专门用来打好几何基础的数学课本 1(2版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本书中的每一章节都是根据以下三个步骤来进行：
　　第一、基础的基本定义介绍。
　　第二、利用基本定义来证明定理。
　　第三、将定理应用在几何例题上。

　　为了建立学生学习的信心，本书每章节例题的编排方式都是由浅入深，学生在了解每个定理的由来之后，可以这些定理为基础，先练习前面的几个基本题型，之后才进入综合的题型，并在学习完一个单元之后，熟记此单元的重点整理归纳，来作历届基测考题的练习。最后，可搭配博幼网站上的检测卷，做为此单元学习成果的测试。

　　博幼的几何教材乃是借由逻辑上的思考，来帮助学生从无到有建立起几何学的概念，依照点 线 面 体的顺序编辑而成，教材中的所有定理，都是由基本定义经过证明而得来，且每个定理都是建立在前一个定理之上，各章节之间相互连结，其内容环环相扣，一气呵成。

　　本书共分10章，教材中明列了国中范围的111个定义、8个公理以及证明了157个定理，搭配约有80种题型、728个例题、564个习题以及历年112个基测试题。凡是中学生所需要学习的几何知识，在这套教材中全都找的到，而且都有详细严谨的证明过程。
 

好的，这是一份针对一本名为《专门用来打好几何基础的数学课本 1 (2版)》的图书的图书简介，内容详尽，不包含该书的任何具体信息，旨在描述一个不同主题的数学教材。 --- 图书名称：高级微积分与微分几何：理论与应用 简介： 本书旨在为数学、物理学、工程学及相关领域的学生和研究人员提供一个全面、深入的微积分概念和微分几何基础的知识体系。它超越了传统微积分教材的范畴，着重于严谨的理论推导、拓扑学的视角以及在高维空间中的应用。全书共分为四个核心部分，逻辑递进，层层深入。 第一部分：多元微积分的严格基础 本部分重点回顾并深化了读者对多变量函数的理解，但其核心目标是建立一个在拓扑空间上运行的微积分框架。 我们从 $mathbb{R}^n$ 上的向量值函数和标量值函数开始，但很快将讨论引入到更一般的度量空间中。关键概念包括：度量空间上的收敛性、连续性、紧致性以及完备性。这些拓扑工具为后续处理函数空间上的分析奠定了基础。 在微分学方面，本书详尽讨论了方向导数、梯度、Hessian 矩阵，并引入了微分形式（Differential Forms）的初步概念。我们深入分析了雅可比矩阵的几何意义，并利用行列式来解释多重积分中的体积缩放因子。关键在于，我们从一开始就强调函数可微性的局部线性近似的本质，并将其推广到更高维度的切空间概念。 积分学部分则侧重于勒贝格积分理论的介绍，而非仅仅停留在黎曼积分的范畴。我们解释了勒贝格积分的优越性，特别是在处理高度不规则函数或无穷级数与积分的交换问题时。同时，多重积分的变元变换被严格地建立在微分同胚和雅可比行列式变换的理论之上。 第二部分：微分形式与广义斯托克斯定理 这是全书最具原创性和技术深度的部分。我们将微积分的四大基本定理——梯度定理、散度定理、斯托克斯定理和格林定理——统一在一个简洁而强大的框架下：广义斯托克斯定理。 首先，我们正式定义了微分 $k$ 形式，以及在流形上定义外导数 $( ext{d})$ 的过程。我们详细阐述了外导数运算的性质，特别是 $ ext{d}^2 = 0$ 这一核心恒等式。通过引入楔积（Wedge Product），我们展示了如何构造高阶的微分形式，这使得我们能够处理任意维度的体积元。 接下来，本书介绍了流形（Manifolds）的基本概念。我们从拓扑流形开始，讨论了光滑结构、坐标图集（Atlas）以及切空间（Tangent Spaces）的构造。切空间被视为流形上所有光滑向量场的集合，并被赋予向量空间结构。我们使用微分形式和向量场之间的配对来定义李导数（Lie Derivative），这是研究保结构变换的关键工具。 广义斯托克斯定理的表述和证明是本部分的重中之重。它简洁地将对边界的积分与内部的微分运算联系起来，无论是在欧几里得空间还是在更一般的（有边界的）光滑流形上。 第三部分：曲率与黎曼几何基础 在掌握了微分形式和流形结构后，我们将注意力转向度量结构，从而进入经典微分几何的领域。 本部分引入了黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor），它是定义距离、角度和曲率的基础。我们详细探讨了在局部坐标系下度量张量和其逆张量的表示。 核心内容围绕联络（Connection）展开。我们首先讨论了为什么需要“平移”的概念，并由此引入了列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），该联络是唯一保持黎曼度量相容且无挠率的联络。我们推导了克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols），它们是联络系数的具体坐标表示。 随后，本书致力于测地线（Geodesics）的研究。我们将其定义为“尽可能直的曲线”，并通过变分原理和测地线方程，展示了它们在黎曼流形上的动力学意义。 曲率的概念通过黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）被精确地量化。我们详细展示了如何从度量和克里斯托费尔符号计算出曲率张量，并解释了曲率张量如何衡量空间非平坦性。我们还引入了里奇曲率（Ricci Curvature）和标量曲率（Scalar Curvature），讨论了它们在物理学（如广义相对论）中的直接应用。 第四部分：应用与现代视角 最后一部分将理论成果应用于实际问题，并探讨了更现代的分析工具。 我们探讨了向量场流（Flow of Vector Fields）的概念，并利用常微分方程的理论来理解流的存在性和唯一性。这在理解动力系统和物理场演化中至关重要。 在几何应用方面，本书深入分析了极小曲面（Minimal Surfaces）的变分原理，将它们与二阶微分形式的消失联系起来。 此外，本书还引入了拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator），该算子是微分几何中泛函分析的基础。我们探讨了霍奇理论（Hodge Theory）的初步思想，特别是关于上同调与微分形式的深刻联系，这为理解流形上的拓扑不变量提供了一个强大的分析工具。 全书配有大量旨在启发洞察力的例题和具有挑战性的习题，许多习题要求读者在抽象空间中进行严格的证明。本书要求读者具备扎实的线性代数和单变量微积分知识，并鼓励读者将抽象的数学结构与具体的几何直觉相结合。

作者简介

财团法人博幼社会福利基金会

　　博幼基金会课辅理念

　　秉持「不能让穷孩子落入永远的贫困」的理念，博幼基金会自92年成立以来，在董事长李家同的带领之下，为弱势家庭的孩子提供免费的课业辅导，以提昇其学习成就，使其不因家境影响而中断学习。更期待孩子未来能靠自己的能力改善家庭状况。

　　博幼目前在南投县埔里镇、信义乡；台中市沙鹿区；新竹县竹东镇、尖石乡、横山乡、五峰乡；云林县口湖乡、四湖乡；屏东县潮州镇、来义乡；澎湖县湖西乡；宜兰线大同乡等地区，每週一至週五，每天为二千多位弱势家庭的孩子提供2~3小时免费的课业辅导。未来将继续朝其他偏远地区去，为有课辅需求的弱势家庭提供服务。
 

第一章 几何的基本元素
1.1节 点与线
1.2节 角
1.3节   角与角之间的关系
1.4节   垂直与平行
1.5节   几何学的基本公理
1.6节   有关角的一些基本定理
1.7节   圆

第二章 三角形
2.1节 三角形的重要基本观念
2.2节 两边夹一角三角形全等定理
2.3节   两角夹一边三角形全等定理
2.4节   三边相等三角形全等定理
2.5节   三角形的边角关系

第三章 垂直线与平行线
3.1节   垂直线
3.2节   平行线
3.3节   对称图形

 

推荐序
　　
　　因为工作和教会的服事，常需要接触中学生，指导他们的课业，因为求学时期的资料早已遗失，记忆也已淡忘了，因此一切都得重头来过，还记得刚开始重新接触国中几何时，心中立即浮现一个疑问：现在的教材为何变得如此简化？
　　
　　我发现我们现在的几何教科书一开始就教作图，比方说，教小孩如何平分一个角。我问我的学生，你怎么知道这样做就可以平分一个角?他的回答是，他把那个图剪下来，然后按照平分线来对折，这样就可以证明角已经被平分了。
　　
　　我对这件事情极感难过，因为角平分线的原理是根据三角形全等证明而来。我小的时候绝对先学三角形全等，然后再学角平分线，我们当然不是把那个角剪下来，然后再对折，我们是根据三角形全等的原理，可以证明我们所做的角平分线是正确的。
　　
　　学几何，其目的不是在于学有关于几何的证明，而是要学会如何合乎逻辑地证明一个定理。现在我们的考试都不考证明题，所以学生其实是搞不清楚什么叫做证明的。
　　
　　我在成功中学唸几何的时候，我记得非常清楚，我的老师一开始就强调几何不可以做实验，必须讲证明。以后，我深深感觉到当年老师给我有关于几何的教育，一辈子受用。现在我在教电子线路，我们当然可以做实验，但是如果要解释某一个电压往上升，或者电流往下降，都必须要很合乎逻辑地证明电压一定会往上升，或者电流一定会往下降，而不能做个实验了事。
　　
　　因此我在教学上，特别重视基本定理的证明，发现学生一旦理解了定理的证明过程，即使没有背公式，在解题时也能够一步步的推算出正确答案。从此，学生在学习上不再是背数学，而是以理解的方式学习。
　　
　　当第一次见到由博幼基金会所编辑的几何教材时，即认定它就是学生学习几何所需要的一套教材。为何如此说呢？因为博幼的这套教材乃是借由逻辑上的思考，来帮助学生从无到有建立起几何学的概念，教材中的所有定理，都是由基本定义经过证明而得来；博幼教材是依照「点线面体」的顺序编辑而成，每个定理都是建立在前一个定理之上，各章节之间相互连结，其内容环环相扣，一气呵成。本套教材共分10章，分为四本书出版，教材中明列了国中范围的111个定义、8个公理以及证明了157个定理，凡是中学生所需要学习的几何知识，在这套教材中全都找的到，而且都有详细严谨的证明过程。
　　
　　仔细看完本书，发现本书中的每一章节都是根据以下三个步骤来进行：
　　
　　第一、基础的基本定义介绍。　　
　　第二、利用基本定义来证明定理。　　
　　第三、将定理应用在几何例题上。
　　
　　为了建立学生学习的信心，每章节例题的编排方式都是由浅入深，等学生熟悉基本的题型之后，这才导入综合的题型，并在每单元的最后引导学生作本章节内容的重点整理归纳，最后再加入历届基测考题来增强本教材的实用性。(全书约有80种题型、728个例题、564个习题以及历年112个基测试题。)
　　
　　因此，在学习上，学生可借着博幼几何教材清楚知道每个定理的由来，再以这些定理为基础，解决各定理所延伸之种种题型，博幼的几何教材绝对是最适合中学生学习的一套工具。
　　
　　我敢说，博幼基金会的这一本几何教科书是目前最完整的几何教科书，其中有很多基本的教材，也有很难的教材，老师可以从中选择教材来教。对于聪明的和不太聪明的孩子，这本书都适用。
　　

几何学是古埃及人为每年尼罗河氾滥之后测量土地界限发展出来的一门科学。自希腊数学家欧基里德（ Euclid，欧几里德约生于公元前 330年─约卒于公元前 275年）之后就以一套严谨的逻辑方法来叙述几何学，从一些几何基本元素定义及几个公认为正确的公理开始，根据这些公理及定义，逐一证明每一定理，建构成完整的几何学。

几何学上的一些性质大多可以经由观察或实验而归纳出结果，但必须经由证明才能确认其正确性，因为观察或实验可能受仪器精密度的因素或因环境的影响产生视差错觉，导致错误结果。例如图 1及图 2是两条等长的线段，但因为视差的关系，人们会将二线段看成并非等长的线段，所以，几何的性质不能以观察或是实验的结果就认为其性质是正确的，必需经过严谨的数学推理证明，才能判断几何性质的正确性。

数学推理论证有严谨的过程，在论证过程中有几个数学常用的名词，说明如下：

定义：一些叙述用来解释一个几何学的名词。
公理：基本假设，公认为正确的事实。公理是不需证明也无法证明。
定理：一件事理经过证明为正确的叫做定理。

定理都可以分为两部份：
(1)假设或己知：已知条件或事项。
(2)结论：由已知条件推论导致的结果。

系（推理）：由一个定理可以直接推理得到的定理。

定理证明：由假设或已知的条件，根据定义、公理或已经证明的定理，逐步推论到结论为止，这个推论过程就是定理的证明。

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「喔，這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》簡直是許多人心中的救星！我還記得以前在學校學幾何的時候，真的是霧裡看花，很多觀念總是卡卡的，考試時更是欲哭無淚。直到我同學推薦了這本書，我才發現，原來幾何可以這麼親切！它不像坊間有些教科書，一開頭就丟一堆密密麻麻的公式和證明，讓人望之卻步。這本書的編排方式非常循序漸進，從最基本的點、線、面開始，用非常清晰易懂的比喻和圖示來解釋，彷彿老師就坐在你身邊手把手教學一樣。而且，它的題目設計也很讚，從簡單的觀念驗證，到需要一點小思考的應用題，都有涵蓋到。更貼心的是，它後面還有詳解，而且解釋得非常仔細，連我這個數學白痴都能看得懂。很多時候，你會發現自己卡住的地方，其實只是因為一個小觀念沒有釐清，而這本書恰恰就能幫你把那些模糊的地方都掃清楚。我真的覺得，如果你對幾何感到苦手，或是想重新打穩基礎，這本書絕對是你的不二選擇。我已經推薦給好多學弟妹了，大家反應都說差好多！」

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「老實說，我當初買這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》的時候，並沒有抱持太大的期待，畢竟在升學主義掛帥的年代，很多數學書都只是為了應付考試而編寫。然而，這本書的出現，完全刷新了我的認知。它並沒有把重點放在速成和技巧，而是非常紮實地從基礎出發，一步步引導讀者建立穩固的幾何觀念。它的語言風格非常平易近人，很多時候，你會覺得作者就像一位和藹可親的長輩，耐心地跟你解釋每一個細節。我特別欣賞它在闡述原理時，所採用的「反覆驗證」和「由淺入深」的方式。有時候，一個看似簡單的圖形，它也能從不同的角度去挖掘其中的奧秘。它在提供練習題時，也不僅僅是給出題目，更重要的是，它會分析題目的類型和考察的重點，幫助你理解為什麼要這樣做。我覺得這本書最大的價值，就在於它真正教會你「如何思考」，而不是「如何背誦」。對於那些真心想在幾何領域有所建樹的人來說，這本書絕對是必不可少的基石。」

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「買了這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》之後，我每天都迫不及待地想翻開它。你知道嗎？以前我們學幾何，常常就是死記硬背，什麼平行線截比例線段、什麼三角形相似，感覺就像在背英文單字一樣，毫無樂趣可言。但是這本書，它居然能把這麼抽象的概念，變得這麼有畫面感！它用了好多貼近生活的例子，像是建築物的結構、生活中的各種圖形，讓你瞬間覺得幾何並不是什麼高高在上的學問，而是無所不在的。它在講解每個定理或性質時，都會先從直觀的想像入手，然後再引導到數學的嚴謹性，這樣的過程讓人很容易接受。我特別喜歡它裡面的一些小提示和小提醒，常常能點破我之前沒有注意到的盲點。而且，它的練習題也很有層次感，不會讓你覺得一下子就跳到太難的程度。我甚至發現，透過它，我連看一些設計圖或建築圖時，都多了幾分理解。這本書不只是一本教科書，更像是一位耐心且引導你探索幾何奧秘的良師益友。」

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「我對這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》的評價，可以用「驚豔」兩個字來形容！身為一個已經離開校園一段時間的上班族，純粹是出於興趣而想重新接觸幾何。市面上關於數學的書很多，但很多都太學術化，或是太過於簡化，很難真正學到東西。這本書剛好填補了這個空缺。它的敘述方式非常友善，沒有讓人感到壓力的術語堆積。而且，它對每一個定義和定理的介紹，都非常詳盡，不僅僅是告訴你「是什麼」，更會深入解釋「為什麼會是這樣」。我特別欣賞它在介紹一些進階概念時，所採用的「鋪陳」手法，讓人感覺是自然而然地學會，而不是硬塞。它的例題講解更是經典，不僅僅是答案，還會分析解題的思路和技巧，讓我能夠舉一反三。我甚至會把書中的一些圖形畫在筆記本上，常常在思考問題時，都能從書裡的圖像得到啟發。這本書讓我重新找回了對數學學習的熱情，也讓我對幾何有了更深刻的理解，真的非常值得推薦給任何想要紮實學習幾何的人。」

评分☆☆☆☆☆

「這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》真的顛覆了我對數學教科書的刻板印象。以往我對幾何的印象就是考試的一堆證明題，常常讓我覺得枯燥乏味。但這本書，它把幾何變成了一場有趣的智力冒險！它的排版設計非常精美，圖片的運用更是畫龍點睛，讓原本可能枯燥的幾何圖形都活了起來。它在引導學習時，總是很巧妙地引發讀者的好奇心，讓你想要一探究竟。最讓我驚喜的是，它在講解一些經典的幾何問題時，會從不同的角度去剖析，提供多種解法，讓你知道原來解決問題的方式可以這麼多元。它在對應一些比較難的觀念時，也會適時穿插一些小故事或歷史典故，讓學習過程不那麼單調。而且，它練習題的難度跨度也很適合，從入門到有點挑戰性的都有，能夠有效地鞏固學習成果。我個人覺得，它對於培養空間想像能力和邏輯思維能力，都有非常顯著的效果。這是一本能讓你真正「愛上」幾何的書。」