《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間，上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿，以此為基礎，展開中、下両卷，進入大域幾何研究的專業。
這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」（moving frames）及「幾何變分學」，涵蓋九大篇，共三十章，並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章，以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。
下卷「幾何變分學」圍繞著均曲率的幾何，討論二階變分、Plateau與Berstein問題、毛細曲面、穩定性與凸性問題、值譜分析、Jacobi場、……等幾何分析學關注的焦點；深入當代大域微分幾何一些關鍵性的研究。
最後在〈衍篇〉的延伸閱讀中，加入了王藹農教授的〈CMC曲面及其應用〉、王慕道教授的〈從一個方程式談起〉與林俊吉教授〈曲線與幾何分析〉等三篇survey的文章，提供幾何領域正在發展的某些課題。
本書特色
1.全書以深入淺出的解說方式，藉由直觀，逐步引入艱深的幾何硏究。
2.問題中心論：內容的鋪陳，經常圍繞著自然的提問。
3.採二維計算方式呈現數學式子的推演，使學習者一目瞭然，容易掌握運算過程。
4.適合「微分幾何學」進階研究，及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。
具体描述
拓扑学基础与现代几何的桥梁：黎曼流形上的几何分析 本书旨在深入探讨黎曼几何与微分拓扑的交叉领域，重点聚焦于黎曼流形上的几何分析方法与拓扑不变量的构造。全书内容围绕着如何利用分析工具，特别是偏微分方程（PDEs）和变分方法，来研究几何对象的内在结构和全局拓扑性质展开。我们假定读者已具备扎实的微分几何基础，熟悉黎曼流形上的基本概念，如联络、曲率、测地线和黎曼度量。 第一部分：几何分析的基础工具 本部分将首先建立在黎曼流形上进行分析所需的关键数学框架。我们将从椭圆算子在黎曼流形上的推广入手。详细讨论拉普拉斯-贝蒂算子（Laplace-Beltrami operator）的性质，包括其谱理论（Spectrum Theory）。我们将深入剖析该算子在紧黎曼流形上的特征值问题，及其与流形几何结构（如体积、测地线密度）之间的深刻联系。特别地，会引入Weyl张量和Yamale方程，探讨它们在研究流形共形变形中的作用。 随后，我们将转向黎曼流形上的热核估计。这部分内容是理解黎曼流形上全局结构的关键。我们将详细介绍热核的渐近展开，特别是关于霍奇-德拉姆理论（Hodge-de Rham theory）的变分观点。通过分析热核在小时间或大时间上的行为，我们可以推导出关于流形拓扑的深层信息，例如体积的Weinstein估计和谱几何中的基础结果。 第二部分：几何结构的稳定性与形变理论 本部分的核心在于研究几何对象在微小扰动下的稳定性，以及由此引出的模空间（Moduli Space）的结构。我们将聚焦于共形几何和爱因斯坦流形的分析理论。 首先，我们将深入探讨爱因斯坦方程 ($ ext{Ric} = lambda g$) 在黎曼流形上的解的存在性与唯一性。这涉及到对爱因斯坦-希尔伯特作用量（Einstein-Hilbert action）的变分分析。我们会详细分析里奇流（Ricci Flow）——佩雷尔曼提出的重要演化方程——作为一种“几何热方程”来规范化黎曼度量的过程。我们将解释里奇流的一般理论，包括其在奇异点处的局部正则性、收缩流与奇异点的分类，以及常曲率截面（Constant Curvature Cross-sections）的性质。 接着，我们会探讨规范场论（Gauge Theory）在微分几何中的应用，尤其是杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）。我们将定义规范联络和杨-米尔斯作用量，并研究杨-米尔斯方程的解空间——规范模空间。重点将放在西格尔（Seiberg-Witten）不变量的构造上，它利用规范理论的洞察力，成功地解决了某些三维和四维流形上的拓扑问题，例如对4-流形上的交点数和辛流形的分析。 第三部分：辛几何与拓扑的交汇 本部分将视线投向辛流形（Symplectic Manifolds）和卡勒几何（Kähler Geometry）。我们将探索将黎曼几何中的分析工具迁移到辛几何的挑战与机遇。 我们将从辛形式的性质出发，介绍刘维尔定理和泊松括号。随后，我们将引入拉格朗日子流形（Lagrangian Submanifolds）的概念，并分析其在辛几何中的变分原理。 核心内容聚焦于弗洛尔同调（Floer Homology）的构造。我们将解释如何利用伪全纯曲线（Pseudoholomorphic Curves）——即在辛-凯勒流形上满足的PDE——来定义辛拓扑中的同调群。这包括对Cauchy-Riemann算子在辛流形上的推广（如J-络度量）的详细讨论，以及如何利用 Gromov-Witten 不变量（Gromov-Witten Invariants）来计算特定流形上的曲线计数。本书将详细分析这些不变量的虚拟性的构造（Virtual Fundamental Class），这要求读者掌握切空间的精确线性化和横截性的分析技术。 第四部分：非线性椭圆方程与临界点理论 最后，我们将回归到更一般的非线性偏微分方程。我们将研究非线性椭圆方程（Nonlinear Elliptic PDEs）在黎曼流形上的解的存在性、先验估计和正则性。 重点关注形变函数空间（Spaces of Deformations）上的临界点理论。我们将应用山路引理（Mountain Pass Lemma）、极小极大原理（Minimax Principle）以及庞加莱-林德洛夫定理的几何推广，来寻找作用量泛函的鞍点或极小值点，这些点对应着流形上某些关键的几何结构（如极小曲面、或者共形类中的特殊度量）。我们将详细分析泡泡（Bubble）的形成与收缩，这是理解非线性方程奇异解的关键分析工具。 全书的编写风格力求严谨，注重从基本几何直觉到复杂分析工具的无缝过渡，旨在为读者提供一套完整的、现代的黎曼几何分析视角，连接经典几何与前沿拓扑学。
著者信息
作者簡介
黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。
黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。
图书目录
下卷前言
《大域微分幾何》三卷書二版序
下卷 幾何變分法
篇七 均曲率幾何的基礎
第22章 流形上的變分
第23章 最小曲面的穩定性
篇八 Plateau與Bernstein問題
第24章 Plateau問題
第25章 Bernstein問題
第26章 Plateau與Bernstein問題
篇九 均曲率方程
第27章 毛細方程與均曲率
第28章 Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章 Convexity與大凹陷定理
第30章 cmc上的Jacobi場與Morse Index定理
衍篇
CMC曲面及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
曲線與幾何分析（林俊吉）
附錄
全書參考文獻
全書索引
《大域微分幾何》三卷書二版序
下卷 幾何變分法
篇七 均曲率幾何的基礎
第22章 流形上的變分
第23章 最小曲面的穩定性
篇八 Plateau與Bernstein問題
第24章 Plateau問題
第25章 Bernstein問題
第26章 Plateau與Bernstein問題
篇九 均曲率方程
第27章 毛細方程與均曲率
第28章 Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章 Convexity與大凹陷定理
第30章 cmc上的Jacobi場與Morse Index定理
衍篇
CMC曲面及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
曲線與幾何分析（林俊吉）
附錄
全書參考文獻
全書索引
图书试读
前言
下卷的主題是幾何變分學。含三篇
篇七 均曲率幾何的基礎
篇八 Plateau與Berstein問題
篇九 均曲率方程
共九章，即Ch.22-30。
如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分，來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。
1. 幾何變分學的鋪陳
二十世紀中期之後，幾何分析（Geometric Analysis）成為幾何學研究的主流。
它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理（maximum principle）、比較原理（comparison principle）、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。
幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下卷探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。
在下卷的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均曲率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區面Mn，若均曲率為常數（簡稱cmc = constant mean curvature），而且為穩定（stable），則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想（Hopf's conjecture）時，分出去的一條軌跡。
Ch.23也一樣，在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹了Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理（spectrum theorem）。然後我們以特徵值的估計，證明了鼓面愈大，聲音愈低沉；而且在鼓面面積相同的情況下，證明：鼓面愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。
2. Plateau與Bernstein問題
Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八，三章（Ch.24-26）集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。
Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉曲線，有沒有以這曲線為邊界，而面積為絕對最小的曲面（稱為Plateau解）？又如果有解，解曲面有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即表成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平面？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。
有趣的是，Plateau解曲面有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解曲面，我們會看到一個cone（錐面）。相應的，如果我們跑到無限遠處，回頭看Bernstein解曲面，也會看到一個cone。
於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平面之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面（稱之為minimal cone），它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。
這是兩個問題美麗的交會。
3. 意大利學派
藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小曲面的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數（functions of bounded variation），延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平面的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)＄，並給出8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方面標誌活動標架法的威力，另一方面開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結合，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。
4. 毛細液面
篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805年Thomas Young導出：液面的內外壓力差為均曲率（mean curvature）的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液面的均曲率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液面的均曲率必為常數，亦即必為cmc（常均曲率曲面）。
對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理（virtual work）加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液面（包含cmc）及相關曲面的探討。
毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高只能把水分吸到＄10＄英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，冬天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給出了答案：因為樹幹中導管的橫截面，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏向六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液面會以1⁄r的速率爬升。
這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。
當重力越小，管壁對液面分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液面越變化多端。尤其當重力越小時，液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。
又例如一個封閉的容器，裡面除了留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉曲面Mn，若均曲率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。
但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而只知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想（conjecture）。Hopf自己證明了：M2若與球面S2同胚，則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義（Wu-Yi Hsiang）四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明了Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環面的反例。
篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做了介紹，並得出他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。
5. cmc的幾何
篇九的後兩章（Ch.29-30），與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。
1950-1983年間，幾何學家會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉曲面＄M＄似乎不能有凹陷（指Gauss曲率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍出一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。
Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。
任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的面域，例如M中的一塊面域，若為non-parametric（即可以表成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？
亦即，當我們期望在凸區域（convex domain）上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階（Dirichlet），或一階（capillary或Neumann），而應加在二階[Ch.29，§1]。
另外，在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc曲面）。本章的主要結果是：介於＄D[λk-1=0]與＄D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場出現過，而且其重數（multiplicity）可以控制。[Ch.30}，Thm.8]。
這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的曲面，況且是有體積制限（volume constraint）的cmc曲面。勻滑的C∞-手法，不適合應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。
6. 衍篇
2015年開始寫篇九時，我邀請王慕道、王藹農、林俊吉三位同行，各寫一篇survey之類的文章，放在書末，稱為衍篇。目的在讓讀者在讀完本書之後，看到幾何研究正在發展的一些新方向。
不久我接到三篇完稿。很高興他們的論點與本書準備的基礎知識，不只搭配得很好，更有畫龍點睛之妙。我畫龍，他們點睛。
例如：書中各章反覆利用第二變分式，處理許多問題。王慕道在〈從一個方程式談起〉一文中，選擇第二變分式，並點出這式子的神髓：把它與Perelman的工作、與Schoen-Yau的正質量定理，關連起來。另外，他又說明第二變分式在相對論中所扮演的角色，指出它如何鋪陳Penrose-Hawking的奇點定理。王慕道的短文，帶領讀者看到自然深層，看到近年這些重要的工作，存在著某種有趣的連結。
王藹農所寫的survey，也提供第三隻眼睛，重看近代微分幾何的發展，他把似乎零星的一些結果，串連在一起，包括Herman Weyl經典的embedding定理、Nirenberg、Chern、Choi-Wang（崔炯仁-王譪農）、⋯的人的工作。有很多地方，他也扣合著一些與我相關的工作。例如，他用簡練的文字，詮釋大凹陷定理：同時，他把Henry Wente著名的反例，給予幾何的描述，讓人易於了解。這是我書中該做而沒做的事。
林俊吉所談〈曲線與幾何分析〉，是一個正在開展而處處未知的領域，其中很多概念都還有待定義。1980年代我曾注意到DNA本身的動力問題，並到生化所演講。DNA的性狀，鬆坦或糾結，與它的活性，亦即它影響生物體的強度有關。數學上的彈性桿（elastic rods）正是DNA的原始力學模型。
林俊吉在文中介紹彈性桿的精確定義，並分析當前相應的發展。文中他更從微分幾何的觀點，申論Möbious bands與幾何扭結（geometric knots，即在拓撲扭結上加尺度結構）。這些研究都處在開創階段，充滿活力。林俊吉的survey，從界定問題的困難出發，讓我們看到第一線研究各種嘗試的利弊，非常有趣而深具啟發，值得年輕的研究者投入。
非常感謝三位同行分別為本書的衍篇撰文，替這部書生色不少，也為這部書的讀者，打開多面窗。這正是當初我邀他們撰稿的目的。他們的撰文，讓這本書鋪陳的內容，活了起來。
二版序
《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）
1、
這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。
目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。
下卷的主題是幾何變分學。含三篇
篇七 均曲率幾何的基礎
篇八 Plateau與Berstein問題
篇九 均曲率方程
共九章，即Ch.22-30。
如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分，來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。
1. 幾何變分學的鋪陳
二十世紀中期之後，幾何分析（Geometric Analysis）成為幾何學研究的主流。
它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理（maximum principle）、比較原理（comparison principle）、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。
幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下卷探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。
在下卷的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均曲率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區面Mn，若均曲率為常數（簡稱cmc = constant mean curvature），而且為穩定（stable），則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想（Hopf's conjecture）時，分出去的一條軌跡。
Ch.23也一樣，在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹了Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理（spectrum theorem）。然後我們以特徵值的估計，證明了鼓面愈大，聲音愈低沉；而且在鼓面面積相同的情況下，證明：鼓面愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。
2. Plateau與Bernstein問題
Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八，三章（Ch.24-26）集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。
Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉曲線，有沒有以這曲線為邊界，而面積為絕對最小的曲面（稱為Plateau解）？又如果有解，解曲面有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即表成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平面？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。
有趣的是，Plateau解曲面有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解曲面，我們會看到一個cone（錐面）。相應的，如果我們跑到無限遠處，回頭看Bernstein解曲面，也會看到一個cone。
於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平面之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面（稱之為minimal cone），它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。
這是兩個問題美麗的交會。
3. 意大利學派
藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小曲面的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數（functions of bounded variation），延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平面的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)＄，並給出8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方面標誌活動標架法的威力，另一方面開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結合，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。
4. 毛細液面
篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805年Thomas Young導出：液面的內外壓力差為均曲率（mean curvature）的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液面的均曲率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液面的均曲率必為常數，亦即必為cmc（常均曲率曲面）。
對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理（virtual work）加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液面（包含cmc）及相關曲面的探討。
毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高只能把水分吸到＄10＄英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，冬天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給出了答案：因為樹幹中導管的橫截面，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏向六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液面會以1⁄r的速率爬升。
這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。
當重力越小，管壁對液面分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液面越變化多端。尤其當重力越小時，液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。
又例如一個封閉的容器，裡面除了留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉曲面Mn，若均曲率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。
但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而只知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想（conjecture）。Hopf自己證明了：M2若與球面S2同胚，則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義（Wu-Yi Hsiang）四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明了Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環面的反例。
篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做了介紹，並得出他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。
5. cmc的幾何
篇九的後兩章（Ch.29-30），與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。
1950-1983年間，幾何學家會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉曲面＄M＄似乎不能有凹陷（指Gauss曲率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍出一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。
Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。
任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的面域，例如M中的一塊面域，若為non-parametric（即可以表成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？
亦即，當我們期望在凸區域（convex domain）上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階（Dirichlet），或一階（capillary或Neumann），而應加在二階[Ch.29，§1]。
另外，在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc曲面）。本章的主要結果是：介於＄D[λk-1=0]與＄D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場出現過，而且其重數（multiplicity）可以控制。[Ch.30}，Thm.8]。
這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的曲面，況且是有體積制限（volume constraint）的cmc曲面。勻滑的C∞-手法，不適合應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。
6. 衍篇
2015年開始寫篇九時，我邀請王慕道、王藹農、林俊吉三位同行，各寫一篇survey之類的文章，放在書末，稱為衍篇。目的在讓讀者在讀完本書之後，看到幾何研究正在發展的一些新方向。
不久我接到三篇完稿。很高興他們的論點與本書準備的基礎知識，不只搭配得很好，更有畫龍點睛之妙。我畫龍，他們點睛。
例如：書中各章反覆利用第二變分式，處理許多問題。王慕道在〈從一個方程式談起〉一文中，選擇第二變分式，並點出這式子的神髓：把它與Perelman的工作、與Schoen-Yau的正質量定理，關連起來。另外，他又說明第二變分式在相對論中所扮演的角色，指出它如何鋪陳Penrose-Hawking的奇點定理。王慕道的短文，帶領讀者看到自然深層，看到近年這些重要的工作，存在著某種有趣的連結。
王藹農所寫的survey，也提供第三隻眼睛，重看近代微分幾何的發展，他把似乎零星的一些結果，串連在一起，包括Herman Weyl經典的embedding定理、Nirenberg、Chern、Choi-Wang（崔炯仁-王譪農）、⋯的人的工作。有很多地方，他也扣合著一些與我相關的工作。例如，他用簡練的文字，詮釋大凹陷定理：同時，他把Henry Wente著名的反例，給予幾何的描述，讓人易於了解。這是我書中該做而沒做的事。
林俊吉所談〈曲線與幾何分析〉，是一個正在開展而處處未知的領域，其中很多概念都還有待定義。1980年代我曾注意到DNA本身的動力問題，並到生化所演講。DNA的性狀，鬆坦或糾結，與它的活性，亦即它影響生物體的強度有關。數學上的彈性桿（elastic rods）正是DNA的原始力學模型。
林俊吉在文中介紹彈性桿的精確定義，並分析當前相應的發展。文中他更從微分幾何的觀點，申論Möbious bands與幾何扭結（geometric knots，即在拓撲扭結上加尺度結構）。這些研究都處在開創階段，充滿活力。林俊吉的survey，從界定問題的困難出發，讓我們看到第一線研究各種嘗試的利弊，非常有趣而深具啟發，值得年輕的研究者投入。
非常感謝三位同行分別為本書的衍篇撰文，替這部書生色不少，也為這部書的讀者，打開多面窗。這正是當初我邀他們撰稿的目的。他們的撰文，讓這本書鋪陳的內容，活了起來。
二版序
《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）
1、
這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。
目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。
用户评价
评分
說實話，我對這本的閱讀體驗是既興奮又燒腦的，它對讀者的預備知識要求相當高，絕不是那種隨便翻翻就能領會其妙處的入門讀物。我必須承認，在某些涉及到複雜流形上的張量分析和共形變換的部分，我得反覆翻閱前面的章節，甚至需要暫停下來，對照著其他幾本分析的參考書才能勉強跟上作者的思路。然而，這種「難」恰恰是它最寶貴的地方。它強迫你去思考：當我們討論一個泛函的穩定性時，在一個彎曲的時空中，我們真正依賴的是什麼？作者在處理穩定性分析時，對於二階變分（也就是黎曼曲率張量的推廣）的討論，簡直是教科書級的範例。那種嚴謹到近乎苛刻的論證風格，讓我對「完美證明」有了更深層次的理解。它不是在告訴你答案是什麼，而是在雕塑你如何去建構這個答案的過程，讓人讀完後，會感覺自己的數學功力確實上了好幾個層次，那種醍醐灌頂的感覺，遠勝過背誦數十條公式來得深刻。
评分從裝幀設計和排版來看，這本書的出版品質非常值得肯定，尤其對於需要長時間閱讀和反覆查閱的專業書籍而言，這是非常重要的細節。紙張的選用，在處理大量公式和圖形時，提供了很好的對比度，減少了閱讀疲勞。更讓我驚喜的是，雖然內容是關於極為深奧的數學分支，但作者對於術語的引入和標記的使用，都做到了盡可能的一致性和清晰度。在台灣的學術環境中，我們常常面臨不同版本的術語翻譯混亂問題，但這本書在這方面處理得非常到位，它似乎在努力架起一座橋樑，連接歐美主流的符號系統與本地的學術習慣，讓讀者在面對國際文獻時，能夠更順暢地切換思維模式。這種對細節的關注，體現了出版方對學術傳承的責任感，讓這本厚重的著作，閱讀起來絲毫不覺得笨重，反而有種精緻的工藝感。
评分這本《大域微分幾何（下）：幾何變分學（二版）》真的是讓我這個長期鑽研古典數學的愛好者，讀起來有種既熟悉又充滿挑戰的感覺。光是從書名就能感受到它所承載的厚重歷史感，畢竟「幾何變分學」這塊領域，從黎曼、龐加萊那個時代就開始醞釀，多少經典的洞見都藏在裡頭。我特別欣賞作者在處理變分原理時，那種細膩入微的筆觸，完全不是那種只顧著推導公式的冷硬教科書。它更像是一位經驗豐富的老師，帶著你從最基礎的變分原理出發，一步步爬升到更高維度、更抽象的結構中去觀察物理現象。特別是在涉及邊界條件和極值問題時，那種對物理直觀的尊重，讓我覺得這本書不只是數學的工具書，更像是哲學思辨的載體。很多時候，我看著那些複雜的泛函分析，腦中就會浮現出那個時代的數學家們，如何憑藉著驚人的直覺，把這些看似無邊無際的空間結構給捕捉下來。這本書成功地將那種跨越時空的對話感，完整地呈現了出來，對於想真正領會幾何本質的人來說，這是無可替代的珍寶。
评分這本書最吸引我，也是最讓我感到與現代研究接軌的部分，在於它對「非線性」和「奇異點」的處理態度。過去很多經典教材在講述變分問題時，往往過於側重在光滑、可微的理想情況下尋找極值，但現實中的物理模型，特別是涉及到拓撲變化的問題，很少是如此溫順的。作者似乎深知這一點，在後面的章節中，開始引入一些非常現代的工具來探討這些「病態」的邊界情況。我尤其對其中關於極小曲面存在性問題的討論印象深刻，它不再滿足於單純的局部存在性證明，而是試圖透過能量最小化來推導出全局的結構。這種從基礎原理出發，不斷將討論範疇推向更複雜、更真實世界的嘗試，是這本「二版」相較於其他版本（或者我過去讀過的舊教材）最顯著的進步。它告訴我們，數學工具的價值，最終還是體現在能否有效描述我們所處的複雜宇宙。
评分整體來說，這本《大域微分幾何（下）：幾何變分學（二版）》已經超越了一本標準教科書的範疇，它更像是一部里程碑式的專著，記錄了數十年來，幾何學家們如何運用變分思維去解構空間結構的歷程。我不會向任何非數學專業的讀者推薦它，因為那無疑是一種折磨；但對於研究生階段，或者已經有紮實微分幾何基礎、渴望深入理解「為什麼」以及「如何保證」的資深研究者來說，這本書的價值是難以估量的。它在嚴謹性與啟發性之間找到了難得的平衡點。每一次闔上書本，我都會花點時間整理思緒，因為書中呈現的那些宏偉結構，需要時間消化才能真正內化為自己的理解。它不僅僅是知識的傳遞，更像是對學術嚴謹性的一種致敬。我期待未來能看到更多基於此基礎上發展出來的新研究。
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