具体描述
本书特色
‧ 本书之编纂着重于观念的阐述，思考的引发，并以深入浅出的方式导入理论，多举例题说明，避免艰深的理论证明。
‧ 练习是学习数学的过程中不可或缺的一环，因此对于习题部分除了与内文相配合外，并分成 A、B 两部分，A 部分适合一般学生，而 B 部分稍微难一点，也较具有挑战性，程度较好的同学可多做此部分的习题。
‧ 本书相当重视实用性，因此书中会有很多应用的实例，一方面能让学生学以致用，另一方面也可由实例逐渐引出相关的理论，以增加学生学习的兴趣． 让学生演练之后，能够了解到微积分的应用领域，以及如何应用，使微积分成为学习其他学科的基础工具书。
‧ 编者是以非常慎重的心情来编写此书，因此除了分工合作之外，并且一字一句仔细斟酌，共同讨论，力求难易适中 内容适切 份量适当． 但尽管如此，疏漏之处在所难免，还求先进贤达不吝赐教，大力斧正，以期达到尽善尽美，则莘莘学子是幸。
著者信息
图书目录
第 一 章 函数、极限与导数
第 二 章 导数的应用
第 三 章 积 分
第 四 章 三角函数与反三角函数
第 五 章 指数函数与对数函数
第 六 章 积分法则
第 七 章 不定型与瑕积分
第 八 章 定积分的应用
第 九 章 无穷级数
第 十 章 立体空间之几何及向量
第十一章 多变数函数之微分
第十二章 重积分
习题答案
图书序言
本书自出版以来，获得许多所大学院校所採用，也获得许多的回响，尤其是任课教授，提出许多宝贵的意见． 这些好的建议在此次的修订版中充分考量，期盼改版后的本书更趋完善。
作者在编着本书时，虽然已尽心尽力，在校订时，更是字字斟酌，但仍有不少疏漏或错误之处，故在此次的改版中也做了许多的修正。
对于科技大学与技术学院的学生来说，实用性重于理论性． 故在新版中加入了不少实用性的例子与习题，以帮助学生了解微积分如何应用。由于微积分的应用领域非常广泛，本书无法一一举例，因而只能在一些较常应用的领域中举例说明。
由于练习是学习数学的重要一环，因而，我们鼓励学生多做习题演练． 为了增加学生解题的兴趣与信心，我们在新版中特别在书末附上习题的答案． 此作法对于利用此课本自我进修的学生来说也有很大的帮助． 此外，为了帮助自我进修的同学，作者另编写上下两册的微积分精要，作为学生复习的重要参考。
本书能够改版面世，要感谢许多的先进与任课教授的指正与支持． 如果书中还有疏漏或错误之处，则完全是作者的责任，还请先进教授们继续支持与斧正，让本书能够更加完善。
图书试读
用户评价
我对《微积分 第四版》在空间解析几何部分的讲解，印象十分深刻，因为它帮助我真正地“看懂”了三维空间。之前，我对于方程所代表的几何图形，大多局限于二维平面，比如直线、圆、抛物线等。但当涉及到三维空间时，我总是感到有些抽象和模糊。《微积分 第四版》用非常系统和清晰的方式，让我一步步建立起对三维空间的直观认识。从向量的基本运算，比如点积和叉积，到直线和平面方程的表达，再到二次曲面（如球面、椭球面、抛物面、双曲面等）的解析和描绘，书中都给出了详尽的讲解和图示。我尤其喜欢书中对于曲面的描绘，那些复杂的数学表达式，通过精美的三维图形呈现出来时，那种美感和逻辑性让我赞叹不已。它不仅仅是让我们记住公式，更是让我们理解这些公式背后所代表的几何形状。书中还详细介绍了空间曲线的参数方程和切线、法线等概念，这让我在三维空间中也能进行“微观”的分析，就像在二维平面上研究函数曲线一样。我最欣赏的是，它将这些几何概念与微积分联系起来，比如在曲面上求面积、求体积，或者在空间曲线的弧线上进行积分。这种将代数、几何和微积分融为一体的讲解方式，让我深刻体会到了数学的统一性和整体性。通过学习空间解析几何，我感觉自己的空间想象能力得到了极大的提升，也为我理解更高级的数学和物理概念（如曲面方程、张量分析等）打下了坚实的基础。
评分《微积分 第四版》在讲解函数的连续性和极限概念时，真是把我从“模糊”带到了“清晰”。之前，我对极限的理解，更多的是一种“趋近”，但具体“如何趋近”以及“是否一定能达到”却有些含糊。《微积分 第四版》通过ε-δ语言，将这个抽象的概念变得严谨而具体。虽然一开始接触ε-δ语言时，我感到有些吃力，觉得它像是在绕圈子，但经过书中大量的例子和图示，我逐渐体会到了它的强大之处。它不仅仅是在定义极限，更是在“证明”极限的存在性，确保了数学推导的严谨性。我记得书中有一个例子，是用ε-δ语言来证明一个简单的线性函数的极限，虽然过程有些繁琐，但当我一步步按照定义去验证时，我才真正理解了极限的含义。然后，连续性的概念，也变得清晰起来。它不仅仅是说函数“没有断开”，而是说函数在某一点的值等于该点的极限值。这种严谨的定义，让我对函数的行为有了更深入的理解。我最欣赏的是，书中在讲解完ε-δ定义后，并没有就此打住，而是花了大量篇幅讨论了由极限和连续性导出的一些重要性质，比如介值定理、最值定理等。这些定理，我之前在物理学或工程学中经常会用到，但一直不明白它们的数学基础。通过这本书，我才真正理解了这些定理的由来和意义。它让我明白，微积分不仅仅是计算工具，更是建立在严谨的数学基础之上的理论体系。
评分《微积分 第四版》在介绍微分方程初步时，给我一种“柳暗花明又一村”的感觉。之前学习微积分，总觉得它是用来“求导”和“积分”的工具，而微分方程则像是将这些工具的应用推向了一个全新的维度。我之所以这么说，是因为微分方程不仅仅是求解某个函数，而是通过函数及其导数之间的关系来描述一个动态过程。书中从最简单的“一阶线性微分方程”开始，一步步引导我理解它的概念和求解方法。我记得其中有一个例子，是关于人口增长模型，它用一个简单的微分方程就概括了人口随时间变化的规律，这让我感到非常震撼。它不仅仅是一个数学公式，更是一种对现实世界现象的数学建模。然后，书本开始介绍更复杂的微分方程，比如可分离变量方程、齐次方程、以及二阶线性常系数微分方程。在讲解二阶线性常系数微分方程时，我特别喜欢书中关于特征方程和根的讨论，它直接关联到了方程解的形式，比如指数函数、三角函数等，这让我看到了数学的严谨和美妙之处。书中还穿插了一些关于解的稳定性的讨论，这让我明白了为什么有些微分方程的解会趋于某个稳定状态，而有些则会发散。最让我感到惊喜的是，书中并没有止步于理论的推导，而是给出了很多应用实例，比如电路分析、振动系统、甚至生物种群动态等。这些例子让我深刻体会到，微分方程是连接数学理论和实际应用的重要桥梁。它不仅仅是一门抽象的数学学科，更是描述和解决现实世界中各种动态问题的强大工具。通过学习微分方程，我感觉自己对“变化”有了更深层次的理解，也为我未来在科学工程领域的研究和探索奠定了基础。
评分我对《微积分 第四版》在多元函数微分部分的阐述印象尤为深刻，特别是关于方向导数和梯度的那几章。在我看来，这部分内容可以说是将微积分的应用领域从二维推向了三维，甚至更高维度，极大地拓展了我对函数变化的理解。之前学习单变量函数时，我们关注的是函数值沿着一个方向的变化率，也就是导数。而多元函数，其变化就变得复杂得多。这本书非常巧妙地引入了“方向”这个概念，让我们思考函数在一个特定方向上的变化速度。这个“方向”可以是从东偏北30度，也可以是任何一个角度，书中的插图和几何解释让我很容易就理解了方向导数的几何意义——它描述了函数曲面在某个方向上的“斜坡”。更令我兴奋的是，它紧接着引出了梯度。梯度这个概念，简直是多元函数微分的“集大成者”。它不仅仅是一个向量，更是一个蕴含了函数在该点变化最快方向和最大变化率信息的向量。书中的例子，比如地形的起伏或者温度分布，都让我对梯度的直观意义有了深刻的体会。想象一下，如果你站在一座山上，梯度就告诉你往哪个方向走才能最快地上升，而梯度的模（长度）则告诉你上升的速度有多快。这种将抽象数学概念与实际场景相结合的讲解方式，极大地激发了我的学习兴趣。我还特别喜欢书中对链式法则在多元函数中的应用讲解，虽然一开始觉得有点绕，但通过一些具体的例子，比如物理学中速度随时间变化，以及位置随时间和空间变化的情况，我逐渐理解了这种多变量嵌套关系下的变化率计算。梯度下降法在机器学习中的应用，我也在其他地方有所耳闻，这本书在讲解梯度时，虽然没有直接深入到算法层面，但为我理解这些高级应用打下了坚实的基础。它教会我，不仅仅是求解，更重要的是理解这些数学工具背后的物理意义和几何直观。
评分《微积分 第四版》在讨论多重积分的应用时，彻底颠覆了我对“面积”和“体积”的认知。之前，我更多的是处理二维平面上的面积，或者是简单三维物体的体积。但当涉及到不规则的曲面、或者在三维空间中积分时，我就感到力不从心。《微积分 第四版》通过引入二重积分和三重积分，为我打开了新的视角。它让我明白，我们可以通过对区域进行“分割”和“求和”，来计算更复杂的面积和体积。书中对二重积分的讲解，从直角坐标下的计算，到极坐标下的计算，都给出了清晰的推导和例子。我尤其喜欢书中用二重积分计算不规则曲面面积的部分，它将曲面看作是由无数个微小的“网格”组成，然后将这些网格的面积加起来，这种思想让我感到非常巧妙。然后，对于三重积分，它则让我能够计算更复杂的立体图形的体积、质量分布，甚至质心等。我印象最深刻的是，书中通过一些实际例子，比如计算一个不规则形状的物体的质量，或者计算一个液体的密度分布，来展示三重积分的强大应用。它让我明白，多重积分不仅仅是数学上的计算技巧，更是描述和分析现实世界中复杂分布规律的有力工具。书中还详细介绍了变量代换在多重积分中的应用，比如雅可比行列式，这让我能够将积分区域进行变形，从而简化计算。通过学习多重积分，我感觉自己的空间感知能力和分析能力得到了极大的提升，也为我未来在物理、工程、数据科学等领域的研究和探索奠定了坚实的基础。
评分《微积分 第四版》在引入不定积分的求解技巧时，让我觉得仿佛打开了一个全新的工具箱。之前，对于定积分的理解，我更多的是从几何意义出发，但如何有效地计算出那个“值”，尤其是对于复杂的被积函数，一直是个挑战。这本书非常系统地介绍了各种不定积分的求解技巧，并且给出了大量的例题来巩固。我印象最深刻的是“换元积分法”和“分部积分法”。换元积分法，我理解为一种“以简代繁”的策略，通过引入一个新的变量，将复杂的被积函数转化为一个更容易处理的形式。书中的例子，比如对复合函数求积分，都很好地展示了换元法的威力。而分部积分法，我则将其视为一种“拆解”和“重组”的技巧，通过将一个复杂的乘积形式的被积函数拆分成两个部分，然后利用积分公式，将其转化为另一个更容易计算的积分。这个方法，我感觉需要一些经验来判断如何选择“u”和“dv”，但一旦掌握了，就能解决很多之前看似无从下手的问题。书中还介绍了一些其他的方法，比如三角换元、有理函数的积分等，都各有其妙用。我最欣赏的是，书中不仅仅是罗列公式，而是详细解释了每种方法的推导过程和适用条件，并且提供了大量的练习题，让我能够反复实践，熟练掌握这些技巧。通过学习不定积分的求解技巧，我感觉自己对积分计算的信心大增，也为我将来解决更复杂的积分问题打下了坚实的基础。
评分这本《微积分 第四版》真是让我大开眼界，尤其是在学习定积分部分的时候。我之前对“面积”的概念理解得比较模糊，总觉得它只是一个抽象的数学符号。但这本书通过层层递进的例子，从矩形近似到黎曼和，再到最终的定积分定义，把我从一个一知半解的状态，一步步引导到了一个清晰透彻的理解。它并没有直接抛出公式，而是先用非常直观的方式解释了为什么需要定积分，以及它是如何“测量”曲线下方面积的。我记得书中有一个例子，是计算一个不规则形状花坛的面积，作者没有一开始就给出复杂的积分表达式，而是先让我用很多小矩形去逼近，然后计算这些小矩形的面积之和。这个过程让我深刻体会到了“逼近”和“极限”这两个微积分核心思想的力量。当我看到随着矩形数量的增加，面积的计算结果越来越接近真实值时，那种豁然开朗的感觉真的太棒了。而且，这本书在讲解过程中，还会穿插一些历史背景，比如牛顿和莱布尼茨的贡献，这让我觉得学习数学不仅仅是记忆公式和定理，更是一种人类智慧的传承。我最欣赏的是，它在引入新概念时，总是会先从一个具体的问题出发，然后引出解决问题的工具，而不是先定义概念再套用。这种“问题驱动”的学习方式，对于我这种不太擅长死记硬背的人来说，简直是福音。当然，定积分的部分内容也非常丰富，从基本性质到换元积分法、分部积分法，讲解得细致入微。书中还包含了大量的习题，有基础的巩固题，也有一些挑战性的思考题，让我能够充分练习，真正掌握所学知识。我特别喜欢那些需要稍微动脑才能解出来的题目，解决它们的时候非常有成就感。总而言之，这本书在定积分这一块的设计，让我觉得非常人性化，也充分考虑到了读者的学习曲线，让我在不知不觉中就掌握了这个重要的数学工具。
评分《微积分 第四版》在介绍导数的应用时，尤其是优化问题，给了我非常大的启发。之前，我学习导数，主要是为了计算变化率，但这本书让我看到了导数在解决实际问题中的强大能力，尤其是在寻找“最优解”的时候。书中从最基本的“最大值和最小值”问题开始，通过求导数等于零的点，来寻找函数的极值。这个过程本身就很巧妙。然后，它逐步深入到更复杂的应用，比如用导数来判断函数的单调性、凹凸性，进而绘制函数的图像。这对我理解函数的行为模式非常有帮助。我最喜欢的是，书中通过大量的实例，展示了如何利用导数来解决工程、经济、物理等领域的优化问题。比如，如何设计一个成本最低的包装盒，如何规划一条路线以最小化行驶时间，或者如何找到一个能最大化收益的生产方案。这些例子都非常贴近实际生活，让我真切地感受到数学的实用价值。书中还详细讲解了拉格朗日乘数法，用于处理带有约束条件的优化问题。这个方法，虽然一开始觉得有些复杂，但通过书中清晰的推导和例子，我逐渐掌握了它的精髓。它让我明白，即使在有限的条件下，我们也能找到最优的解决方案。这本书不仅仅是教我如何计算，更重要的是教我如何“思考”，如何将现实中的优化问题转化为数学模型，并用导数等工具来求解。通过学习导数的应用，我感觉自己解决问题的能力得到了极大的提升，也对数学在解决实际问题中的重要性有了更深刻的认识。
评分这本书在介绍向量微积分的部分，让我深刻体会到了微积分的普适性和强大之处，能够将我们从平面世界扩展到三维空间，并且处理更复杂的物理现象。我之前一直觉得，微分和积分都是处理标量函数的，但当涉及到场（比如电场、磁场、速度场等）时，我就开始感到力不从心。《微积分 第四版》恰好解决了我的这个困惑。它首先引入了向量场和标量场的概念，并通过生动的例子，比如水流的流动方向和速度，来帮助我理解向量场。然后，它巧妙地引入了散度（divergence）和旋度（curl）这两个概念。散度让我理解了一个向量场在某一点的“源”或“汇”的程度，就像水流从一个点散开或者汇聚一样，非常直观。而旋度则让我看到了向量场在某一点的“旋转”倾向，就像水流的漩涡。书中的插图，特别是关于散度和旋度的几何解释，对我来说是至关重要的，它们帮助我建立起清晰的图像，将抽象的数学定义与现实世界联系起来。我最喜欢的是，书中将这些概念与高斯散度定理和斯托克斯定理联系起来。这些定理，我之前只在一些物理学教材中看到过公式，但一直不明白它们到底代表什么。通过这本书，我才真正理解了它们的核心思想：宏观的通量（散度定理）或环量（斯托克斯定理）与微观的场的性质（散度和旋度）之间的关系。这本书用清晰的逻辑和丰富的例子，将这些看似复杂的定理变得易于理解。它让我意识到，这些定理不仅仅是数学公式，更是描述物理世界基本规律的强大工具。通过学习向量微积分，我感觉自己的数学视野得到了极大的拓展，为我未来学习流体力学、电磁学等相关领域打下了坚实的基础。
评分《微积分 第四版》对于级数部分的介绍，可以说是我学习过程中一次非常愉快的体验。在此之前，“无穷”对我来说总是一个有些虚幻的概念，而级数则将这种无穷的概念与具体的数值运算联系了起来。我尤其喜欢书中对于几何级数和幂级数的讲解。几何级数虽然简单，但它揭示了无穷项求和的可能，并且它的收敛性判别方法也相对直观，书中的插图很好地展示了求和过程的几何意义，比如不断缩小的线段。而幂级数，则是我觉得最神奇的部分。将一个函数表示成无穷项多项式的形式，这本身就充满了数学的美感。这本书在引入幂级数时，没有直接抛出泰勒公式，而是从一个简单函数的级数展开开始，让我逐步理解了如何构建一个幂级数。然后，它循序渐进地讲解了泰勒级数和麦克劳林级数，并且通过各种例子，比如对数函数、指数函数、三角函数等，展示了如何计算它们的级数展开。我印象最深刻的是，书中强调了级数展开的“近似”作用，这让我明白了为什么在很多工程和科学计算中，我们只需要取有限项的级数就能得到非常精确的结果。它不仅仅是理论上的推导，更是一种强大的计算工具。书中还详细介绍了级数的收敛性判别方法，比如比值判别法、根值判别法、积分判别法等，并且对每种方法都给出了清晰的解释和例题，让我能够熟练地运用它们来判断级数的收敛性。我还特别喜欢书中对阿贝尔定理的介绍，它让我看到了级数与函数之间更深层次的联系。通过学习级数，我不仅掌握了计算无穷和的方法，更重要的是，我开始理解了如何用一种全新的视角来看待函数，将复杂的函数分解为简单的多项式之和，这为我后续学习更高级的数学和物理问题打开了新的大门。
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