中卷前言
《大域微分幾何》三卷書二版序
 
中卷　活動標架法
 
篇四　張量的微積分
第13章　平均的概念
第14章　子流形，均曲率與Laplacian
第15章　外微分與Divergence定理
 
篇五　Riemann幾何的結構
第16章　結構方程
第17章　張量的共變微分
第18章　活動標架法的運算基礎
 
篇六　活動標架法與大域幾何
第19章　高維流形的Gauss-Bonnet-Chern定理
第20章　Bochner's Technique
第21章　Laplacian的特徵值
 
附錄
全書參考文獻
全書索引
 

前言

　　中卷的主題是活動標架法。含三篇
　　篇四　張量的微積分
　　篇五　Riemann幾何的結構
　　篇六　活動標架法與大域幾何
　　共九章，即Ch.13-21。

　　微分幾何處理的對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

　　本書中卷先介紹張量的微積分，我們從平均的視角出發，引入均曲率、divergence、與Laplacian，使這些概念具有幾何的直觀，而不只做抽象的定義。活動標架法(moving frames)是處理彎曲空間簡潔而有效的方法，也是中卷的主題。

　　活動標架法的基本概念是微分式(differential form)。在本書上卷前篇的章B中，我們已經鋪陳ℝn中的微分式，並看到它如何被運用、被拿來有效而漂亮的計算出n度球ℝ、Clifford環面、與Lorentz雙曲面ℍn的Gauss曲率（高維時稱為截曲率）。這是截曲率為常數，而且分別為正、零與負值的三種典型。

　　微分式是一階世界的概念，不屬於零階世界，亦即：在一個點的微分式，必須把那個點附近的無窮小範圍，放大無窮多倍，這時我們才看得到微分式。例如微分式ω在一塊面域D上的積分，如果用這樣的方式了解，便一目瞭然：原來微分式可以從積分符號中剝落出來，成為一個獨立的概念[篇四，參見Ch.15,§7]。把無窮小世界的微分式，在一塊面域D上的無窮多點「累加」，就得到ω在D上的積分值。微分式ω本身，例如：ω=dxdy是一個獨立游走的概念。這涵意是深遠的。

　　當然，向量場本身也是一階產物，但因它與零階世界放在一起，直觀上還一目瞭然，所以問題不大。但微分式放到高階世界來了解，相對容易養成直觀，尤其取了外微分之後。

　　古典的張量分析(tensor analysis)與向量場的共變微分，是處理彎曲空間的一種直接而廣泛沿用的方法，它們容易懂，但不好算。微分式則反過來，不好懂，但容易算，算起來尤其簡潔有效。而且一旦掌握，更可以用來分析彎曲空間(亦即Riemann流形)的幾何結構[篇五]：從建立結構方程開始，清楚的洞悉Riemann流形的局部性質。這件事在上卷曲面論基本定理[Ch.4, §2]中，討論高維超曲面的存在與唯一的時候，已經鋪陳了伏筆。到中卷篇五，藉由Ch.16子流形的結構方程、Ch.18活動標架法的運算基礎、與commutation formula這三樣重要題材，我們進一步把彎曲空間的局部幾何徹底釐清。從這裡借助invariance，躍入大域世界：1943年陳省身漂亮的運用moving frames，給予高維Gauss-Bonnet定理一個內在證明，開啟了大域幾何的紀元。這是篇六的第19章。

　　就這樣，我們走進篇六，討論活動標架法在大域幾何的重要應用。我們引入Bochner著名的的技法，證明幾個經典的大域定理，如Lishnerowicz、Bochner、Hopf-Alexandrov、Minkowski、Reilly等人的貢獻。

　　最後一節[Ch.21, §2]我們特別提到Obata定理，其中一個原因是Obata讓我們又細細回顧古典曲面論與測地線變分的技法，把它拿來處理某類Riemann流形M在Laplacian特徵值λ1取得最小的狀態（即敲音最低沉時）。證明此時Riemann流形M必定是最勻稱的n度球，這是球面一個深刻的特徵定理。

二版序

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

　　1、

　　這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

　　雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。

　　另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。

　　2、

　　初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。

　　今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。

　　目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。

　　但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。

　　中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。

　　我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。

　　3、

　　眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。

　　這章主題是處理cmc曲面（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。

　　我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。

　　但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。

　　這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。