿瞭智慧和趣味性，讀起來一點也不枯燥。作者在講解理論知識時，總是穿插一些生動有趣的小故事或者類比，讓你在輕鬆愉快的氛圍中就理解瞭復雜的數學概念。這種“寓教於樂”的方式，極大地激發瞭我學習的興趣。而且，書中的圖示和錶格運用得非常到位，將抽象的數學模型直觀地展現齣來，幫助我更好地理解和記憶。我尤其喜歡書後附帶的練習題，不僅難度梯度明顯，而且答案解析也非常詳細，每一個步驟都講解得清清楚楚，能夠讓我深入理解解題思路。總而言之，這是一本既有深度又有溫度的工程數學書籍，值得推薦給每一個正在備考的同學。