工程数学夺分宝典(上册)：微分方程单元 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　工程数学是每一个工科学生，在大学到研究所都必须研读及使用的科目，而且在研究所入学考试与公职考试中，工程数学都是必考的一门科学。笔者在补习班已教授逾20年工程数学，且由于本身的学经历为电机背景，故工程数学相关的线性代数与工程机率也都是由笔者负责教授。在迈入20年的教学生涯，将工程数学汇总起来，出版一系列“夺分宝典”书籍，是笔者目前主要的目标。

　　笔者教学强调两个要点：第一是观念解析。数学最重要的是观念理解，强调背诵及疯狂解题都不是正确的学习方法；如何应用是观念的出发，在不同的情形下使用适当的观念，才是数学最重要的，也是最美丽的地方。

　　第二是演练。很多同学都认为懂了就好，为什么要多练习题目？数学就像是一种技艺，老师傅的手，经过千锤百炼，做出来的产品才是艺术；学徒的手做出来的东西，只是相像，总是缺少了些灵魂。所以每年在高成工数教室春季班，我都会出作业给我的学生做，而且我亲自批改，就是希望透过老师傅的提点，让这些小师傅快些出师，独当一面。也因为如此，高成工数学员的成绩超凡优秀。

　　这本书是笔者上课用的讲义，它有两个特色：分类非常仔细，且题型非常完整，是非常适合当作观念理解与演练习题的工具书。但笔者建议读者手边应有一本原文教科书，搭配阅读；或是亲自来上课，由笔者仔细讲述观念给同学听，效果会更加乘。书中的范例旁都有◎：◎表示基础题，◎◎表示进阶题，◎◎◎为挑战题，读者可依学习的情形及目标选择范例来演练。

作者简介

编着：高成老师

　　◎台大电机系毕业
　　◎南加州大学(USC)电子物理研究所毕业
　　◎中华民国82年度电子工程人员高考三级特优榜首录取
　　◎中华民国82年度电子工程人员专业技术人员考试录取
　　◎辅考研究所、高普特考公职考试逾20年教学经验

　　教学特色

　　1.由基础观念着手，强调观念是大树、解题是树叶，从破题、思考到解题技巧一气呵成，将千百题融会贯通化简为一个观念。

　　2.由先修课程、精修课程到课后辅导，网路教学、批改作业、视讯解惑，考前冲刺题库单元，强烈要求同学考上台、交、清、成一流学府。

　　3.上课内容活泼、轻松易懂、循循善诱、活力十足的好老师，是同学口中一致称赞的工数界名师。

　　4.专任教于台北、中坜、新竹、台中、高雄伟文系列补习班。

《高等代数精析与应用》：构建坚实的数学基础 图书简介 在现代科学、工程技术、经济管理乃至数据科学等诸多领域，扎实的数学基础是不可或缺的基石。本书《高等代数精析与应用》旨在为广大理工科学生、研究生以及需要复习高等代数知识的专业人士，提供一套系统、深入且注重应用的教材。本书的编排严格遵循经典高等代数的知识体系，重点聚焦于线性代数的核心概念与技巧，力求在理论的严谨性与实际问题的解决能力之间找到完美的平衡。 本书的独特之处 本书并非传统意义上对知识点的简单罗列，而是着重于概念的深度理解、证明的逻辑推导，以及方法在实际问题中的灵活应用。我们深知，对于许多学习者而言，高等代数的抽象性常常是理解的难点，因此，本书在内容组织上采用了“理论建构—示例演示—习题巩固”的递进模式，确保读者能够循序渐进地掌握每一个知识点。 第一部分：矩阵代数与线性方程组的求解 本部分是高等代数的基础，我们从最基本的矩阵运算、行列式的性质与计算入手。 矩阵运算的几何意义： 不仅详细介绍了矩阵的加减乘除、转置、求逆等运算，更深入探讨了矩阵乘法背后的线性变换几何意义，例如旋转、缩放、投影等，帮助读者建立直观的图像理解。 行列式的精妙结构： 详细阐述了行列式的代数余子式、拉普拉斯展开定理，并着重讲解了如何利用行列式的性质快速简化计算，避免冗长的人工计算。特别强调了行列式在线性方程组解的存在性和唯一性判断中的核心作用。 线性方程组的统一求解框架： 核心内容围绕高斯消元法展开。我们不仅教授如何应用初等行变换求解方程组，更深入剖析了增广矩阵的秩（Rank）与解空间结构之间的内在联系。讲解了如何通过行阶梯形矩阵来系统性地判断方程组的相容性、解的维度以及通解的表示形式。 第二部分：向量空间与线性变换的抽象视角 此部分是全书的理论核心，旨在将读者的思维从具体的矩阵运算提升到抽象的向量空间理论层面。 向量空间的公理化定义与实例： 从最基础的二维、三维空间出发，扩展到多项式空间、函数空间，甚至矩阵空间。详细阐述了子空间、线性组合、线性无关性、基（Basis）和维数（Dimension）的概念。我们强调，理解“基”是描述空间结构的基本工具。 线性变换的本质： 将线性变换定义为保持向量空间结构的映射，并将其与矩阵表示紧密联系起来。重点阐述了核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）的定义及其重要性，特别是秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的推导与意义。 坐标变换与相似性： 深入探讨了改变基对矩阵表示的影响，引出相似矩阵的概念。理解相似矩阵的本质是同一个线性变换在不同基下的不同表示，这是后续特征值理论的基础。 第三部分：特征值、特征向量与对角化 特征值理论是分析线性系统动态行为的关键工具，本书对此给予了极大的篇幅和细致的讲解。 特征值与特征向量的求解： 详细演示了如何通过解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来获取特征值，并求解对应的特征向量。我们提供了大量的计算技巧，以应对复杂矩阵带来的计算挑战。 对角化理论的完善： 深入分析了矩阵可对角化的充要条件（即代数重数与几何重数相等）。对于不可对角化的矩阵，本书引入了Jordan标准型的初步概念，虽然不对Jordan块进行深入的数值分析，但清晰地阐述了其在理论上的重要性，为后续学习动力系统或矩阵函数提供了铺垫。 实对称矩阵的谱理论： 重点论述了实对称矩阵的特殊性质，包括其特征值必为实数，以及特征向量可以正交化。这自然地引出了施密特正交化（Gram-Schmidt Process） 的完整步骤，为后续的最小二乘法和数据分析打下坚实基础。 第四部分：二次型与欧几里得空间的应用 本部分将代数结构与几何度量完美结合。 二次型的标准形式： 详细介绍了二次型的定义，以及如何通过合同变换将其化为标准型。核心在于正交对角化，即将二次型转化为平方和的形式，这在物理学和优化问题中至关重要。 正定性分析： 讲解了如何利用特征值法和主子式法来判断二次型的正定性、半正定性，这直接关系到函数极值的判别（如多元函数求极值中的黑塞矩阵分析）。 内积空间与正交性： 引入了内积（或点积）的概念，将正交性推广到任意维度的向量空间。结合前面学到的施密特正交化，本章为理解傅里叶级数、最小二乘法等泛函分析的初步概念做好了准备。 针对性学习建议 本书的难度适中，既能满足理工科本科生的严格要求，也适合需要快速掌握线性代数核心技能的研究生。我们强烈建议读者在学习过程中： 1. 重视几何直觉： 始终将抽象的向量空间运算与二维、三维空间的几何操作联系起来。 2. 勤于推导： 关键定理的证明步骤应亲手演算至少一遍，理解每一步的逻辑支撑。 3. 重视应用案例： 书中穿插的实际应用（如数据降维的初步思想、图论中的邻接矩阵等）是检验理论掌握程度的最佳途径。 《高等代数精析与应用》致力于成为您理解和掌握这门核心数学学科的得力助手，助您在未来的学术和职业道路上，拥有更强大的分析和建模能力。

评分☆☆☆☆☆

**【评价五】** 这本书在“习题”部分的设置可以说是“精雕细琢”。它不仅仅提供了大量的题目，更重要的是，它为每一类题目都提供了“详细解析”，而且这些解析不是那种简单的套公式，而是包含了“解题思路”、“关键步骤”和“易错点分析”。我尤其欣赏的是，对于一些比较复杂的问题，它会提供不止一种解法，并对比不同解法的优劣，这让我能够拓宽解题思路，掌握更多解决问题的方法。还有一个让我印象深刻的地方是，它在每章的结尾都会有一个“章节小结”，用非常简洁的语言概括了本章的核心概念和主要方法，这就像是一张“知识网”，帮助我快速回顾和巩固所学内容。此外，书中还设置了一些“综合应用题”，这些题目将前面学过的各种微分方程的求解方法融会贯通，要求我们在解决实际问题时，能够灵活运用所学的知识，这一点对于培养我们的工程思维非常有帮助。我做完这些综合题后，感觉自己对微分方程的掌握程度又上了一个台阶，不再是零散的知识点，而是一个完整的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

**【评价一】** 最近啃了啃这本书，感觉作者在内容组织上真是下足了功夫。虽然是“微分方程单元”，但开篇的“基础回顾”部分，把那些容易被大家忽略的微积分基本概念又梳理了一遍，这简直是雪中送炭！我本来以为自己已经掌握得牢固了，复习了一遍才发现，原来很多细节的地方模棱两可，而书里恰恰把这些“模糊地带”都讲清楚了。比如，关于导数和积分的几何意义，它不仅仅是公式的堆砌，还结合了大量的图示，让我这个理工科“小白”也能直观理解。而且，它并没有把这些基础知识当成“理所当然”，而是层层递进，一点点铺垫到后面的微分方程。这一点我非常欣赏，因为很多时候，正是基础不牢，地动山摇。接着，它开始引入一阶微分方程，从最简单的变量可分离型讲起，然后是线性微分方程，最后是伯努利方程。我最喜欢的是它讲解每种方程类型时，都会先给出其标准形式，然后详细推导求解过程，每一步都解释得非常到位，让你明白“为什么”要这样做，而不是死记硬背公式。它还列举了非常多的例题，从易到难，梯度设置得很合理，让我能够循序渐进地掌握。而且，很多例题都选自实际工程问题，比如电路分析、力学模型等，这让我顿时觉得学的东西有了实际应用的价值，学习的动力也更足了。

评分☆☆☆☆☆

**【评价二】** 拿到这本《工程数学夺分宝典（上册）：微分方程单元》，我最直观的感受就是它的“夺分”意图。这不单是一本教材，更像是一位经验丰富的老师，在考前为你划重点、梳理思路。它对高阶微分方程的处理方式尤其值得称赞。对于二阶常系数线性微分方程，它不仅详细讲解了齐次方程和非齐次方程的解法，还特别突出了“特征方程”的构建和根的讨论，这一点在很多教材里可能就是一笔带过，但这本书却花了很大的篇幅来强调其重要性，并且通过大量的例子说明了不同根的情况（实根、重根、复根）对应着怎样的通解形式。更让我惊喜的是，它在讲解非齐次方程时，并没有止步于“待定系数法”和“常数变易法”，而是深入探讨了如何根据非齐次项的形式选择最合适的解法，甚至还提到了“欧拉-柯西方程”这类相对进阶的内容，这对于想在考试中拿到高分的同学来说，简直是“神器”。书中的例题设计得非常巧妙，很多题目都模拟了真实考试的题型，解题步骤清晰，逻辑严谨，读完之后，我感觉自己对解高阶微分方程的信心提升了不少。而且，它还时不时穿插一些“解题技巧”和“易错点提醒”，这些都是作者经验的结晶，对于我们这些正在备考的学生来说，简直是无价之宝。

评分☆☆☆☆☆

**【评价四】** 我是一名大二的学生，之前接触过一些微分方程的初步知识，但总是感觉不够系统，缺乏一种“贯通”的感觉。这本书最大的亮点在于它对于“解题方法”的系统性梳理。它并没有将各种微分方程的求解方法孤立开来，而是通过“类比”和“迁移”的方式，将它们巧妙地联系在一起。比如，在讲解常数变易法时，它会回顾前面学过的待定系数法，并指出两者在思想上的相似之处，这让我更容易理解新方法的原理。更关键的是，它在介绍一些特殊的微分方程（例如齐次方程、降阶方程）时，会强调“如何识别”以及“为何能用某种方法”。这种“知其然，更知其所以然”的教学方式，让我摆脱了死记硬背的窘境，真正理解了数学的逻辑美。书中穿插的“错题分析”和“常见误区警示”更是点睛之笔，这些都是作者从大量学生反馈中提炼出来的精华，能够帮助我避免很多不必要的失分。我曾经在解一个非齐次方程时，因为符号问题而出错，看了这本书的“误区警示”后，我才恍然大悟，原来我一直忽略了那个细节。

评分☆☆☆☆☆

**【评价三】** 这本书的排版和设计感我必须点个赞。虽然是理工科的数学书，但一点也不枯燥。很多概念的引入都配有精美的插图，比如在讲解一些微分方程的几何意义时，它会用图示来展示相场图，直观地表现出解曲线的走向，这对我理解抽象的数学概念非常有帮助。而且，它在讲解一些求解方法的时候，比如拉普拉斯变换，不仅仅是给出公式和步骤，还会配上一些小动画或者流程图的示意，让整个过程更加生动形象。这一点对于我这种视觉型学习者来说，简直是太友好了。它对拉普拉斯变换的讲解尤其细致，从基本的变换对开始，逐步深入到性质的应用，再到如何利用它来求解常微分方程组。我特别喜欢它在讲解“收敛域”的时候，用不同的颜色和图形来区分，清晰明了，彻底解决了我在这一点上的困惑。此外，书中还设置了一些“拓展阅读”和“知识链接”的部分，这些内容虽然不是考试的重点，但能帮助我们建立更宏观的数学知识体系，了解微分方程在不同学科领域的应用，这让我感觉学习更有深度和广度，而不仅仅是为了应付考试。