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由於復變含有和我們日常生活無關的虛數，於是在本書盡量採用物理例題，和畫圖說明以降低空洞感，讓我們好像看得到摸得到問題內容。用分析性且懇切的對話方式解釋內容與演算過程，以達到能自學目的。

作者簡介

林清涼

　　1931年生於颱灣高雄縣，1954年畢業於颱灣大學物理係，1966年獲日本東京大學物理學博士。

　　曾在該校及美國麻省州立大學Amherst分校和史丹福大學擔任研究員及訪問學者，專研原子核結構、核反應及和介子交換流的功能。曾任颱灣大學物理係係主任，任內和同仁積極革新並且奠定自由、民主的學術和行政基礎，以及良好的研究環境，同時和瀋君山教授排除一切障礙執行目前所謂的「通識教育」課程。

　　目前為颱大物理係兼任教授。
 

序文
希臘字母讀音錶
1 復 變
(I) 復數的誕生與其重要性
(A) 復數的誕生簡史
(B) 復數在物理學的重要性
(II) 復數的基本運算
(A) 復數的代數運算
(1) 復數的定義與其特性，幺元和倒復數，以及復數共軛數和模數
(i) 定義
(ii) 特性
(iii) 復數幺元是什麼數
(iv) 倒復數(逆復數)是什麼數？
(v) 復數共軛數？
(vi) 復數的絕對值 或復數的模數？
(2) 復數的代數運算加、減、乘和除
(i) 演算法
(ii) 加法與乘法性質
(B) 復數的幾何學錶象與其演算
(1) 復數的幾何錶象
(i) 復數的極座標錶象與其專用名詞
(ii) 復數n 次方根與Riemann 麵
(iii) 導入無限遠點，復數球？
(2) 復變數的標量積與嚮量積？
習題和解
摘要
參考文獻和註解
2 初級復變函數，復變函數微分
(I) 復變函數，初級復變函數
(A) 復變數與復變函數
(B) 變換與其功能和幾何錶象
(1) 一次復變變換函數
(i) 平動變換？
(ii) 轉動變換？
(iii) 伸縮轉動變換？
(iv) 反演變換？
(2) 一般與特殊一次復變變換函數
(i) 一般一次復變變換函數
(ii) 特殊一次復變變換函數
(a) 映射z平麵的實軸到ω 平麵的實軸的變換函數f(z)
(b) 映射z平麵實軸到ω 平麵原點為圓心的單位圓變換函數f(z)
(c) 全單映射z平麵單位圓周到ω 平麵單位圓周的變換函數f(z)
(C) 初級復變函數
(1) 多項式函數
(2) 有理代數函數
(3) 指數函數
(i) 定義復變數指數函數
(ii) 復變數指數函數ez之性質
(4) 對數函數
(i) 實變數x的實對數函數ln x
(ii) 復變數z與復變對數函數ln z
(5) 冪函數
(i) 定義復變冪函數
(ii) 探討復變冪函數(2-68) 式的內涵
(a) β = 非零正整數m時
(b) β = 分數，n = 1, 2, 3, ⋯，時
(c) β = 分數m/n，m和n都是非零正整數時
(d) β = 負數(–b)，b = 正實數時
(e) β = 0 時
(6) 三角函數
(i) 定義復變三角函數
(ii) 復變三角函數的性質
(7) 雙麯綫函數
(i) 定義復變雙麯綫函數
(ii) 復變雙麯綫函數的性質
(8) 反三角函數
(i) 實變數與實反三角函數
(ii) 定義復變數反三角函數
(9) 反雙麯綫函數
(i) 實變數與實反雙麯綫函數
(ii) 定義復變反雙麯綫函數與其性質
(10) 代數函數與超越函數
(II) 復變函數微分
(A) 函數的連續性？
(1) 極限是什麼？
(i) 極限的定義
(ii) 復變函數的極限值性質
(2) 連續是什麼？
(i) 連續的定義
(ii) 均勻連續是什麼？
(iii) 非連續與可去非連續？
(iv) 復變函數的連續性質
(B) 導函數？
(1) 可微分？微分？導數和導函數與其幾何圖像？
(2) 微分？微分規則？
(i) 微分？
(ii) 微分規則？
(3) Cauchy-Riemann 關係式(又叫方程式) ？
(i) 取Δy = 0，Δx → 0 之路徑
(ii) 取Δx = 0，Δy → 0 之路徑
(iii) 極座標之Cauchy-Riemann 關係式？
(iv) 高階導函數？
(4) 解析函數？
(i) 復變解析函數或解析函數的定義
(ii) 解析函數的性質
(iii) 以解析(正則)函數的映射
(iv) 奇異點或奇點？
(a) 奇異點的定義：單值函數時
(b) 孤立奇異點？
(c) 聚奇異點？
(d) 可去奇異點(或可去奇點removable singular point) ？
(e) 極(或極點)？
(f) 本質奇異點(essential singular point)？
(5) L’Hospitals 規則？
(6) 復變數的微分算符？
(i) 為何需要復變數的微分算符？
(ii) 定義復變數的微分算符
(a) 定義復變數的梯(陡)度算符
(b) 定義復變數的散度算符
(c) 定義復變數的鏇度算符 ×
(d) Laplacian 算符 ？
習題和解
摘要
參考文獻和註解
3 復變函數積分、留數與實函數定積分
(I) 微分與積分關係
(A) 復習
(B) 復數微分與積分關係
(II) 復變函數積分
(A) 復數綫積分？復數定與不定積分？
(1) 說明綫積分
(2) 復數綫積分的定義
(3) 定義復數綫積分的封閉積分路方嚮
(4) 用實數積分錶示的復數積分？
(5) 什麼叫單連通和復連通區域？
(6) 復變函數積分之基本性質
(B) Cauchy 定理？
(1) Green 定理？
(2) Green 定理之復變數形式？
(3) Cauchy 定理？
(4) Cauchy 定理的歸結性質
(C) Cauchy 積分公式與相關定理
(1) Cauchy 積分公式
(2) Cauchy 積分公式之性質
(3) Cauchy 積分公式之相關定理
(i) Cauchy 不等式？
(ii) Gauss 平均值定理？
(iii) 最大模定理？
(iv) 最小模定理？
(iv) 輻角定理？
(III) 留數與實函數定積分
(A) 冪級數展開？
(1) 展開？
(2) Taylor 和Laurent 展開？
(i) Taylor 級數？ Taylor 展開？
(ii) Laurent 級數？ Laurent 展開？
(B) 什麼叫留數？
(1) 說明
(2) 留數之定義
(3) 高階(階數≥2)極點與無限遠點的單值解析函數f(z) 之留數？
(4) 留數定理
(i) 性質1
(ii) 性質2
(iii) 性質3
(iv) 性質4(復連通區域時)
(5) 積分之Cauchy 主值？
(C) 實變數定積分之計算
(1) 實數定積分型
(2) 實數定積分型
(3) 實數定積分型
(4) 含多值函數之實數定積分
習題和解
摘要
參考文獻和註解

 

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