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由于复变含有和我们日常生活无关的虚数，于是在本书尽量採用物理例题，和画图说明以降低空洞感，让我们好像看得到摸得到问题内容。用分析性且恳切的对话方式解释内容与演算过程，以达到能自学目的。

作者简介

林清凉

　　1931年生于台湾高雄县，1954年毕业于台湾大学物理系，1966年获日本东京大学物理学博士。

　　曾在该校及美国麻省州立大学Amherst分校和史丹福大学担任研究员及访问学者，专研原子核结构、核反应及和介子交换流的功能。曾任台湾大学物理系系主任，任内和同仁积极革新并且奠定自由、民主的学术和行政基础，以及良好的研究环境，同时和沈君山教授排除一切障碍执行目前所谓的「通识教育」课程。

　　目前为台大物理系兼任教授。
 

序文
希腊字母读音表
1 复 变
(I) 复数的诞生与其重要性
(A) 复数的诞生简史
(B) 复数在物理学的重要性
(II) 复数的基本运算
(A) 复数的代数运算
(1) 复数的定义与其特性，幺元和倒复数，以及复数共轭数和模数
(i) 定义
(ii) 特性
(iii) 复数幺元是什么数
(iv) 倒复数(逆复数)是什么数？
(v) 复数共轭数？
(vi) 复数的绝对值 或复数的模数？
(2) 复数的代数运算加、减、乘和除
(i) 演算法
(ii) 加法与乘法性质
(B) 复数的几何学表象与其演算
(1) 复数的几何表象
(i) 复数的极座标表象与其专用名词
(ii) 复数n 次方根与Riemann 面
(iii) 导入无限远点，复数球？
(2) 复变数的标量积与向量积？
习题和解
摘要
参考文献和註解
2 初级复变函数，复变函数微分
(I) 复变函数，初级复变函数
(A) 复变数与复变函数
(B) 变换与其功能和几何表象
(1) 一次复变变换函数
(i) 平动变换？
(ii) 转动变换？
(iii) 伸缩转动变换？
(iv) 反演变换？
(2) 一般与特殊一次复变变换函数
(i) 一般一次复变变换函数
(ii) 特殊一次复变变换函数
(a) 映射z平面的实轴到ω 平面的实轴的变换函数f(z)
(b) 映射z平面实轴到ω 平面原点为圆心的单位圆变换函数f(z)
(c) 全单映射z平面单位圆周到ω 平面单位圆周的变换函数f(z)
(C) 初级复变函数
(1) 多项式函数
(2) 有理代数函数
(3) 指数函数
(i) 定义复变数指数函数
(ii) 复变数指数函数ez之性质
(4) 对数函数
(i) 实变数x的实对数函数ln x
(ii) 复变数z与复变对数函数ln z
(5) 幂函数
(i) 定义复变幂函数
(ii) 探讨复变幂函数(2-68) 式的内涵
(a) β = 非零正整数m时
(b) β = 分数，n = 1, 2, 3, ⋯，时
(c) β = 分数m/n，m和n都是非零正整数时
(d) β = 负数(–b)，b = 正实数时
(e) β = 0 时
(6) 三角函数
(i) 定义复变三角函数
(ii) 复变三角函数的性质
(7) 双曲线函数
(i) 定义复变双曲线函数
(ii) 复变双曲线函数的性质
(8) 反三角函数
(i) 实变数与实反三角函数
(ii) 定义复变数反三角函数
(9) 反双曲线函数
(i) 实变数与实反双曲线函数
(ii) 定义复变反双曲线函数与其性质
(10) 代数函数与超越函数
(II) 复变函数微分
(A) 函数的连续性？
(1) 极限是什么？
(i) 极限的定义
(ii) 复变函数的极限值性质
(2) 连续是什么？
(i) 连续的定义
(ii) 均匀连续是什么？
(iii) 非连续与可去非连续？
(iv) 复变函数的连续性质
(B) 导函数？
(1) 可微分？微分？导数和导函数与其几何图像？
(2) 微分？微分规则？
(i) 微分？
(ii) 微分规则？
(3) Cauchy-Riemann 关系式(又叫方程式) ？
(i) 取Δy = 0，Δx → 0 之路径
(ii) 取Δx = 0，Δy → 0 之路径
(iii) 极座标之Cauchy-Riemann 关系式？
(iv) 高阶导函数？
(4) 解析函数？
(i) 复变解析函数或解析函数的定义
(ii) 解析函数的性质
(iii) 以解析(正则)函数的映射
(iv) 奇异点或奇点？
(a) 奇异点的定义：单值函数时
(b) 孤立奇异点？
(c) 聚奇异点？
(d) 可去奇异点(或可去奇点removable singular point) ？
(e) 极(或极点)？
(f) 本质奇异点(essential singular point)？
(5) L’Hospitals 规则？
(6) 复变数的微分算符？
(i) 为何需要复变数的微分算符？
(ii) 定义复变数的微分算符
(a) 定义复变数的梯(陡)度算符
(b) 定义复变数的散度算符
(c) 定义复变数的旋度算符 ×
(d) Laplacian 算符 ？
习题和解
摘要
参考文献和註解
3 复变函数积分、留数与实函数定积分
(I) 微分与积分关系
(A) 复习
(B) 复数微分与积分关系
(II) 复变函数积分
(A) 复数线积分？复数定与不定积分？
(1) 说明线积分
(2) 复数线积分的定义
(3) 定义复数线积分的封闭积分路方向
(4) 用实数积分表示的复数积分？
(5) 什么叫单连通和复连通区域？
(6) 复变函数积分之基本性质
(B) Cauchy 定理？
(1) Green 定理？
(2) Green 定理之复变数形式？
(3) Cauchy 定理？
(4) Cauchy 定理的归结性质
(C) Cauchy 积分公式与相关定理
(1) Cauchy 积分公式
(2) Cauchy 积分公式之性质
(3) Cauchy 积分公式之相关定理
(i) Cauchy 不等式？
(ii) Gauss 平均值定理？
(iii) 最大模定理？
(iv) 最小模定理？
(iv) 辐角定理？
(III) 留数与实函数定积分
(A) 幂级数展开？
(1) 展开？
(2) Taylor 和Laurent 展开？
(i) Taylor 级数？ Taylor 展开？
(ii) Laurent 级数？ Laurent 展开？
(B) 什么叫留数？
(1) 说明
(2) 留数之定义
(3) 高阶(阶数≥2)极点与无限远点的单值解析函数f(z) 之留数？
(4) 留数定理
(i) 性质1
(ii) 性质2
(iii) 性质3
(iv) 性质4(复连通区域时)
(5) 积分之Cauchy 主值？
(C) 实变数定积分之计算
(1) 实数定积分型
(2) 实数定积分型
(3) 实数定积分型
(4) 含多值函数之实数定积分
习题和解
摘要
参考文献和註解

 

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