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了解数学的过去和现在，可做为数学将来的预见。近代数学发展神速又很抽象，想了解其生长的形态和变化的方向，较有效的方法是研究数学的发展史。

　　几何学发展史，纵论几何的起源、发展、全盛和革新。不管是因为求知的天赋或是生活的需要，人类生俱有形状和多少的概念。形状和多少的概念孕育着数学。古希腊时期西元前600年至西元300年，地不大人不多，但是英雄纷起，豪杰遍地，数学优于其他一切。生产是奴隶的事情，所有的智识份子，一流高手，都来做数学。数学出尽了风头，真所谓天下英雄尽在此。几何经原始人类孕育的形状概念，经希腊的壮大，一直到20世纪的枝盛叶茂，真是光芒万丈，五彩缤纷。

　　另一方面多少的概念，孕育着代数，不像几何凝集一处，代数是随风飘散，散落于世界各个角落；如中国、印度、巴比伦、希腊和及等地。就像春天的紫罗兰到处开放。各处的人们虽然海天相隔，却似心有灵犀一点通，殊途同归。代数真是欣欣向荣。

　　到了17世纪，形状和多少的概念，经笛卡儿融会贯通，在平面上划了两条垂直线，创造了解析几何。从此代数和几何（即多少和形状）互通有无，相映成辉。解析几何引进函数概念。事实上，形状和多少概念是经过许多人，经过许多百年的努力，得到许多概念。然后出来一个人，将前人努力的成果，融会贯通，过泸出有价值的概念，依此创新，形成一伟大的局面，造成巨大的冲击，得一威力无穷的新天地：微积分。这个人就是牛顿。微积分为分析开路，接着微分方程、复变数函数论、微分几何、实变数函数论和富氏分析等一一降临人间。

　　本书选取具有代表性和启发性题材，以记事式编写，分几何学的故乡，代数学的故乡和分析学的故乡三部分。

 

编者简介

王怀权

　　主要学历
　　国立台湾师范大学数学学士（1964年）。
　　国立清华大学数学硕士（1966年）。
　　美国爱宿华大学数学博士（1971年）。

　　经历
　　国立清华大学教授（1974-2004年）。
　　国立清华大学数学系系主任（1975-1977年）。
　　中华民国数学会理事长（1991-1995年）。
　　玄奖大学讲座教授兼应用数学系系主任（2004-2008年）。

　　着作
　　Homogeneous Banach Algebras, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, No.29, Marcel Dekker, Inc. New York, U.S.A.（1977年）。
　　Nonlinear Analysis, National Tsing Hua University Press, Hsinchu, Taiwan, （2003年）。
　　数学的故乡，成信文化事业股份有限公司出版，台湾台北（2004年）。
　　Palais-Smale Approaches to Semilinear Elliptic Equations in Unbounded  Domains, Electron. J. Diff. Eqns., Monograph 06,（2004年）。

　　荣誉
　　与国立清华大学化学系赖昭正教授组队参加国立清华大学教职员桥牌赛，获得第一名，由桥牌国手沈君山院长颁予奖牌（1982年）。
　　获得1986年度中山学术着作奖，由李远哲院长于国立清华大学月涵堂颁发荣誉校友奖状。
　　国科会甲种奖（1971-2008年）。
　　国科会优等奖（1994年）。
　　国立清华大学杰出教学奖暨教育部教学特优教师（1994年）。
　　国立清华大学杰出教学奖（2003年）。
　　中华民国数学会学会奖（2003年）。
　　清华大学理学院40周年代表数学系演讲（2014年）。
 

1    几何的发源地1
1.1    几何的发源地  1
1.2    本章心得    5

2    古希腊的几何6
2.1     毕达格拉斯年代 6
2.2    黄金年代14
2.3     柏拉图年代17
2.4     亚历山大年代24
2.5    衰败年代33
2.6    本章心得44

3    解析几何49
3.1     费马50
3.2     笛卡尔52
3.3    解析几何的重要性57
3.4    本章心得58

4    射影几何61
4.1     笛沙格62
4.2     巴斯卡与拉海尔63
4.3    十九世纪的射影几何66
4.4    本章心得66

5    非欧几何69
5.1    非欧几何的演进70
5.2    非欧几何的诞生71
5.3     高斯73
5.4    本章心得77

6    微分几何79
6.1    古典的微分几何80
6.2     高斯与微分几何82
6.3     黎曼与微分几何84
6.4     嘉当、杨振宁、陈省身和丘成桐88
6.5    微分几何应用大师爱因斯坦91
6.6    本章心得95

7    几何基础100
7.1    欧氏几何的缺陷100
7.2    几何的统一101
7.3    欧氏几何的公理化102
7.4     德国希尔伯特104
7.5     法国庞加莱105
7.6    古今大问题108
7.7    本章心得112

8    命数法115
8.1     巴比伦命数法121
8.2     埃及命数法122
8.3     希腊命数法126
8.4     罗马命数法127
8.5     马雅命数法128
8.6     中国命数法129
8.7     印度-阿拉伯命数法131
8.8    本章心得132

9    计算法134
9.1    为什么要计算134
9.2    算盘135
9.3    手指算法与算筹138
9.4    乘法、除法与分数140
9.5    运算符号与消 9 验算法145
9.6     纳皮尔尺桿147
9.7     巴斯卡数轮机与莱佈尼兹数轮机147
9.8    差异计算机148
9.9    电子制表机与哈佛马克 I 150
9.10  图灵机、ENIAC 和 IAS 152
9.11  本章心得156

10 数论158
10.1  毕氏三元数158
10.2  图形数162
10.3  友谊数、完全数、亏数和盈数166
10.4  梅森数170
10.5  质数与合成数170
10.6  欧几里得辗转相除法174
10.7  斐波那契数列77
10.8  费马大定理与费马小定理178
10.9  欧几里得巨着「几何原本」之数论181
10.10同余式182
10.11魔方阵187
10.12代数数与超越数190
10.13解析数论193
10.14本章心得193

11 代数学195
11.1  代数200
11.2  二项式定理202
11.3  方程式论204
11.4  四元体211
11.5  行列式与矩阵213
11.6  布尔代数217
11.7  虚数 √−1 的故事220
11.8  从西元 500 年到西元 1600 年的欧洲代数222
11.9  本章心得224

12 抽象代数226
12.1  群论227
12.2  环与其理想230
12.3  体论235
12.4  本章心得243

13 微积分244
13.1  微积分的问题244
13.2  通世数学家牛顿与大数学家莱佈尼兹250
13.3  数学大师欧拉258
13.4  函数的概念260
13.5  积分技巧262
13.6  椭圆积分264
13.7  Γ− 函数265
13.8  本章心得267

14 无穷级数269
14.1  函数的级数展开269
14.2  无穷级数的筚路蓝缕，以启山林273
14.3  三角级数与傅立叶级数278
14.4  本章心得283

15 微分方程285
15.1  一阶微分方程285
15.2  奇异解293
15.3  二阶微分方程294
15.4  数学家拉格朗日和拉普拉斯301
15.5  本章心得305

16 偏微分方程306
16.1  重要定律与定理306
16.2  一阶偏微分方程310
16.3  波方程312
16.4  扩散方程320
16.5  位势论324
16.6  本章心得332

17 变分法333
17.1  函数空间与重要不等式333
17.2  欧拉−拉格朗日方程339
17.3  最速降线问题341
17.4  测地线问题343
17.5  等周长问题344
17.6  最小旋转面问题345
17.7  费马光曲线347
17.8  狄利克雷原则348
17.9  本章心得351

18 复变数函数论354
18.1  复数平面354
18.2  复数的几何表法355
18.3  柯西−黎曼方程357
18.4  ln z 为多值函数359
18.5  可微函数与解析函数361
18.6  留数366
18.7  本章心得367

19 逐渐严格的分析369
19.1  函数的极限与连续369
19.2  函数的导来数373
19.3  黎曼积分375
19.4  无穷级数的收敛和发散380
19.5  本章心得383

20 实变数函数论384
20.1  n 维欧式空间384
20.2  黎曼−斯蒂尔吉斯积分386
20.3  容度与波莱尔测度387
20.4  勒贝格的生平388
20.5  勒贝格积分389
20.6  李特尔伍德三原则395
20.7  黎曼积分与勒贝格积分395
20.8  黎曼−斯蒂尔吉斯积分与勒贝格积分399
20.9  本章心得401
 

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