进阶数学(二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

图书标签:

• 数学
• 高等数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 数理统计
• 复变函数
• 数值分析
• 数学分析
• 优化方法

　　本书参照教育部最新公布之专技学校课程标准纲要所订定之「数学」课程内容编写而成，适合技专院校之学生进一步修习进阶的数学课程之用。全书依序分为五章，分别为座标、线性规划、三角函数、向量、矩阵与行列式。适合各科系学生所必须习的数学课程内容。

深入浅出：高等数学核心概念与应用 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的高等数学学习体验。它不侧重于某一特定教材的章节顺序或习题集，而是着眼于数学思想的形成、核心概念的内化以及理论与实际问题的紧密结合。 --- 第一部分：极限与连续——数学分析的基石 本部分致力于构建读者对“无穷小”和“无穷大”的直观理解，并将其严谨化为极限的分析框架。我们从直观的数列收敛概念出发，逐步过渡到 $epsilon-delta$ 语言的精确定义，这是理解微积分严谨性的关键一步。 1. 极限的精确化： 详细剖析了序列极限的定义及其性质，包括极限的唯一性、保不等式性以及夹逼定理。我们将运用几何直观辅助理解 $epsilon$ 邻域的含义，使抽象的定义变得可操作。 2. 函数极限与连续性： 讨论函数在某一点的极限以及单侧极限的概念。重点分析了函数连续性的四种定义（左、右、内、全连续），并深入探讨了闭区间上连续函数所具备的关键性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大值/最小值定理（Extreme Value Theorem）。这些定理是后续建立导数和积分理论的理论支撑。 3. 无穷小的比较与阶： 引入高阶无穷小、同阶无穷小以及等价无穷小的概念。这不仅仅是简化计算的工具，更是分析函数局部行为、理解函数逼近方式的有力视角。通过实例展示如何利用等价无穷小替换来快速求解复杂极限。 --- 第二部分：导数与微分——变化率的精确量化 本部分聚焦于变化率的数学描述——导数，并将其推广至微分的概念，用以捕捉函数在极小区间内的线性近似能力。 1. 导数的定义与几何意义： 从割线斜率的极限定义出发，阐述导数作为瞬时变化率的本质。详细讲解了常见函数（多项式、三角函数、指数与对数函数）的求导法则，包括链式法则（Chain Rule）的系统应用。 2. 微分的概念与应用： 区分导数与微分。微分 $dy$ 被定义为对实际改变量 $dx$ 的线性近似误差，强调了微分在误差分析和近似计算中的作用。我们探讨了高阶导数的概念及其在描述曲线凹凸性（二阶导数）上的关键作用。 3. 导数的应用拓展： 中值定理的深度解读： 详细分析罗尔定理（Rolle’s Theorem）、拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）的几何意义和代数推论。重点剖析柯西中值定理在推导洛必达法则中的核心作用。 函数图像分析： 系统地利用一阶和二阶导数来确定函数的单调区间、极值点、拐点、凹凸性，并绘制精确的函数图像。 最优化问题： 通过构造目标函数和约束条件，解决实际工程和经济学中的最大/最小化问题，展示导数在解决实际瓶颈时的强大能力。 --- 第三部分：积分学——累积效应的计算与度量 本部分将视角从瞬时变化转向累积效应的量化，建立定积分和不定积分的概念体系。 1. 定积分的黎曼和： 从几何上定义定积分——曲线下面积。详细阐述黎曼和的构造过程，理解积分是求和过程的极限。探讨积分的线性性质、区间可加性以及积分估算定理。 2. 微积分基本定理： 这是连接微分与积分的桥梁——微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）。我们将从第一基本定理（定积分的求导）和第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）两个方面深入探讨，理解其对求解定积分的革命性意义。 3. 不定积分的计算技巧： 系统归纳和梳理各种积分方法，包括： 换元法（Substitution Rule）： 分为第一类和第二类换元法，强调变量替换的彻底性。 分部积分法（Integration by Parts）： 详细介绍其公式推导及在处理乘积形式函数时的策略选择（如 $u$ 和 $dv$ 的选取）。 有理函数积分： 重点介绍多项式长除法和待定系数法分解有理分式，实现部分分式分解积分。 4. 定积分的应用： 将定积分的计算能力扩展到几何和物理领域，包括但不限于： 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、薄壳法）。 物理应用： 计算功、质心、转动惯量等物理量。 --- 第四部分：多元函数的微积分——空间维度的拓展 本部分将一元函数的微积分概念推广到二维及多维空间，处理涉及多个变量的函数，这是理解复杂系统变化的基础。 1. 偏导数与方向导数： 引入偏导数的概念，理解函数在沿坐标轴方向上的变化率。进而推广到方向导数，它描述了函数在任意给定方向上的变化率。 2. 梯度与多重偏导数： 详细解析梯度向量的物理和几何意义——它指向函数增长最快的方向，且其大小是该方向上的最大方向导数。深入探讨二阶偏导数，特别是混合偏导数（Clairaut's Theorem）的等价性条件。 3. 多元函数的极值： 建立多元函数局部极值的必要条件（一阶导数为零的点）和充分条件（Hessian矩阵/二阶偏导数判别法）。 4. 链式法则的扩展： 掌握在涉及复合函数时的多元链式法则，这是进行隐函数求导和隐函数微分的关键工具。 --- 第五部分：积分的升级——二重与三重积分 本部分的核心是将定积分的概念从一维区间推广到二维区域和三维区域，实现对“量”在空间上的累积计算。 1. 二重积分的建立： 从体积的计算引申出二重积分的黎曼和定义。重点讲解了在不同坐标系下的积分计算：直角坐标系下的 Fubini 定理（判定积分次序）和极坐标系下的变量替换技巧。 2. 三重积分的基础： 推广到三维空间，用于计算质量、质心等体积相关的量。 3. 坐标变换的威力： 深入探讨雅可比行列式（Jacobian Determinant）在多重积分变量替换中的核心作用。通过极坐标、柱坐标和球坐标变换的实例，展示如何简化复杂区域上的积分计算。 --- 本书的特色在于强调数学理论的内在逻辑和方法论的普适性。它不拘泥于特定的教材结构，而是通过概念的严谨定义、经典定理的深刻剖析以及广泛的实例演示，帮助读者建立起一个坚实、灵活且富有洞察力的高等数学知识体系。

第一章 几 何
　1-1 数 线
　1-2 平面座标
　1-3 空间座标

第二章 线性规划
　2-1 二元一次不等式
　2-2 线性规划
　2-3 线性规划的应用问题

第三章 三角函数
　3-1 有向角及其度量
　3-2 三角函数定义与基本关系
　3-3 广义角的三角函数与其图形
　3-4 正弦定理与余弦定理
　3-5 三角测量

第四章 向 量
　4-1 向量的意义
　4-2 向量的加减法与系数积
　4-3 向量的座标表示法
　4-4 向量的内积

第五章 矩阵与行列式
　5-1 一次方程组的解法与矩阵的列运算
　5-2 二阶行列式
　5-3 三阶行列式
　5-4 行列式的应用

附 录
三角函数表
解 答

评分☆☆☆☆☆

我曾长期以来在数学学习的某个瓶颈期徘徊，感觉许多看似基础的理论，在深究时总是能遇到新的疑问。《进阶数学(二版)》的出现，为我打破了这一僵局。这本书最让我欣喜的一点是，它对数学历史的梳理和整合。例如，在讲解数论的某些重要定理时，书中会追溯其诞生的时代背景，介绍相关的数学家们是如何一步步攻克难题的，以及这些定理如何影响了后来的数学发展。这不仅让知识点更具人文色彩，也帮助我理解了数学思想的演变过程。在概率统计的部分，书中对大数定律和中心极限定理的讲解尤为精彩。它通过生动的例子，如抛硬币的次数越多，正面朝上的比例越趋近于1/2，来阐述大数定律的直观含义，并进一步深入到它们的数学证明。这种从直观到严谨的过渡，让我对统计推断的理论基础有了更坚实的把握。我尤其欣赏书中关于假设检验的讲解，它清晰地阐述了零假设、备择假设、p值等关键概念，并提供了不同类型假设检验的应用场景，这对于我日后在实际工作中分析数据非常有帮助。此外，书中还涉及了一些离散数学的知识，如图论和组合数学，这些内容对于理解计算机科学和运筹学等领域至关重要。读完相关章节，我感觉自己解决一些需要逻辑推理和组合分析的问题时，思路更加清晰了。这本书的内容深度和广度都相当可观，它不是一本可以快速“扫过”的书，而是需要静下心来，一点点地去体会和消化。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学理论的内在逻辑和美感有着强烈追求的学习者，《进阶数学(二版)》为我提供了一个绝佳的平台。这本书的独特之处在于，它并非孤立地呈现各个数学分支，而是努力地构建起它们之间的联系。我特别被书中关于“群论”的介绍所吸引。作者从对称性的概念出发，巧妙地引入了群的定义和性质，并展示了群论在代数、几何甚至物理学中的广泛应用。例如，通过讲解晶体结构的对称性与群论的关系，让我看到了抽象的代数概念与现实世界的紧密联系。在解析几何的部分，书中对代数曲线和曲面的研究，也让我对几何对象的代数表示有了全新的认识。它如何用方程来描述复杂的几何形状，以及这些方程的性质如何反映几何图形的特征，都进行了深入的探讨。我发现，很多在初等几何中难以处理的问题，通过代数的手段变得迎刃而解。书中关于“数理逻辑”的章节，也让我对数学推理的严谨性有了更深刻的体会。它介绍了命题逻辑、谓词逻辑的基本概念，以及证明的规则和方法。这部分内容对于培养严谨的数学思维习惯至关重要。我花费了相当多的时间去理解数学归纳法的证明技巧，书中通过多个实例展示了其应用，让我能够更自信地处理需要数学归纳法来证明的问题。这本书的编排也十分合理，章节之间过渡自然，知识点的引入循序渐进，使得读者能够逐步建立起对整个数学体系的宏观认识。

评分☆☆☆☆☆

《进阶数学(二版)》这本书，给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的重塑。它以一种非常深刻和系统的方式，带领我进入了数学的更深层世界。我对书中关于“代数拓扑”的介绍印象最为深刻。作者从点集拓扑的基本概念出发，逐步引入同伦、同调等概念，揭示了高维空间中重要的拓扑不变量。这部分内容虽然抽象，但书中丰富的图示和直观的类比，帮助我逐渐理解了这些概念的精髓。我记得书中关于“球面的欧拉示性数”的计算，这让我对拓扑学在描述几何对象上的强大能力有了直观的感受。此外，书中对“黎曼几何”的讲解也让我大开眼界。作者以一种非常清晰的逻辑，从仿射联络开始，逐步引入曲率张量，并展示了曲率如何决定空间的几何性质。这部分内容对于理解广义相对论等物理理论至关重要。书中对“张量分析”的介绍，也为我理解多线性代数和微分几何提供了坚实的基础。我花了很多时间去掌握张量的运算规则，并尝试将其应用于求解曲面上的几何问题。这本书的语言风格非常学术化，但又不失条理清晰，使得读者在阅读时能够保持高度的专注。它不是一本可以轻松翻阅的书籍，而是需要读者付出时间和精力去深入研读。总而言之，《进阶数学(二版)》是一本能够显著提升读者数学能力和思维深度的宝贵读物，尤其适合那些对数学有着浓厚兴趣并渴望深入探索的读者。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次翻开《进阶数学(二版)》，我就被它那种深入骨髓的严谨和系统性所吸引。这本书就像一个精密的数学工具箱，里面装满了各种强大的理论和方法，等待着我去探索和运用。我特别喜欢书中关于“数理逻辑”的讲解，它不仅仅是介绍了命题演算和谓词演算，更重要的是，它深入剖析了数学证明的本质，包括公理系统、推理规则以及证明的可信度。这让我对数学的严谨性有了前所未有的认识。在“线性代数”的部分，书中对向量空间、线性变换、特征值与特征向量等概念的阐释，都比我以往接触的教材更加深刻和全面。它不仅给出了定义和定理，更重要的是，它揭示了这些概念背后所蕴含的几何直观意义，以及它们在解决实际问题中的强大能力。我记得书中关于“ Jordan 标准型”的讲解，它通过巧妙地处理线性变换，将复杂的问题化繁为简，这让我对矩阵的分析和理解有了质的飞跃。这本书的另一大亮点是它对“实变函数”的深入探讨。书中对 Lebesgue 积分的介绍，从测度开始，一步步引导读者理解其优越性，以及它在处理更广泛的函数和集合上的能力。这部分内容对于理解现代分析学至关重要。我投入了大量的时间去消化这些概念，并尝试运用书中的方法去解决一些复杂的积分问题。读完《进阶数学(二版)》后，我感觉自己在数学思维上得到了极大的提升，看问题的角度也更加深刻和全面。

评分☆☆☆☆☆

《进阶数学(二版)》这本书，给我的感觉就像是在攀登一座巍峨的山峰，每一步都充满了挑战，但也每一步都带来了新的视野。《进阶数学(二版)》不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的导师，它引导着我一步步深入数学的殿堂。我对书中关于微分几何的部分印象尤为深刻。作者以一种非常直观的方式，将抽象的曲面概念与我们熟悉的几何图形联系起来，通过引入联络、曲率等概念，揭示了空间本身的内在属性。我记得书中关于高斯曲率和平均曲率的讨论，配以精美的三维几何图示，让我对曲面在不同方向上的弯曲程度有了非常清晰的认识，也理解了它们在描述曲面性质上的重要性。这种将抽象概念可视化处理的能力，是这本书的一大亮点。此外，书中对拓扑学基本概念的介绍，如连通性、紧致性等，也让我对空间的“形状”和“结构”有了更深刻的理解，这些概念在理解更高深的数学理论中起着至关重要的作用。作者在讲解过程中，常常会引用一些经典的数学问题，并展示如何运用书中介绍的工具来解决它们，这极大地激发了我学习的兴趣和动力。我尤其喜欢其中一个关于不动点定理的应用，它在很多看似不相关的领域都有着广泛的应用，让我看到了数学知识的普适性和强大之处。这本书的语言风格相对比较正式，但又不失严谨，使得读者在阅读时能够保持高度的专注。对于那些渴望挑战自我、想要在数学领域取得突破性进展的读者来说，《进阶数学(二版)》绝对是一本值得深入研读的书籍。

评分☆☆☆☆☆

我一直都在寻找一本能够让我真正领略数学的无穷魅力的书籍，《进阶数学(二版)》做到了这一点。这本书并非简单地堆砌知识点，而是以一种非常有启发性的方式，将各个数学分支有机地联系起来。我特别被书中关于“伽罗瓦理论”的讲解所吸引。作者从多项式方程的可解性问题出发，巧妙地引入了域扩张和群论的概念，最终揭示了为何五次及以上的多项式方程无法用根式求解。这让我看到了抽象代数在解决具体数学问题上的强大威力。在“微分几何”的部分，书中对“流形”概念的介绍，让我对高维空间的理解上升到了一个新的层面。它不仅仅局限于欧几里得空间，而是将几何研究的对象推广到了更一般的空间。我记得书中关于“切空间”和“切向量场”的讲解，这为理解微分方程在流形上的行为奠定了基础。此外，书中对“复分析”的深入探讨，也让我对函数的解析性质有了更深刻的认识。从柯西积分定理到留数定理，书中都进行了非常清晰和严谨的推导，并展示了这些定理在求解复杂积分和级数求和中的应用。我花费了大量的时间去理解这些证明，并尝试运用它们来解决一些挑战性的问题。这本书的出版，无疑为数学爱好者和研究者提供了一份珍贵的资源。它不仅能帮助读者巩固已有的数学知识，更能激发他们对数学更深层次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的抽象美和逻辑严谨性着迷，尤其是那些能够深入挖掘概念本质、拓展解题思路的书籍。最近有幸翻阅了《进阶数学(二版)》，这本书给我的感觉就像是一次与数学思想的深度对话。它并非简单地罗列公式或定理，而是将这些知识点置于更广阔的背景下，探讨其发展脉络、与其他分支的联系，以及在不同领域中的应用。书中对一些核心概念的阐释，比如微积分的极限思想、线性代数的向量空间理论，都进行了非常细致入微的剖析，力求让读者不仅知其然，更知其所以然。作者在讲解时，常常会引入一些历史故事或者数学家的思想片段，这使得原本枯燥的数学知识变得鲜活有趣，也让人更能体会到数学的魅力所在。例如，在讨论傅里叶变换时，书中不仅仅给出了公式，还追溯了其在声学、图像处理等领域发展的早期探索，这让我对这个强大工具的应用有了更直观的理解。书中的习题设计也极具匠心，它们往往不是简单套用公式的计算题，而是需要读者综合运用多个概念、进行逻辑推理才能解决的挑战。完成这些题目，不仅能巩固知识，更能锻炼分析问题和解决问题的能力。我特别喜欢其中一个关于概率论的章节，它通过一些看似简单的生活现象，揭示了背后深刻的概率统计原理，让我重新审视了日常生活中遇到的很多不确定性事件，并学会了用更科学的眼光去分析。总的来说，《进阶数学(二版)》是一本能够激发读者思考、培养数学素养的优秀读物，对于想要在数学领域深入探索的读者来说，无疑是一份宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

拿到《进阶数学(二版)》这本书，我最先感受到的是它扎实的内容和严谨的逻辑。这本书在数学的进阶道路上，提供了一个清晰而有条理的指引。它覆盖的数学分支相当广泛，从高等代数到实变函数，再到复变函数和概率论，几乎囊括了数学专业本科阶段的核心课程。我尤其欣赏它在处理抽象概念时的耐心和细致。例如，在讲解勒贝格积分时，作者并没有止步于定义，而是花了很多篇幅去解释黎曼积分的局限性，以及勒贝格积分如何克服这些不足，它所带来的理论上的优越性。这种层层递进的讲解方式，让我在理解抽象理论时感到轻松不少。书中对于数学证明的呈现方式也值得称赞，它不是简单地给出证明过程，而是会分析证明的思路，解释每一步的逻辑依据，甚至会探讨其他可能的证明方法。这对于培养读者的证明能力至关重要。我花了不少时间去研究关于泛函分析的章节，它涉及到的 Banach 空间和 Hilbert 空间的概念，在初次接触时确实有些挑战性，但书中通过大量的例子和直观的解释，帮助我逐渐建立起对这些抽象结构的理解。书中的图表运用也非常恰当，很多复杂的几何概念和函数图像都被清晰地呈现出来，有效地辅助了文字的讲解。我发现，许多困扰我的数学难题，在阅读了相关的章节后，都豁然开朗。这本书的价值不仅仅在于知识的传授，更在于它能够引导读者建立起一套严谨的数学思维方式，这对于任何想要在科学研究领域有所建树的人来说，都是不可或缺的。

评分☆☆☆☆☆

《进阶数学(二版)》这本书，在我眼中是一座宏伟的数学知识殿堂，它以其深厚的底蕴和精巧的结构，吸引着我不断地去探索和发现。我尤其欣赏书中关于“集合论”的严谨论述。它从最基本的集合概念出发，逐步引入了康托尔的对角线论证，以及关于无穷集合的各种悖论和解决方法，让我对数学的基石有了更深刻的理解。这部分的知识对于理解所有后续的数学理论都至关重要。在“概率论”的部分，书中对条件概率、贝叶斯定理以及各种概率分布的介绍，都非常细致和全面。它不仅仅给出了公式，更重要的是，它通过大量生动的例子，揭示了这些概念在实际生活中的应用，比如在统计推断、机器学习等领域。我记得书中关于“马尔可夫链”的讲解，它以其简洁的性质和广泛的应用，让我对随机过程有了初步的认识。此外，书中对“函数论”（这里指复变函数）的深入讲解，也让我对函数的解析性质和奇点有了更深入的理解。从柯西-黎曼方程到瓦尔里斯特函数，书中都进行了非常严谨的推导，并展示了这些概念在解决积分问题和级数求和中的强大作用。我投入了大量的时间去消化这些内容，并尝试运用书中介绍的方法来解决一些具有挑战性的数学问题。这本书的出版，无疑为想要在数学领域深入发展的读者提供了一份不可多得的参考资料，它能够极大地拓展读者的视野，并提升其数学思维的深度和广度。

评分☆☆☆☆☆

长期以来，我一直在寻找一本能够真正拓展我数学视野的书籍，而不是仅仅停留在表面知识的堆砌。《进阶数学(二版)》恰恰满足了我的这一需求。这本书的写作风格非常注重逻辑的严密性和推理的清晰性。在讲解“测度论”时，作者并没有回避其抽象性，而是通过不断地类比和实例，帮助读者理解测度、可测集、可测函数等核心概念。我尤其欣赏书中关于“ Radon-Nikodym 定理”的讲解，它揭示了两个测度之间的关系，对于理解概率测度和 Lebesgue 测度之间的联系具有重要意义。这本书的另一大特色是它对“抽象代数”的深入探讨。作者从群、环、域的基本概念出发，逐步深入到 Galois 理论等更复杂的领域。我记得书中关于“域扩张”的讲解，以及如何利用群论来解决多项式方程的根式可解性问题，这让我对数学的内在统一性有了更深刻的体会。这本书并非一本易读之书，它需要读者具备一定的数学基础，并且投入足够的时间和精力去思考。然而，一旦你克服了初期的挑战，你将会发现其中蕴含的智慧和美妙。我花了很多时间去研究关于“泛函分析”中的 H-space 和 B-space，这些抽象的数学结构在量子力学、信号处理等领域有着极其重要的应用。书中对这些概念的讲解，不仅清晰，而且富有洞察力。总而言之，《进阶数学(二版)》是一本能够真正提升读者数学素养的经典之作，适合那些愿意深入探索数学奥秘的读者。