數學（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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張文亮

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图书简介：《高等代数基础与应用》 作者： 张伟 李芳 出版社： 科学技术出版社 版次： 2023年版 开本： 16开 页数： 680页 --- 内容概述 《高等代数基础与应用》是一本专为数学专业本科生及相关理工科专业学生编写的教材。本书旨在系统、深入地介绍现代高等代数的核心概念、理论体系及其在不同领域的实际应用。全书结构严谨，逻辑清晰，既注重基础理论的夯实，又强调思维方法的训练和实际问题的解决能力。 本书内容涵盖了高等代数的经典部分——线性代数（向量空间、线性变换、矩阵理论、特征值问题），并在此基础上拓展至更抽象的代数结构，如群论、环论和域论的初步探讨，为后续的抽象代数学习打下坚实基础。 --- 第一部分：线性代数基础 第一章：数域与多项式（约 80 页） 本章首先回顾了数域的概念，重点介绍了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的性质，并引入了更一般的域的概念。核心内容是多项式环 $F[x]$ 及其性质，包括带余除法、最大公因式（GCD）的求解（欧几里得算法）。着重阐述了多项式的根与因子分解理论，如根的重数、有理根定理以及域上的多项式分解的唯一性。本章为后续在线性空间中处理特征值问题提供了必要的代数工具。 第二章：线性空间（向量空间）（约 100 页） 线性空间是高等代数的心脏。本章从公理化角度严格定义了向量空间（线性空间），并讨论了线性相关性、基与维数的概念。详细分析了有限维线性空间的结构，包括子空间、商空间的概念及其维数公式。本章引入了线性映射（线性变换）的概念，深入研究了核空间与像空间的关系，并证明了同构定理。通过大量的实例（如函数空间、多项式空间），帮助读者建立起抽象概念的具体图像。 第三章：线性映射与矩阵（约 120 页） 本章将线性代数从纯粹的向量空间理论转向具体的计算工具——矩阵。首先，阐述了矩阵的定义、矩阵乘法及其性质，重点在于矩阵如何表示线性映射。深入讨论了矩阵的秩，并基于秩的概念，详细分析了线性方程组（包括齐次与非齐次）的解的结构。本章的难点和重点在于坐标变换下的矩阵表示变化，即相似变换，并为此后的特征值理论奠定基础。 第四章：行列式理论（约 70 页） 行列式是判断线性系统解的唯一性、矩阵可逆性的重要工具。本章从莱布尼茨公式出发，系统推导出行列式的基本性质，如按行（列）展开、转置性质。重点讲解了克拉默法则（Cramer's Rule）及其在二元和三元方程组求解中的应用。此外，本章还探讨了行列式在几何学中的意义（如面积和体积的变换因子）。 第五章：特征值与特征向量（约 100 页） 特征值问题是分析线性变换动力学特性的关键。本章定义了特征值和特征向量，并阐述了如何通过求解特征多项式（即 $det(A - lambda I) = 0$）来找到它们。详细分析了特征空间的结构。核心内容包括相似矩阵的理论，以及对角化（Diagonalization）的充要条件——特征向量的完备性。本章还引入了 Jordan 标准型（Jordan Canonical Form）的理论背景，为处理不可对角化的情况做铺垫。 --- 第二部分：欧几里得空间与二次型 第六章：内积空间（欧几里得空间）（约 90 页） 本章将线性空间提升到具有几何结构的空间——内积空间。定义了内积（点积）的概念，并基于内积导出长度和角度的概念。着重介绍了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，以及正交基的重要性。深入讨论了正交变换和正交矩阵的性质。本章的理论基础直接服务于第七章对二次型的分析。 第七章：二次型与矩阵分解（约 80 页） 二次型是二次多项式在向量空间上的推广。本章讲解了二次型的定义及其与对称矩阵的关系。核心内容是通过正交变换将二次型化为标准形（主轴变换）。重点讲解了正定性的判据（如合同法和特征值法）。此外，本章还引入了奇异值分解（SVD）的初步概念，展示了矩阵分解在数据分析中的强大威力。 --- 第三部分：代数结构初步 第八章：群论基础（约 60 页） 本章开始接触抽象代数的核心——群论。首先给出群的公理化定义，并讨论了子群、陪集、正规子群等基本概念。重点讲解了同态与同构的概念，以及拉格朗日定理（Lagrange’s Theorem）及其重要推论。通过实例（如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$），培养读者对代数结构的抽象思维。 第九章：环与域初步（约 40 页） 作为代数结构的又一重要分支，本章简要介绍了环和域的定义及基本性质。着重讨论了整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 的特性。最后，将域的概念与第一章中数域的概念联系起来，为读者未来学习域论（如伽罗瓦理论）提供必要的概念基础。 --- 特色与目标 本书的显著特点在于其理论的严谨性与应用的紧密结合。在每一章节结束后，均设置了“概念辨析与证明技巧”部分，旨在引导学生深入理解证明过程中的关键步骤和潜在的陷阱。应用部分，我们精选了如：线性规划的几何解释、傅里叶级数基础（涉及无穷维空间）、以及数据降维中的PCA（主成分分析）的数学原理等，使学生明确高等代数不仅仅是计算，更是现代科学描述世界的语言。 本书的难度适中，既能满足国家标准对基础的要求，又为有志于从事数学研究或需要深入应用线性代数的工科学生提供了坚实、全面的知识储备。 --- 目标读者： 数学、物理、计算机科学、信息工程等专业本科生 需要复习或深入学习线性代数核心理论的在职工程师和研究人员。

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從另一個角度來看，《數學（第二版）》在跨學科的應用連結上，做得比我預期的要好非常多。在介紹機率統計那塊時，作者並沒有把它當作一個獨立的學科來處理，而是巧妙地將其與經濟學中的風險評估模型和生物學中的遺傳模型串聯起來。例如，書中在講解貝葉斯定理時，引用的案例是關於醫學檢驗的準確性判斷，而不是老套的丟硬幣問題。這讓我意識到，數學並不是孤立的象牙塔知識，它其實是解構世界的萬用工具。此外，它還花了一小節探討了數值分析在電腦中的近似解法，特別是牛頓迭代法在求解高次多項式根時的效率問題。對於我們這些身處科技時代的學習者來說，理解演算法的效率比單純記住公式重要得多。這本書的編者顯然有考慮到台灣學生未來的出路，不只是為了應付考試，更是為了培養未來具備解決複雜問題能力的人才。它成功地在「嚴謹的理論深度」與「廣泛的實務連結」之間找到了一個絕佳的平衡點，讓讀者在學習的同時，不斷思考「這個知識點在現實世界中到底能做什麼」。這種引導，是真正的高等教育價值所在，而非僅僅是知識的傳遞者。

评分☆☆☆☆☆

說真的，這本《數學（第二版）》的內容深度，讓我這個已經出社會幾年的工程師都感到驚艷。市面上很多號稱「進階」的參考書，其實只是把基礎內容換個說法，但這本不一樣。它在探討高等代數和線性代數的交界處時，處理得非常細膩。我特別喜歡它對「矩陣變換」那部分的闡述，作者並沒有僅限於純粹的代數運算，而是花了大篇幅去解釋背後的幾何意義，像是旋轉、縮放、投影這些操作是如何透過數字矩陣來實現的。這對於我們在做工程模擬和圖形處理時，是非常核心的觀念。另一個讓我印象深刻的是，它對數論章節的處理方式。一般數學書通常只會蜻蜓點水地介紹同餘關係，但這本卻深入探討了模反元素的求法，並且用費馬小定理來簡化計算，這對我們理解現代密碼學的基礎很有幫助。坦白說，我一開始抱著懷疑的心態來看，想說一本「第二版」能有多大突破？結果發現它不僅更新了許多與資訊科學相關的應用實例，連一些較為晦澀的證明步驟都做了優化，讓理解的門檻降低了不少。雖然有些地方對數學基礎較弱的人來說可能還是有點燒腦，但如果你是想在研究所考試中取得好成績，或者想在專業領域中打下紮實的理論基礎，這本書絕對是值得你投資時間去啃食的寶典。它的價值遠遠超過定價本身。

评分☆☆☆☆☆

這本《數學（第二版）》的封面設計實在是很有質感，那種沉穩的藍色配上簡潔的字體，讓人一看就知道這不是那種譁眾取寵的教科書，而是紮實、耐讀的工具書。我記得我當初會選它，就是因為它在坊間眾多數學參考書中，顯得特別「有料」。翻開內頁，排版舒服，重點標示得很清楚，不像有些書，密密麻麻的公式擠在一起，光看就頭暈。尤其讚賞的是，它在處理基礎概念時，用了許多台灣學生很熟悉的實際生活情境來舉例，像是計算房貸利息、或是解釋機率在彩券中的應用等等，讓那些原本覺得數學很抽象的人，也能立刻抓到訣竅。我高中時對微積分一直很頭痛，但自從用了這本書的「幾何直觀理解」章節後，那些原本像天書一樣的導數和積分，突然間就有了畫面感。書中對定理的推導過程也寫得非常詳盡，不像有些翻譯書直接跳過，讓人有種「老師沒講清楚」的挫敗感。它真的很注重觀念的建立，而不是死記硬背公式。對於準備學測或指考的學生來說，這本書的後半部專門整理的「易錯題型解析」，簡直是救命仙丹，每次模擬考發現自己卡在哪裡，翻到對應章節，馬上就能找到盲點並加以補強。總體來說，這本書的編排邏輯性非常強，從淺入深，循序漸進，絕對是理工科系學生書架上不可或缺的一本良伴。

评分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，用「溫和而堅定」來形容或許最貼切。不像有些老師上課那種急促的語氣，這本《數學（第二版）》的作者群似乎是用一種非常沉穩的語氣在跟你對話。舉例來說，當引入一個全新的數學結構時，它不會急著拋出複雜的定義和定理，而是先透過一系列引人入勝的歷史背景小故事，讓你理解「為什麼需要發明這個東西」。這種敘事方式，讓學習過程不再枯燥。例如，在講述複數的引入時，書中沒有直接了當地說 $i = sqrt{-1}$，而是回溯到解一元二次方程式時遇到的困境，循序漸進地引導讀者接受虛數的必要性。我尤其欣賞它在習題設計上的巧思。它不是那種只有單選、多選的制式考題集。相反地，它設計了大量的「探索性問題」（Exploration Questions），這些問題往往沒有標準答案，而是引導你去嘗試不同的假設、驗證不同的邊界條件。這不僅訓練了解題能力，更重要的是培養了數學家特有的懷疑與探究精神。這對台灣的教育體系來說非常重要，因為我們傳統上太注重標準答案，而這本書則是在告訴你，發掘問題背後的邏輯鏈條才是數學的精髓。

评分☆☆☆☆☆

我得說，這本《數學（第二版）》在印刷品質上確實讓人沒話說，這在台灣的教科書市場裡算是少見的優點。紙張的選用非常考究，那種微微偏黃的米白色紙，長時間閱讀眼睛比較不容易疲勞，這點對於我這種需要長時間 K 書的考生來說，簡直是救贖。許多教科書為了省成本，紙張太白太亮，油墨反光嚴重，看了半小時就想睡覺。但這本的印刷幾乎沒有反光問題，墨色飽和度適中，特別是那些圖形和座標軸，線條都很清晰銳利。更細節的是，書中許多涉及微積分的面積計算圖，作者很細心地用不同深淺的灰色陰影來區分不同的積分區域，視覺上層次感非常分明，這讓那些複雜的幾何概念在腦中瞬間就被圖像化了。我記得有次我邊看邊做筆記，不小心把咖啡滴到書上，本來很擔心會暈開，結果這紙張的抗水性也比一般平裝書好一點，稍微擦拭就乾淨了。總體而言，從裝訂的堅固度到內頁的觀感舒適度，這本書展現出來的是一種對讀者體驗的尊重，而不是單純的批量生產。這也間接反映了作者群對學術內容的嚴謹態度，願意在硬體上也投入成本，確保知識傳遞的品質。